第十五讲平面几何(三角形特例)(学生)

B
2009年暑假数学
平面几何(三角形特例)
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题都可以转化为三角形的问题。

三角形有“五心”比较重要，而同学们到了高中以后已记不得了，很生，而立体几何中又经常要用，感到真困惑。

这“五心”是：
重心：三角形三边上中线的交点；又称之为重心； 满足中心到对应边角的关系为2：1，即三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点。

内心：三角形三个角平分线的交点；是三角形内切圆的圆心，三角形的内心在三角形的内部，它到三角形三边的距离相等；
垂心：三角形三边上的高线交于一点（高线的交点）为三角形的垂心。

锐角三角形的垂必一定在三角形的内部，直角三形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。

外心：三角形三边上垂直平分线的交点；是三角形的外接圆的圆心，三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。

旁心：三角形外角平分线的交点，是三角形的外角平分线的交点，是三角形旁切圆的圆心，它到三形三边的距离相等，每一边都有一个旁心。

几种特殊的三角形是
等腰三角形：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一，因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上。

直角三角形：直角三角形ABC 中A ∠为直角，垂心为直角顶点A ，外心O 为斜边BC 的
中点，内心I 在三角形内部，且内切圆的半径为2
b c a
r +-=（其中a 、b 、c 分别为三角形
的三边BC,CA,AB 的长）2BC =
两种特殊的直角三角形
一个角为 30的直角三角形的的性质：a:AB BC 21
=( 30 b:AB DC 2
1
=(c:三角形BCD 为等边三角形
d:△ABC 三边的比为1:3:2
一个角为 45等腰直角三角形:
a ：AD=2
1
BC
b ：△ABC 三边的比为1：1：2
正三角形：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心、中心）合一，该点称为正三角形的中心。

内角平分线定理；外角平分线定理：
C
A
D
B
（内角平分线定理）已知ΔABC 中,AD 为∠BAC 的内角平分线，则有
DC
BD
AC AB =
证明 ：过点C 作CE ∥DA,交BA 的延长线于E ，∵CE ∥DA ∴⎩⎨⎧∠=∠∠=∠E
132 又 AE 是 BAC ∠的平分线 ， ∴ 3∠=∠E ∴ AC = AE 又 CE ∥DA ∴AE BA DC BD = ∴ AC AB DC BD = 即 DC
BD AC AB =
（外角平分线定理）已知ΔABC 中,AD 为∠BAC 点，则有AB AC = BD DC。

【例1】求证：三角形三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2:1. 已知：D 、E 、F 分别为三边BC 、CA 、AB 的中点。

求证：AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.
证明：
【例2】已知ABC ∆三边长分别为,,BC a AC b AB C ===,I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的
边BC 、AC 、AB 上的射影分别为D 、E 、F,求证：2
b c a
AE AF +-==。

证明：
C
【例3】若三角形内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。

已知：O 为三角形ABC 的重心和内心。

求证：三角形ABC 为等边三角形。

证明：
【例4】求证：三角形的三条高交于一点。

已知：ABC ∆中，AD ⊥BC,BE ⊥AC,AD 与BE 交于H 点。

求证：CH ⊥BA. 证明：
【例5】如图，BM 为AC 的中线，BE EF FC ==,则::ABC AGH AHM S S S ∆∆∆= 解析：
【例6】已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 上的中线，E 是AD 中点，BE 的延长线交AC 于F 。

求证：EF ＝1
3
BE.
解析
A
B
C
D F
E
A B C
M E F H G
D
G C
D G C B 练一练：三条相互交叉的公路a,b,c ，如果 想建立几个加油站，使得加油站到三条公路
的距离一样，问可以建立几个加油站，怎么建立呢？
【例7】在△ABC 中，AB=AC=3,BC=2,求⑴△ABC 的面积ABC S ∆及AC 边上的高BE; ⑵△ABC 的内切圆的半径r ⑶△ABC 的外接圆的半径R 。

解：
【例8】已知如图，在ABC ∆中，AB=AC,P 为BC 上任一点。

求证：2
2
AP AB PB PC =-⋅
证明：
【例9】如图，等边三角形ABC 中，P 为图形上任意一点过P 点分别作三角形ABC 三边上垂线PE,PF,PG ，
AD 为BC 边上的高，想一想：PE,PF,PG 与AD 的关系是怎样的？
注：本题蕴含了分类讨论和等积变形的思想。

【达标练习】
C
A
B
C
A
B
P
A
B
1、求证：若三角形的垂心和重心重合。

则该三角形为正三角形。

2、若三角形ABC 的面积为S,且三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的内切圆半径是
3、直角三角形三边长分别为a 、b 、c ，（其中c 为斜边长），则三角形内切圆的半径是
4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边作等边△ABE 、△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF=FD 。

5、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ， 求证：BD 2
=AB 2
+B C 2。

6、如图，是一个长方体，阴影部分的面积为________。

、
7、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =4
1BC ，F 为C
的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.
8、 如图，△ABC 中，
90=∠ABC ,AB=AC ，点P 在△ABC 内，且PA:PB:PC=1:2:3,求APB ∠的大小。

考虑“旋转”辅助线的方法
9、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=900
，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方
A
D
P
20
A
B D E
L
P M N
向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒． (1)设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．(2)当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形？
10、已知：如图，△ABC 中，BD,CE 分别平分∠B 和∠C ，P 是DE 中点，过点P 作BC,CA,AB 的垂线，垂足分别为L,M,N ，求证：PL ＝PM+PN.
11、如图，已知BD 和CE 是△ABC 的高，∠BAC 的平分线交BC 于F,交DE 于G, 求证:BF ·EG ＝CF ·DG.
2、2s
r a b c =++
3、2
a b c
r +-=
专题 相似图形（竞赛类题）
A
C
F E
B
D
G
★知识精讲：
1.相似三角形的判定与性质的应用.
2.添加辅助线构造相似形证线段比、平行和垂直，求线段比、长.
典型例题讲解及思维拓展：
●例1.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．
拓展变式练习:
如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．
●例2.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．
求证：EF∥BC．
例3:
如图所示，D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AE∶EB=2∶1．求证：CE⊥AD．
.
●例4.如图所示，△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．
求：FM、MN、BN的长．
.
.
拓展变式练习:
在△ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．。