全国高中物理竞赛专题六 机械振动与机械波训练题答案

1一根未被固定的质量为m 的匀质弹簧,在作用其一端的恒力F 作用下沿光滑水平面运动．若将此弹簧一端固定在天花板上悬挂起来,则弹簧此时长度比运动时短．如图所示,为使弹簧长度与恒力F 作用下水平运动时相等,问在弹簧下端应挂质量M 为多少的重物？

解：因弹簧有质量,在恒力作用下,虽一端未被固定,仍会有伸长．但由于弹簧各处张力不同,伸长也不均匀．因匀质弹簧质量均匀变化,张力也均匀变化（线性变化）,其总伸长量相当于弹簧受到平均张力

2

F

时的伸长量：

2

F

k l =∆ （1） 弹簧竖直悬挂时,由于自身有质量,将有伸长．弹簧在自身重力作用下,弹簧中的张力时均匀变化的,各部分伸长也将均匀变化．同样可以利用平均张力12mg ⎛⎫

⎪⎝⎭

作用下计算伸长量：

'1

2

mg k l =∆ 依题意,'

l l ∆<∆,再加质量为M 的物体后,如果伸长量变为l ∆,则有关系： 1

2

mg Mg k l +=∆ （2） 式（1）、（2）联立,得

()1

2M F mg g

=-

2、悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳,绳长均为l ,下面挂一质量为M 的光滑匀质薄平板．平板中央有一质量为m 的光滑小木块．开始系统处于静止悬挂状态,两绳互相平行．如图（a ）所示,而后在两绳平面内给平板一个小的水平速度0v ,此板即做小角摆动．求小摆动的周期．（提示,当θ很小时,有近似式2

1sin ,cos 12

θθθθ≈≈-）

F

M

图（b ）

图（a ）

解：此系统在运动中,除重力做功外,气体外力均不做功,m 和M 间的内力也不做功,所以系统是一个机械能守恒的保守系统．

又因为m 和M 间无水平力,所以M 在摆动时,m 只作上、下运动,而且m 的上下运动速度与M 的竖直运动速度分量相等．

M 在摆动中,由于绳长相等,M 只作平动,M 的运动可用M 上的一点代表（刚体平动时,

刚体上所有质点的运动状态相同）．

利用图（b ）写出系统在运动中的动能和势能．系统动能为

()2

2222222111111sin 222222k E Mv m v Mv mv Mv Ml t θθθ∆⎛⎫

=+≈+≈= ⎪∆⎝⎭

此处由于摆动的角θ为小角度,所以略去2

θ项．系统势能为 ()()()21

1cos 2

p E M m gl M m gl θθ=+-≈+ 系统的机械能E 守恒

()2

22

1122

E Ml M m gl t θθ∆⎛⎫=++ ⎪∆⎝⎭

这个表达式与简谐振子的能量表达式相同,因此系统的小角度摆动是一个简谐振动．而且振动角频率ω满足：

()2

2

M m gl M m g Ml M

l

ω++==

系统振动周期为

2T π=

3、如图所示,弹簧振子系统中2kg,100N m,0M k t ===时,0010cm,0x v ==,在

1cm h =高处有一质量为0.4kg m =的小物体下落,当M 沿x

轴负向通过平衡位置时,小物体刚好落在M 上,且无反弹,试求此后两物体一起运动的规律．

解：此题涉及的知识内容主要是动量守恒和简谐运动,而m

O

x x

k

m

M

k

从高h 处下落到与M 发生碰撞的过程,在该题中可以忽略不计．因为粘合以后弹簧的组合总是提供给物体系指向平衡位置的力,所以我们可以判断两物体一起运动的规律是简谐运动,简谐运动的频率、初相我们可以较方便地得出,解此问题关键在于粘合后的振幅的确定,这一点则可以借助于动量守恒和能量守恒求解．

两物体粘合后仍做简谐运动,从此时开始计时,设其运动方程为 ()=cos x A t ωϕ+ 其中简谐运动的角频率为

)rad s ω=

=

设粘合前瞬间,M 至平衡位置速度为m v ,则

()22011222

m k x Mv = 解得

()1m m v ===

设两物体粘合后的共同速度为'

0v ,则由动量守恒定律有

()'

0m Mv M m v -=+

解得 ()'

025

1m s 2.46v =

⨯= 又因为 ()()2'2

011222

k A M m v =+

解得

)'05m 660

A =

== 又由题意可知,初始位移,初相,所以粘合以后两物体一起运动的规律为

()m 2x π⎫=+⎪⎪⎝⎭

4、如图（a ）所示,U 形槽置于光滑水平面上,其质量为M ,一质量为m 的物块用两根劲

图（b ）

图（a ）

度系数均为k 的轻弹簧与U 形槽相连接,系统初始静止,现作用一水平恒力F 于U 形槽后,试求物块相对于槽的运动规律．

解：因为M 和m 为连接体而且涉及到两根弹簧的组合,因为m 的运动是较为复杂的运动．当然,我们可以初步想象到m 的运动可能为简谐运动,因此我们必须为此设想而开拓思路．首先我们可以确定一下m 静平衡的位置；然后以此位置来建立坐标,看其回复力或者加

速度的表达式是否与简谐运动的回复力和加速的的表达式相符；最后,确定初始条件A 、

ϕ和ω．

1） 先求振动体相对平衡的位置．设在力F 作用下,m 与M 无相对运动时,m 离槽中央的距离为0x ,此时对整体,有

m M F

a a M m

==

+ （1）

对m 有 02m kx ma = 所以,有 ()02Fm

x M m k

=

+ （2）

2） 判断m 相对运动为简谐运动．以相对平衡位置为坐标原点,建立图示x 坐标,m 在任意x 位置时,受力m 、M 如图（b ）所示．

对M ()02M F k x x Ma +-= 所以 ()22M F k x F m

a M M M M m

=

+-

+ （3） 对于m ,设m 相对滑槽加速度为r a ,则

()()02M r k x x m a a --=+ （4） 由（2）、（3）、（4）可得

2r M m

ma k x M

+=- 令'

2M m

k k M

+=

,故m 相对滑槽的运动为简谐运动． 3） 设运动方程()cos x A t ωϕ=+,下面确定初始条件． 由0t =时,0x x =,即m 相对于槽未动,因而可得