直接构造基础解系或通解的线性方程组解法

44
高等数学研究
2018年 5 月
'r A 92-T
(3)
( 〇 \m 一r
即只(A ) = r ，则 当 r = n 时 ，方 程 组 只 有 零 解 ，这时方
程 组 的 解 空 间 为 0 维 空 间 ；当 r < 〃 时 ，方 程 组 有 无
穷 多 个 解 （此 时 方 程 组 有 非 零 解 ％ 这 时 方 程 组 的 解 空间为〃一 r 维 向 量 空 间 ，且矩阵
1 齐次线性方程组基础解系或通解的直接构造
设 有 n 元齐次线性方程组
收 稿 日 期 2 0 1 7 - 0 6 - 06
修改日期2017-10-30
基 金 项 目 ：西 安 建 筑 科 技 大 学 2 0 1 7 年 度 校 级 教 材 建 设 项 目 “工 科线
性 代 数 （第 二 版 ）”（6040417029)
结论：
定理1(齐次方程组基础解系的构造$ 如果方
程 组 (2) 的 系 数 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 后 化 成 的 行 最
简 形 矩 阵 1为
1 所 谓 行 最 简 形 矩 阵 是 指 这 样 的 行 阶 梯 形 矩 阵 ，其 中 非 零 行 的 第 一 个 非 0 元 素 均 为 1 ，该 非 0 元 素 的 上 下 均 为 0.
Z H A O Yanhui and W A N G Yan
(D epartm ent o f M athem atics, X i?an U niversity o f A rchitecture and T e c h n o lo g y , Shaanxi 7 1 0 0 5 5 ，P R C )
(6)
x (2)二（x r+1，x r+2，… ，x +)T
若 r = + ，则 + —r = 0 , 消 失 ，方 程 组 （5)变为
% = 0 ，故方程组只有零解.
若 r< n， 由
!12
( r A 92 )
0
知 矩 阵 （4)的 + —r 个列向量Fra Baidu bibliotek
^ ，心 ，… ，^ = r
$)
都 是 方 程 组 （5)的解.
Abstract T h is paper revisits the m ethod w hich construct d ire ctly the basic solutions and general solutions fo r linear equations. The m ethod needs only the elem entary transform ations and is easy to m aster. Keywords linear e q u a tio n ，fundam ental s o lu tio n s y s te m ，general s o lu tio n ，c o n stru ctio n m ethod
一般教材在求解齐次线性方程组基础解系或非 齐 次 线 性 方 程 组 通 解 时 无 一 例 外 的 [1= 5]都 是先用初 等行变换把系数矩阵或增广矩阵变成行阶梯型矩阵， 然 后 回 到 对 应 的 同 解 方 程 组 ，再 通 过 给 定 某 些 未 知 数 的 取 值 求 出 齐 次 线 性 方 程 组 w—r 个线性无关的解 (对非齐次线性 方程组 再增 加一个 特解 ）构成基础解 系或 通 解 ，此法不仅过程麻烦，学生也不容易掌握.本 文给出的基础解系或通解的构造方法不用回到同解 方 程 组 ，而 是 通 过 初 等 行 变 换 一 气 呵 成 ，直接 写出基 础 解 系 或 通 解 .方 法 简 单 ，易于学生掌握.
作 者 筒 介 ：赵 彦 晖 （1958 —），男 ，陕 西 西 安 ，教 授 ，从 事 大 学 数 学 教 学
与 研 究 •Email: zyhl0 7 6 @ 1 6 3 . com.
a 11x -i _ a12# 2_----\~a1nx n= 0
an # 1 +a22# 2_----_ a 2n# n= 0
(1)
$ , 1#1 + a„2X2_ _ a歷Xn = 0
a11 a 12 '" a 1n
#1
a 21 a 22 '" a 2n
X2
记
A=
x=
a ,1 a, '•• a,
Xn .
则 方 程 组 （1)可写成
Ax = 0
⑵
关 于 齐 次 线 性 方 程 （2 ) 的 基 础 解 系 ，有 下 面 的
关 键 词 线 性 方 程 组 ，基 础 解 系 ，通 解 ，构 造 方 法
中 图 分 类 号 O151.21
文献标识码 A
文 章 编 号 1008 - 1399(2018)03 - 0043 - 05
A Direct Construction for Fundamental Solutions and General Solutions of Linear Equations
A 92 (4)
'+一r
的 各 列 构 成 方 程 组 （2)的一个基础解系.
证 由 于 方 程 组 （2 ) 的 系 数 矩 阵 A 经初等行变
换 后 的 行 最 简 形 矩 阵 如 $ ) ，故 方 程 组 （2 ) 的同解方
程为
x (1
( r A 92 )
%
$)
其中
x ()二（X" ，x 2 ，… ，x r )T ，
第 21卷 第 3 期 2018年 5 月
高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
doi ：10. 39 69 /j. issn. 1008-1399. 2018. 03. 014
Vol.2 1 ，No.3 May, 2018
直接构造基础解系或通解的线性方程组解法
赵 彦 晖 ，王 艳
( 西 安 建 筑 科 技 大 学 理 学 院 ，陕 西 西 安 710 0 5 5 )
摘 要 给 出 的 求 解 线 性 方 程 组 基 础 解 系 或 通 解 的 方 法 是 一 种 直 接 构 造 的 方 法 ，不 用 回 到 同 解 方 程 组 ，而 是 通 过
初 等 行 变 换 一 气 呵 成 ，直 接 写 出 基 础 解 系 或 通 解 . 方 法 简 单 ，易 于 学 生 掌 握 .