第二章 随机过程2008030532

E[( X n
mXn )2 ]
K X (n1, n2 ) RX (n1, n2 ) mXn1 mXn2 E[( X n1 mXn1 )( X n2 mXn2 )]
3. RXY (n1, n2 ) E[ X n1 X n2 ]
K XY (n1, n2 ) RXY (n1, n2 ) m m Xn1 Xn2
2.4.遍历性过程
一 时间平均
A() () lim 1 T ()dt 其中T为观测时间间隔 (T ,T )
T 2T T
x(t)为确定性函数,
x(t) lim 1
T
x(t)dt
T 2T T
RP X (t),
1 T
A X (t) X (t) lim
(0)


2 X

E[ X 2 (t)] lim 1 T 2T
T X 2 (t)dt lim 1
T
T 2T
T
x(t)dt
T
消耗在1电阻上的总平均功率。

2 X

KX
(0)

E[( X
(t)

mX
)2 ]

lim
T
1 2T
T T
(
X
(t
)

mX
)2dt
lim 1

1. mXn E[ X (n)] xfX (x; n)dx

E[g( X n )] g(x) fX (x; n)dx
2. RX (n1, n2 ) E[ X (n1) X (n2 )]
n1 n2
n
2 Xn

E[
X
2 n
]
2 Xn

D[ X n ]
2. RP (1)RZ1Z2 (t, t ) E[Z1(t)* Z2 (t )] 0 正交
(2)KZ1Z2 (t, t ) E[Z1* (t) Z2 (t )] 0 不相关
联合平稳
:
RZ1Z2
(
)

0
KZ1Z2 ( ) 0
正交 (RZ1Z2 ( )
T 2T
T T
( x(t )

mX
)2dt
消耗在1电阻上的交流平均功率。
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4
四 联合宽遍历RP
当两个过程X (t)和Y (t)联合平稳时,定义它们的 互相关函数为
XY
(
)

X
(t)Y
(t

)

lim
T
1 2T
T
X (t)Y (t )dt
T
依概率1收敛于集合互相关函数RXY ( ),即

2 X

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17
3. 对于两个各自平稳的随机序列X (n),Y (n),互相关序列
若Z1
,
Z
相互独立
2
:
f X1X2Y1Y2 f X1Y1 ( x1, y1 ) f X2Y2 ( x2 , y2 )
不相关 : KZ1Z2 E[(Z1 mZ1 )* (Z2 mZ2 )] 0
或RZ1Z2 E[Z1*Z2 ] E[Z1* ]E[Z2 ]
正交 :
RZ1Z2 E[Z1*Z2 ] 0
*
RZ1Z2 ( ) E[Z1(t) Z2 (t )]
E[Z1*(t ) Z1(t)]* RZ2Z1*( ) 若联合平稳实RP RZ1Z2 ( ) RZ2Z1 ( )
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9
三 独立,不相关,正交
1.RVS Z1 X1 jY1, Z2 X 2 jY2
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1
2、复RP 定义 : 实RP X (t)和Y (t)，Z (t) X (t) jY (t) 均值: mZ (t) E[Z (t)] E[ X jY ] mX (t) jmY (t)
2
方差 : DZ (t) E[ Z (t) ] E[ Z (t) mZ (t) 2 ]
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四 平稳性
1. 如果一个离散时间随机过程经某时间平移K，(K为整数)后,
其概率统计特性保持不变, RP严平稳随机序列
FX (x1K , x2K , xN K ;1 K , 2 K , N K ) FX (x1, x2, xN ;1, 2, N ). FX (xn ; n) FX (xn ) FX (xn , xm; n, m) FX (xn , xm; n m)
均方值 :

2 Z

E[Z *Z ]
E[ Z
2
]


2 X

2 Y
2
方差 : DZ D[Z ] E[ Z ] E[ Z mZ 2 ] DX DY
R Z1Z2 E[Z1*Z2 ]
其中令 Z1 X1 jY1 Z2 X 2 jY2
KZ1Z2 E[Z1* Z2 ] E[( X1 j Y1) ( X 2 j Y2 )] K X1X2 KY1Y2 j(K X1Y2 KY1X2 ) （相关矩）
2
E[ X (t) j Y (t) ] DX (t) DY (t)
其中: X (t) X (t) mX (t), Y (t) Y (t) mY (t)
自相关函数 : RZ (t, t ) E[Z (t) Z (t )]
自协方差函数 : KZ (t, t ) E[Z *(t) Z (t )] E[(Z (t) mZ (t))*(Z (t ) mZ (t ))]
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K X (t1, t1)
K
X
(t
)



K
X
(tn
,
t1
)
K X (t1, t2 )
K X (t1, tn )


K
X
(tn
,
tn
)

f X (x1,
xn ; t1,
tn )

1 (2 )n/ 2 |
K
|1/ 2

exp[
(X
mX
(t ))T
K
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0, KZ (t, t) DZ (t)
*
互相关函数 : RZ1Z2 (t, t ) E[Z1(t) Z2 (t )]
互协方差函数 : KZ1Z2 (t, t ) E[Z1* (t) Z2 (t )]
E[(Z1(t) mZ1 (t))* (Z2 (t ) mZ2 (t ))]
ae

2 X
(t)
则称X (t)为宽(广义)遍历性过程
例(42)
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2
三 遍历性的实际意义
1. 对一般随机过程而言, 它的各个样本函数的 积分值是不同的,因而RP时间平均是个随机 变量;遍历过程各样本函数的时间平均实际 上可以认为是相同的,因此,遍历过程的时间 平均就可由它的任一样本函数的时间平均来 表示:
2. 若随机序列的均值为常数, 其自相关函数 只与时间差m n2 n1有关, 且它的均方值有限， 则其为广义平稳随机序列
mXn E[ X (n)] mX
RX (n, n m) E[ X (n) X (n m)] RX (m)
RX
(0)

2 Xn

E[ X
2 (n)]

m m * Z1 Z2
)
不相关
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2.6 高斯随机过程 一 定义及分布
1. 定义 :若实RP X (t)的任意n个状态X (t1) X (tn ) 的联合概率密度为高斯的,则称RP X (t)为高斯RP 2. 令 X [ X (t1) X (tn )]T
mX (t) [mX (t1) mX (tn )]T mX (t j ) E[ X (t j )] K X (ti ,t j ) E[( X (ti ) mX (ti ))( X (t j ) mX (t j ))]
率 分 布Байду номын сангаас
fX (x, n)
f X n (xn ; n)

FX n (xn ; n) xn
fX
(xn ,
xm ; n, m)

2 FX
(xn , xm ; n, m) xnxm
FX n (xn ; n)
xn
f X n ( xn ; n)d xn
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三 数字特征
i A X (t) x(t) E[ X (t)] mX 依概率1成立,该过程均值具有遍历性 ii X ( ) X (t) X (t ) E[ X (t) X (t )] RX ( )依概率1成立,该过程
相关函数具有遍历性
iii 若

0成立, X 2 (t)
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6.若 E[ X (t)] 0则 E[ X (t1) X (t2 ) X (t3 ) X (t4 )] RX (t1,t2 )RX (t3,t4 ) RX (t1, t3 )RX (t2 , t4 ) K X (t1, t4 )RX (t2 , t3 ) E[ X (t1) X (t2 )]E[ X (t3) X (t4 )] E[ X (t1) X (t3 )]E[ X (t1) X (t4 )] E[ X (t2 ) X (t4 )]E[ X (t1) X (t3)] 7.正态过程经过线性系统(微分器,积分器) 其输出仍为正态过程 8.高斯随机过程与确定性信号之和的分布仍是高斯分布 9.平稳高斯随机过程的导数是一个新的高斯过程, 其一维, 二维概率密度都是高斯的
E[ X (t)] lim 1
T
x(t)dt A X (t)
T 2T T
RX
(
)

lim
T
1 2T
T
T x(t)x(t )dt X ( )
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3
2.
mX
lim 1 T 2T
T X (t)dt 直流分量
T
RX
1 X
(t
)(
X
mX
(t )) ]
2
3.特征函数：
CX
(u,
t)

exp{
j
mX
(t
T
)
u

uT
K
X
(t )u}
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2
二. 性质
1.高斯RP完全由它的均值mX (t)和协方差函数K X (t)决定 2.高斯随机过程在不同时刻的不相关和统计独立等价 3.高斯RP之间不相关与相互独立等价 4.高斯RP严平稳与宽平稳等价 5.零均值,高斯RP的奇阶矩为零 (1)E[ X n (t)] 0 n为奇数 E[ X (t)] 0 则 E[ X (t1) X 4 (t2 )] 0 (2) E[ X (t)] E[Y (t)] 0 则 E[ X 3(t)Y 4 (t)] 0
XY ( ) RXY ( )
则称X (t)和Y (t)具有联合宽遍历性。
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2.5.复随机过程
一 复随机变量与复随机过程
1、复随机变量:
实RV X 和Y，Z X jY
均值: mZ E[Z ] E[ X jY ] E[ X ] jE[Y ] mX jmY
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2.7.离散时间随机过程
一 定义随机序列
连续时间RP X (t) 取样tnT X (n)或{X n; n 1, 2 N}
二 FX (x, n) FX n (xn ; n) P{X (n) xn}
概 FX (xn , xm ; n, m) P{X n xn ; X m xm}
X (t)dt
T 2T T
称RP X (t)的时间均值
X
(t,
t

)

X
(t)
X
(t

)

lim
T
1 2T
T
X (t) X (t )dt
T
称RP X (t)的时间相关函数
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1
二 遍历性过程定义
1.严遍历性过程 如果一个随机过程X (t),它的各种时间平均(时间足够长)依概率1收敛 于相应的集合平均,则X (t)为严格(狭义)遍历性过程,简称具有严遍历。 2.宽遍历性过程 X (t)是平稳随机过程(WSS),如果

RZ1Z2
(t, t

)

m* Z1
(t )mZ2
(t

)
二 宽平稳性
1.对复RP Z (t),若有
mZ (t) mX jmY ; RZ (t,t ) RZ ( ); KZ (t,t ) KZ ( ) 称Z (t)为宽平稳复RP
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2. 对复RP Z1(t)和Z2 (t)，若各自为平稳复RP且 RZ1Z2 (t, t ) RZ1Z2 ( )，KZ1Z2 (t, t ) KZ1Z2 ( ) 则称Z1(t)和Z2 (t)为联合复平稳随机过程。 3. 联合平稳复随机过程的性质 :