数值计算方法 数值计算的误差 - 数值计算的误差

x)
d(ln x) ln x
er ( x) ln x
函数的相对误差 10
主要关注点
使用数值稳定的算法 防止相近的两数相减（损失有效数字） 防止大数吃小数 防止接近零的数做除数 注意简化计算步骤，减少运算次数
11
使用稳定算法
在运算过程中,
舍入误差能控制在某
例1.6
In
1 xne x1dx ,
0
x10 600
x8 x3 x6 1000
4
误差的分类
二、 观测误差___由观测产生的误差
已知实验数据如下：
x i 100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
y i 45
51
54
61
66
70
74
78
85
89
93
求符合数据的4次拟合曲线.
测量产生误差 5
误差的分类
分析： In 1 n In1
e(
I
* n
)
ne(
I
* n1
)
误
由于计算I0 有误差
I0
1
e 1
0.6321
I
*
0
差 的
e( I0* ) 0.5 104
改
善
不计中间再产生的舍入误差
|e( In* )| = n! |e ( I0* ) |
到 I8 时
e(I8* ) 8! 40320
误差扩大了4万倍, 因而该算法是不稳定的。 14
三、截断误差：由简化问题（公式）所引起的解的误差(也称方法误差).
将函数 f ( x) (1 x) ln(1 x) 展成的幂级数.
x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x10 x11 o( x11 ) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
＝全部流出网络的流量； （2） 全部流入一个节点的流量
＝全部流出此节点的流量。 该问题满足10个变量的线性方程组
x2 x3 x4 300
x4 x5 500
x7 x6 200 x1 x2 800
x1 x5 800 x7 x8 1000
x9 400
x10 x9 200
第 一
绪论
章
1
1 话说科学计算 2 话说《数值计算方法》课程 3 误差与有效数字 4 误差的传播与改善
2
误差的概念 有效数字 误差的分类 误差的传播
3
误差的分类
假设产生误差
一、模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
实验：交通流量问题
问题分析与建立模型：
模型假设： （1） 全部流入网络的流量
n 0,1, 2,
个范围内的算法称为 数值稳定的算法,否 则就称为不稳定的算
用分部积分公式得递推公式:
误
差 的
In 1 n In1
改
近似值 In* 的递推公式:
善
I
* n
1
n
I* n 1
法.
用四位有效数字计算:
I0
1
e
x 1dx
1
e 1
0
0.6321
I
*Baidu Nhomakorabea
0
误差e( In* )的递推公式:
e(
e（x1* / x2*）
x1*e（x2*） x2*e（x1*） x 2* 2
（x2* 0）.
e（x1* / x2*）
x1*e（
x2*） x2*e（ x 2* 2
x1*）
x1* x 2* 2
（ x2*）
x2* x 2* 2
（ x1*）
8
误差的传播
若两个近似数x1* 与 x2*，其相对误差限分别
为（r x1*）及（r x2*）,则: （ r x1* x2*）
函数的绝对误差
函数的绝对误差和相对误差
er ( y* )
e( y* ) y*
dy* y* (
y* 'e( x) y* )
d(ln
y* )
例如 求 y1 xn , y2 ln x的相对误差.
er ( y1 ) d(ln xn ) nd(ln x) ner ( x)
er
(
y2
)
d (ln
ln
特别地 : x1*与x2*同号时:
x1* r ( x1* )
x
* 2
r
(
x
* 2
)
x1*
x
* 2
取
（r x1* x2*） max{ r ( x1* ), r ( x2* )}
（r x1*
x2*）
（r x1*）
（r
x
*）
2
请记住
（r x1* / x2*） （r x1*） （r x2*）
er (
y* )
e( y* ) y*
dy* y*
(
y*
' e( y*
x))
d (ln
y*
)
9
函数的误差
设 y f (x) y* f ( x*)
e( y* ) y y* f (x) f (x*) y dy
e[ f ( x)] f '( x)e( x) f '( x)( x x*) df ( x)
3.14159265358979323846
提醒注意 避免“过失误差”
过失误差
非过失误差
7
误差的传播
若两个近似数x1* 与 x2*，其绝对误差限分别为（x1*） 及（x2*）则:
e（x1* x2*） e（x1*） e（x2*） （x1*） （x2*）
e（x1* x2*） x1*e（x2*） x2*e（x1*） x1* （x2*） x2* （x1*）
5
0.14553
0.3678
6
0.12680
0.2642
7
0.11238
0.2074
8
0.10093
0.1704
9
0.09161
n 0,1, 2,
近似值In* 0.1408 0.1120 0.2180 -0.7280 7.5520
于是I7* , I8* 与精确值已经面目全非。
13
使用稳定算法
算法不稳定性
I
* n
)
ne(
I
* n1
)
12
使使用用稳稳定定算算法法
算法不稳定性
算法一 In 1 n In1
代入得下表:
n
精确值 In
0
0.63212
1
0.36787
2
0.26424
3
0.20727
4
0.17089
I0
1
e 1
0.6321
I
*
0
In
1 xne x1dx ,
0
近似值In*
n
精确值 In
0.6321
再如：函数 f (x) 用泰勒多项式近似代替
pn ( x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2 2!
f (n) (0) x n n!
则截断误差是： Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(0 x)
6
误差的分类
四、舍入误差： 数字计算过程中产生的误差
使用稳定算法
In
1 xne x1dx ,
0
n 0,1, 2,
调整算法：
0 e x1 1
误 差 的
e1
0 n1
1 0
x n e 1dx
In
1 xndx 1
0
n1
改 善
故 0.0460 I7 0.1250
0.0409 I8 0.1111