学案4：数列通项公式的求法

学案4：数列通项公式的求法

学案4：数列的通项公式求法

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关键是找出各项与项数n 的关系.）

4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，… （2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1 （4） ,5

4,43,32,21--

公式法1：特殊数列

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若

函数f (x) = (x －1)2

，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n

例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

求数列{}n b 的通项公式.

公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2

,1

,11n S S n s a n n n .

例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和12

-=n s n 的公式，求}{n a 的通项公式.

简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)是关于n 的一次、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得

例6、已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例7、已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(1

1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

【 形如1+n a =f (n)·n a 型】 当f(n)为n 分式的函数时,用累乘法. 例8、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式.

练习1（2004全国15）已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}

n a 的通项公式。

构造1：【形如1+n n ,其中1)型】 （1）若c=1时，数列{n }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若1≠c 且0≠d 时，数列{n a }为线性递推数列， 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.

方法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得1

d

c λ=-， 所以：)1(11-+=-+

-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例9：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .

构造2：相邻项的差为特殊数列

例10：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3

1

3212+=++，求n a .

构造3：倒数为特殊数列【形如s

ra pa a n n n +=

--11

】

例11： 已知数列｛n a ｝中11=a 且1

1+=+n n

n a a a （N n ∈），

，求数列的通项公式.

构造4：1n n n a qa q +=+与n

n n q pa a +=+1

例12：已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

例13：已知数列{}n a 满足1123,6n

n n a a a +=+=，求数列{}n a 的通项公式。

例14：已知数列{}n a 满足1132313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：符合n n q pa a +=形式的数列，可以两边同时除以1

+n q ，然后构造新的数列求通项公式.

例15：设数列n 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}

{n a 为等差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，

)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n .

例16：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.

（2）数列{n a }满足11=a ,且2

121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式

（3）已知数列}{n a 中，,2

1

21,211+==+n n a a a 求通项n a .

学案4：数列的通项公式求法

专题一：数列通项公式的求法