弹性力学基础讲诉

剪应变
剪应变用字母γ表示： γ xy表示x与y 两方向的线段（即PA 与PB ）之间的 直角的改变，其余类推。 剪应变以直角变小时为正，变大时 为负，与剪应力的正负号规定相对 应（正的τxy引起正的γ xy ，等等）。
应变分量
如果εx ， εy ， εz ， γ xy ， γ yz ， γ zx 这6个应变量在P点是巳知的，就可求得 经过该点的任一微小线段的正应变，以 及经过该点的任意两个微小线段之间的 夹角改变，并且可求得该点的最大与最 小的正应变。 因此，这6个量可以完全确定该点的形变 状态，它们就称为在该点的应变分量。 当然，一般说来，应变分量也是坐标x， y、z的函数。
正应变与剪应变
为了描述弹性体内任一点P的形变，在这 一点沿着坐标轴的正方向取三个微小线 段PA=Δx，PB= Δ y，PC= Δ z。如图1。 弹性体变形以后，这三个线段的长度以 及它们之间的直角都将有所改变。线段 的每单位长度的伸缩称为正应变，线段 之间的直角的改变称为剪应变。
正应变
正应变用字母ε表示： εx表示x方向 的线段（即PA ）的正应变，其余类 推。 正应变以伸长时为正，缩短时为负， 与正应力的正负号规定相对应。
6个应变分量的总体，可用应变矢 量表示：
几何方程
应变分量与位移分量之间有一定的 几何关系。这就是所谓几何方程。
6个几何方程的总体可以用一个矩阵方 程来表示
刚体位移
由几何方程可见，当弹性体的位移分量 完全确定时，应变分量是完全确定的。 反过来，当应变分量是完全确定，位移 分量却不完全确定。 这是因为，具有确定形状的物体，可能 发生不同的刚体位移。
3 位移及形变．几何方程．刚体位移
弹性体在受外力以后，还将发生位移和 形变，也就是位置的移动和形状的改变。 弹性体内任一点的位移，用它在坐标轴x， y、z上的投影u，v，w来表明，以沿坐标 轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 这三个投影称为该点的位移分量。 当然，一般说来，位移分量也是坐标x， y、z的函数。
考虑到通过弹性体中的一点总可做出三 个相互垂直的坐标平面，所以总共可得 九个应力分量。即σx ，τxy ， τxz ， σy ， τyx ， τyz ， σz ， τzx ， τzy 。 由于剪应力互等，只有σx ， σy ， σz ， τxy ， τyz ， τzx六个应力分量是独立的。
由材料力学可知，如果这六个量在P点是 已知的，就可以求得经过该点的任何面 上的应力，以及该点的最大与最小的正 应力和剪应力。 因此，这六个量可以完全确定该点的应 力状态，它们就成为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都 不相同，因此，描述弹性体内应力状态 的上述六个应力分量并不是常量，而是 坐标x，y，z的函数。
应力分析图
从图中看出：
将每一面上的应力分解为一个正应力和 两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。 正应力用字母σ表示。为了表明这个正应 力的作用面和作用方向，加上一个下标， 例如：正应力σx是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着x轴方向作用的。
剪应力用字母τ表示，并加上两个下标， 前一个下标表明作用面垂直于哪一个坐 标轴，后一个下标表明作用方向沿着哪 一个坐标轴。例如：剪应力τxy是作用在 垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。
如令
积分以后，得
式中
u0、 v0、 w0、 wx 、 wy 、 wz是积分常数。 其物理意义可参见下图。 上式所示的位移分量是当应变分量为零 时的位移，即与变形无关的位移，显然 此种位移必然是物体的刚体位移。 由几何关系不难证明：u0、 v0、 w0代表弹 性体沿坐标轴的刚体平动， wx 、 wy 、 wz 代表弹性体绕坐标轴的刚体转动。
Байду номын сангаас 定义
经过P点的某一斜面上的剪应力 等于零，则该斜面上的正应力称 为P点的一个主应力，该斜面称 为P点的一个应力主面，而该斜 面的法线方向(即该主应力的方 向)称为P点的一个应力主向。
求取主应力的方程为：
求解这个方程，可得出三个实根： σ1 ， σ2 ，σ3 。这就是在P点的三个主应力。 这三个主应力相对应的三个应力主向总 是互相垂直的。 可以证明，在弹性体的任意一点，三个 主应力中最大的一个就是该点的最大正 应力，三个主应力中最小的一个就是该 点的最小正应力。
弹性力学基础
主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
弹性力学的基本假设 应力的概念、主应力及应力主向 位移及形变．几何方程．刚体位移 物理方程．弹性矩阵 虚功及虚功方程 两种平面问题 轴对称问题 薄板的弯曲问题
1 弹性力学的基本假设
假设物体是连续的，不留任何空隙。故 物体内的一些物理量，例如应力、应变、 位移等，才可用坐标的连续函数来表示。 假设物体是完全弹性的，不留任何残余 变形。故温度不变时，物体在任一瞬时 的形状就完全取决于它在这一瞬时所受 的外力，它与过去受力情况无关。材料 服从虎克定律，应力与应变成正比关系。
假设物体是均匀的。 假设物体是各向同性的。即物体内每一 点各个不同方向的物理性质和机械性质 都是相同的。 假设物体的变形是微小的。
2. 应力的概念
弹性体受外力以后，其内部将发生 应力。 为了描述弹性体内某一点P的应力， 在这一点从弹性体内割取一个微小 的平行六面体PABC，它的六面分别 垂直于相应的坐标轴，如图1。
6个应力分量的总体，可用如下应力矢 量（或列阵）来表示：
主应力及应力主向
假定弹性体内任意一点P的6个应力分量为已知， 试求经过P点的任一斜面上的应力。 为此，在P点附近取一个平面QRS，如图2，它 平行于这一斜面，与经过P点而垂直于坐标轴 的三个平面形成一个微小的四面体PQRS。 当平面QRS趋近于P点时，平面QRS上的应力就 趋近于该斜面上的应力。
应力的正负方向
如果某一个面上的外法线是沿着坐 标轴的正方向，这个面上的应力就 以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴 负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是 沿坐标轴的负方向，这个面上的应 力就以沿坐标轴负方向为正，沿坐 标轴正方向为负。
剪应力互等定律
根据微小平行六面体的平衡条件，
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于 该两面交线的剪应力是互等的(大小相等， 正负号也相同)。即：