流形上的旋度公式证明

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§10.6-7旋度与斯托克斯公式(1)

由此得旋度 rotA的表达式：
R Q P R Q P rotA { , , } y z z x x y i j k 或 rotA . x y z P Q R n 故向量场A 在点 M 处沿方向的环量面密度 rot n A 可写成 rot n A (rot A) n rot A n 即旋度 rotA 在方向n 上的投影。
C
Pdx Qdy Rdz
环量。
下面以平面流速场来说明环量与旋转性质的关系。
设流速场v 的流线如图分布。取封闭的流线作为
积分曲线C ，因流线上每一点的流速都在该点的切
线上，即 v 与 ds 同向，
所以
总是正的，因而 C A ds 0 ，
v ds
v
C
这表明环量不为零反映了 C所包围的区域内有旋。
由 Stokes 公式，有
I ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
C
1 3 x y2 z2
1 3 y z 2 x2
1 3 4 ( x y z )dS. dS z 3 x2 y2
2dx dy 2

dxdy 2.
D xy
例 2．计算 I
C
( y z )dx ( z x )dy ( x y )dz ，
2
2
2
2
2
2
3 其中 C 为平面 x y z 截立方体 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 2
例 1．计算曲线积分 ( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz ，

从定义出发给出旋度公式的推导

从定义出发给出旋度公式的推导一班唐浩月 29031010131 旋度的概念由于矢量场在点M 出的环流密度与面元∆S 的法线方向n e 有关，因此，在矢量场中，一个给定点M 处延不同方向，它的环流密度值一般是不同的。

在某一个确定方向上，环流面密度可能取很大的值。

为了描述这个问题，引入了旋度的概念。

矢量场F 在点M 处的旋度是一个矢量，记为rotF,它的方向沿着使得环流密度去的最大值的面元法线方向，大小等于该环流密度最大值，即max 01lim c S rot F n F dl S →→→∆→=∆⎰ 2 公式推导若在场A （M ）中的一点M 处存在这样的一个向量，其方向为A，在点M 处环量密度最大的方向，其模等于环量密度的最大值，则称此向量为A （M ）在M 的旋度，记为rot A。

我们首先推导环量密度的计算公式。

建立直角坐标系，设 ((,,),(,,),(,,))A P x y z Q x y z R x y z =为区域上的3G R ⊆ 上的(1)C 类函数，(cos ,cos ,cos )n e αβγ= ，由环量密度的定义以及Stokes 公式的向量形式可知：11lim lim (*)n c S M S M SdT AdS A e dS dS S S →∆→∆→∆==∇∆∆⎰⎰⎰ 利用积分中值定理可知： (*)[(*)],()n n M S A e dS A e S M S ∆∇=∇∆∈∆⎰⎰ 由于(*)*n A e ∇在M 处连续，从而11lim lim (*)n c S M S M SdT AdS A e dS dS S S →∆→∆→∆==∇∆∆⎰⎰⎰ 或()cos ()cos ()cos dT R Q P R Q P dS y z z x x yδδδδδδαβγδδδδδδ=-+-+- 上面两公式就是环量密度的计算公式。

从而可知：*cos n dT A e dSϕ=∇ 其中为向量与的夹角，因而当，即取于向量同向时，环量密度最大，为。

流形上的旋度公式证明

流形上的旋度公式证明杨科中国成都 610017E-mail: more2010e@摘要：旋度公式(又称Stokes 公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的旋度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐;不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell 方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上. 一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明, 通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green 公式, Остроградский-Gauss 公式,Stokes 公式,乃至关于n 维空间积分的广义Stokes 公式[20],即 d ∂∑∑ω=ω⎰⎰ 但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),用积分以及和式极限的方法,证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare 猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在, 使旋度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型."证明流形上的旋度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.本稿件相关的数值模型表明,使用基于参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体 [流形,尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面] 的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分,实现向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域 (闭合路径、非闭合曲面)的精确积分计算, 确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学拓扑学物理学 Poincare 猜想向量场自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系复连通可定向闭合参数曲面坐标系基于参数化空间点积法的曲面积分流形上的旋度公式证明数值模型和式极限基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联工程意义上流形积分解析积分值任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言1(参见流形上的散度公式证明引言1)引言2 证明的前提条件——-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见流形上的散度公式证明引言2)流形上的旋度公式证明 (2)总结 (6)参考书籍 (7)流形上的旋度公式证明:旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S 的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场A]在有向曲面S 上有一阶连续偏导数,则L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1) 其中rotA 为向量场A 的旋度,n 为有向曲面S 的单位外法向量证明:定义任意单连通、可定向闭合曲面S 的参数表达式:[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u)] (2)其中a,b,c 为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S 决定a,b,c 的取值; 设定参数u,v 的变化范围[0,π/n -θ],[0,2π],其中n 为任意常数,并且n ≥ 1;θ为任意常数或连续函数表达式, 并且π/n-θ<π,使曲面S 非闭合. (参见Poincare 猜想:"任何与n 维球面同伦的n 维闭合流形必定同胚于n 维球面")[18]定义边界曲线L 的参数表达式:[α cos(v),β sin(v),γ] (3)]其中α,β,γ为依存于a,b,c 的常数(α≠0,β≠0)或一阶可导连续函数表达式; 因为参数v 的变化范围为[0,2π],边界曲线L 闭合.(即 [α cos(v),β sin(v)], v ∈[0,2π] 构成依存于曲面S 的一维单连通闭合流形或若干一维单连通闭合流形的组合)[18]向量场A 在边界曲线L 的环路积分:d ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π + + ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()α()cos v ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()β()sin v ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v γv = = d ⎛⎠⎜02π- + ()P ,,x y z α()sin v ()Q ,,x y z β()cos v v 0 (4) 根据曲面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面S 的切平面法向量: sin()cos()sin()sin()cos()sin()cos()sin()sin()cos()i j k a u v b u v c u u u u a u v b u v c u vv v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦ = i c ()sin u 2b ()cos v a ()cos u ()cos v 2k b ()sin u a ()sin u 2()sin v j c+ + a ()sin u ()sin v 2k b ()cos u + (5)从(5)式分别提取i,j,k 项系数,获得曲面S 的切平面法向量: [2sin()cos()c u b v ,2sin()sin()u a v c ,sin()cos()u ab u ] (6)计算向量场 A 的旋度,并将其从直角坐标形式(7)转变为参数曲面 S 坐标形式(8):- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥ (7)⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v ⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u - , ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v - , ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v - ⎤⎦⎥⎥= ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v ,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v , ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎤⎦⎥⎥ (8)旋度(8)与曲面S 的切平面法向量(6)的空间点积对变量u,v 的积分: (9)⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π⎛⎠⎜⎜⎜⎜0 - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3()cos u ()sin v ()sin u 3()cos v 2c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 3()cos u ()cos v ()sin u 3()sin v 2c ⎛⎝+ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎫⎭⎪⎪()sin u a b ()cos u u d v d=⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π18()sin v ()cos v 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n 4()cos v c n ⎛⎝ 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n 4()sin v c n + 2a 3b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n 3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z - 2a b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n 3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z - a 3b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z + a b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z a 3b π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z + - a b 3π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z a 3b θn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a b 3θn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z - + + ⎫⎭⎪⎪n /v d 0= 即(4)式=(9)式:d ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π + + ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()α()cos v ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()β()sin v ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v γv = ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π⎛⎠⎜⎜⎜⎜0 - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3()cos u ()sin v ()sin u 3()cos v 2c⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 3()cos u ()cos v ()sin u 3()sin v 2c ⎛⎝+ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎫⎭⎪⎪()sin u a b ()cos u u d v d亦可表述为L S A dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1), 证毕环面旋度公式证明和流形上的旋度公式数值模型,参见”附件1 流形上的旋度公式证明和数值模型(分析与说明)”流形上的旋度公式和式极限证明及其数值模型, 参见”附件 3 流形上的旋度公式和式极限证明和数值模型[分析与说明]”总结传统的旋度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法)的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题 (例如电磁学领域的 Maxwell 方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组, 难于甚至不能获得关于复杂几何对象 (流形) 的解析解、数值解;传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green 公式, Остроградский-Gauss 公式,Stokes 公式,乃至关于n 维空间积分的广义Stokes 公式[20],即d ∂∑∑ω=ω⎰⎰ 但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare 猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在, 使旋度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证, 确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型."证明流形上的旋度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.本稿件相关的数值模型表明, 通过基于参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体 (流形) 尤其是不对称、不规则(非闭合) 曲面的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分、任意空间环路积分,甚至实现积分区间的艺术化;寻找向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域(非闭合曲面,闭合路径)的积分计算途径和关联关系,寻找微积分学、拓扑学和工程计算三者的直接衔接点, 实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分, 实现更广大、更自由的物理、数学探索和工程实践.参考书籍:[1]《基础物理述评教程》潘根科学版2002.1 (P363-364,P385,P401)[2]《费恩曼物理学讲义》(第2卷) [《The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands》Pearson Education 1989 ] 上海世纪出版股份有限公司/上海科学技术版2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷(P36-38,,P213-229,P230-242,P259-289)[3]《电磁学》高等教育版2001.1 (P172-175)[4]《电动力学及其计算机辅助教学》科学版2007.8 (P1-47)[5]《场论》原子能版2006.10 (2008.8 重印) (P13-17)[6]《流体力学》冶金工业版 2010.2(P37-39)[7]《应用流体力学》清华大学版2006.3 (P46)[8]《工程流体力学》人民交通版 2010.1(P88-96)[9]《多维气体动力学基础(第2版)》北京航空航天大学版2008.6 (P15)[10]《数学分析简明教程》(下册) [前苏联] А.Я.Хинчин高等教育版1956.8 (P650-653)[11]《工程数学: 矢量分析与场论》谢树艺高等教育版1978.12 第1版1985.3 第2版2002.3 第23次印刷(P53-57,P85,P90-91)[12]《微积分》(下册) 同济大学应用数学系高等教育版2002.1 (P239-246)[13]《高等数学多元微积分及其教学软件》上海市教委组编上海交通大学同济大学华东理工大学上海大学编科学版1999.6 (P403-412)[14]《工科微积分》(下册) 丁晓庆科学版2002.9 (P319-321)[15]《高等数学(第六版)》(下册) 同济大学数学系高等教育版1978.10 第1版2007.6 第6版2009.8 第9次印刷(P175-177,P178-179)[16]《托马斯微积分》(第10版) [《Thomas’s Calculus》(Tenth Edition) ] 高等教育版2003.8 (P1137-1145)[17]《微积分》M.R.Spiegel [《Schaum’s Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus》McGraw-Hill Companies, Inc Copyright 1963, 37thPrinting, 1998 ] 科学版2002.1 (P192-195) [18]《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明》[《A complete proof of the Poincare and geometrizationconjectures-Application of the Hamilton-Perelman theory of the RICCI flow》]Г. Я. Перельман朱熹平曹怀东《Asian J. Math》June 2006, P165-492[19]《流形上的微积分》M.Spivak 人民邮电版2006.1 (P114-143)[20]《Maple指令参考手册》国防工业版2002.1Proof of Curl Theorem at ManifoldYangkeChina Chengdu 610017E-mail: more2010e@Abstract:Curl Theorem( i.e. Stokes Theorem) is one of the hard core in modern mathematical and physical system. The logic system of Curl Theorem ’s traditional proof, established formular association between Surface Integral (Based on projective method in 3-Dimensional Cartesian coordinates) and Space Closed Curve Integral, radicated that projective method in 3-dimensional Cartesian coordinates (shortened form as ‘projective method ’) was primary method of surface integral. But projective method possesses many obvious defects (e.g. complicated and tedious calculating course, be disable to calculate on asymmetrical 、irregular surfaces etc.), so that resolvents of many important questions in physics 、engineering field (e.g. instantiation of Maxwell's equations in electromagnetism and integral at discretional irregular control surface in hydrodynamics) are built on solving partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates. For more than a century, countless mathematical 、physical and engineering practices have proved: Depend on projective method 、 partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates, it is difficult or disable to obtain analytical solution or numerical solution about complicated geometric objects (Manifold) ;Traditional manifold calculus deducts out Green Theorem 、 Остроградский- Gauss Theorem and Stokes Theorem by exterior differential form, and even generalized Stokes Theorem about n-dimensional space integral [20], viz.d ∂∑∑ω=ω⎰⎰ But these theorems (deducted by exterior differential form), scantly possess abstract academic meaning, and can ’t reveal idiographic course of integrals, leave alone idiographic numerical models;In this manuscript, constitute individual coordinates that matches with idiographic geometric object[Manifold] (Viz. What idiographic geometric shape, what coordinates of idiographic geometric shape; no longer rely on a few existent coordinates: Cartesian coordinates 、Spherical coordinates 、Cylindrical coordinates and generalized spherical coordinates etc.), by methods of integral and finite sums limits, prove the presence of Curl Theorem in countless free parametrized surface [Manifold] coordinates[Include simply connected orientable closed surface coordinates (Bases on Poincare conjecture) and multiple connected orientable closed surface (Torus) coordinates], enable Curl Theorem surpass traditional architecture of 3-Dimensional Cartesian coordinates, establish new formular association between surface integral (Bases on parameterized dot product method) and spacial closed curve integral, and realize mutual validation between two types of integral in infinitely plentiful and gorgeousformular numerical model operations, radicate theoretical logic basis and numerical model of new surface integral (Bases on parameterized dot product method).‘Prove Curl Theorem at Manifold’itself is not sole purpose, ‘Establish new formular association between surface integral (Bases on parameterized dot product method) and spacial closed curve integral, radicate theoretical logic basis and numerical model of new surface integral (Bases on parameterized dot product method)’ is prime purpose.Correlative numerical models of these series manuscripts have indicated, by surface integral (Bases on parameterized dot product method), we can obtain analytic integral value and float integral value in discretional precision about complicated geometric objects (Manifold,irregular、asymmetrical、unclosed surface especially). Realize free surface integral, realize exact integral calculation of vector field [electric field、magnetic field、hydromechanical field、gravitational field etc.] in discretional free space region(closed route、unclosed surface), radicate logic relationship of two integral methods, realize Curl Theorem at Manifold and Manifold Integral in Engineering Meaning.Keywords:Calculus, Topology, Physics, Poincare Conjecture, Vector Field,Free Parametrized Surface Coordinates,Simply Connected Surface Coordinates, Multiple Connected Surface Coordinates,Surface Integral (Bases on Parameterized Dot Product Method),Curl Theorem at Manifold, Proof, Numerical Models, Finite Sums Limits,New Formular Association between Surface Integral (Bases on Parameterized Dot Product Method) and Space Closed Curve Integral,Manifold Integral in Engineering Meaning,Analytic Integral Value, Float Integral Value in Discretional PrecisionCLC number: O17/O412.3。

关于旋度公式的推导方法

10.3969/j.issn.1671-489X.2019.18.098关于旋度公式的推导方法*◆丁尚文郭清伟陈琳摘要以水漩涡为例，讨论漩涡中微元旋转强度问题。

采用环流量与面积之比的极限对水漩涡中心处的微元旋转强度建立数学模型，通过数学模型求解找出速度场与旋度场之间的联系，推导出旋度概念和定义。

该教学设计以水漩涡为例，借助数学建模方法培养学生解决物理问题的能力。

关键词水漩涡；旋度；环流量；角速度；数学模型中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1671-489X(2019)18-0098-04Derivation Method based on Curl Formula //DING Shangwen, GUO Qingwei, CHEN LinAbstract Taking the water vortex as an example, this paper discusses the measurement of the rotation intensity of the micro element in the vortex. By using the limit of the ratio of annular flow to area, a mathematical model is established to measure rotation intensity of the micro element at the center of water vortex. By solving the mathematical model, the relation between the velocity ﬁ eld and the rotation ﬁ eld is found out, and the concept and deﬁ nition of the curl is deduced. This instructional design takes water vortex as an exam-ple, and helps students develop their ability to solve physical pro-blems by means of mathematical modeling.Key words water vortex; curl; annular flow; angular velocity; mathematical model１　引言旋度是多元函数积分学中一个重要的概念，在流体动力学、流体运动学和空气动力学等领域有着非常广泛的应用[1]。

流体力学中的旋度与散度

流体力学中的旋度与散度在流体力学中，旋度与散度是两个重要的概念，用于描述流体的运动和变化。

旋度和散度提供了流体力学研究中的基本工具，通过它们我们可以深入理解流体的行为和性质。

旋度是一个矢量运算，用于描述流体中涡旋的程度和方向。

假设某一点处的流体速度场为V(x, y, z)，那么旋度的定义为：旋度 = ∇ × V = ( ∂Vz/∂y - ∂Vy/∂z, ∂Vx/∂z - ∂Vz/∂x, ∂Vy/∂x - ∂Vx/∂y )其中，∂Vx/∂y表示速度场在x方向上的变化率，其他项类似。

旋度的方向垂直于速度场的平面，指向涡旋的旋转方向。

旋度的大小反映了涡旋的强度，即速度场的剪切变化。

旋度在流体力学中具有重要的意义。

它与涡旋的形成和消失密切相关，可以描述流体的旋转运动和涡旋结构。

通过计算旋度，我们可以了解流体的旋转特性，研究涡流的产生和演化过程。

与旋度相对应的是散度，它用于描述速度场的收缩或扩散程度。

假设某一点处的速度场为V(x, y, z)，散度的定义为：散度 = ∇ · V = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z散度表示了速度场在单位体积内的流出或流入情况，其正负符号表示流体的扩散或收缩。

正散度表示流体从该点流出，负散度表示流体向该点流入。

散度的大小反映了速度场的分散程度。

当散度为零时，表示速度场无源无汇，即流体在该区域内没有产生或消失。

散度不为零时，表示速度场存在源汇，流体在该区域内有流入或流出现象。

散度在流体力学中有着广泛的应用。

通过计算散度，我们可以研究流体的汇聚和发散，分析速度场的变化和流体运动的特征。

散度的理论和计算方法在流场分析、流量计算等方面有着重要的作用。

综上所述，旋度和散度是流体力学中的重要概念，用于描述流体的旋转和变化。

旋度描述了速度场的涡旋特性，散度描述了速度场的流入流出情况。

它们为我们理解和研究流体力学问题提供了基础工具，应用广泛而重要。

通过对旋度和散度的分析，我们可以深入认识流体的运动规律和性质，推动流体力学的发展与应用。

旋度的推导过程

旋度的推导过程旋度是矢量场的一个重要概念，它描述了矢量场局部旋转的程度和方向。

在物理学和数学中，旋度被广泛应用于流体力学、电磁学和天体物理等领域。

本文将从旋度的定义和推导过程入手，详细介绍旋度的概念和其在物理学中的应用。

一、旋度的定义在三维欧几里得空间中，考虑一个矢量场F，其在某一点P处的矢量值为F(P)。

旋度的定义如下：旋度(F) = lim(ΔS → 0) [1/(ΔS) * ∮(C) F·dr]其中，ΔS表示曲面S的面积，ΔS趋近于0时，曲面S逐渐趋近于点P。

∮(C)表示沿着曲线C的环路积分，F·dr表示矢量F与沿着曲线C的微元位移向量dr的点积。

旋度(F)的方向垂直于曲面S，符合右手螺旋定则。

为了更好地理解旋度的概念，我们可以通过推导来得到旋度的具体表达式。

首先，我们假设矢量场F可以表示为F = (P,Q,R)，其中P、Q、R为关于空间坐标的函数。

在曲面S上取一个微小的面元ΔS，则曲面S可以看作是由无数个面元ΔS组成的。

在面元ΔS上任取一点P，其在曲面S上的投影为点P'。

根据矢量场F在点P处的取值F(P)，我们可以将其在点P'处的投影表示为F(P') = (P',Q',R')。

现在，我们考虑曲线C，它是曲面S的边界。

在曲线C上任取一点P，其在曲线C上的微元位移向量为dr。

根据曲线C的定义，我们可以将其投影到曲面S上，得到曲线C'。

根据环路积分的定义，我们可以得到：∮(C) F·dr = ∮(C') F·dr将矢量场F的各个分量代入上式，并展开计算，可以得到：∮(C') F·dr = ∮(C') (Pdx + Qdy + Rdz)根据微积分中的格林公式，我们可以将上式进一步转化为对曲面S 的面积分：∮(C') (Pdx + Qdy + Rdz) = ∬(S) (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dydz + (∂P/∂z - ∂R/∂x)dzdx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy根据旋度的定义，我们将上式进一步化简，得到：∮(C) F·dr = ∬(S) (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k所以，旋度(F) = (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j + (∂Q/∂x -∂P/∂y)k三、旋度的物理意义旋度描述了矢量场局部旋转的程度和方向。

10-7斯托克斯公式环流量和旋度

P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围设闭区域
D 上具有一阶连成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z

n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
n

右手法则

正向边界曲线
z
是有向曲面的
n
证明
如图
z 轴的直线设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式

Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取上侧,有向曲线 C 为Σ 的正向边界曲线在 xoy 的投影.且所围区域D xy .
x
:z

f ( x, y )

从定义出发给出旋度公式的推导

从定义出发给出旋度公式的推导一班唐浩月 131 旋度的概念由于矢量场在点M 出的环流密度与面元∆S 的法线方向n e 有关，因此，在矢量场中，一个给定点M 处延不同方向，它的环流密度值一般是不同的。

在某一个确定方向上，环流面密度可能取很大的值。

为了描述这个问题，引入了旋度的概念。

矢量场F 在点M 处的旋度是一个矢量，记为rotF,它的方向沿着使得环流密度去的最大值的面元法线方向，大小等于该环流密度最大值，即max 01lim c S rot F n F dl S →→→∆→=∆⎰ 2 公式推导若在场A （M ）中的一点M 处存在这样的一个向量，其方向为A ，在点M 处环量密度最大的方向，其模等于环量密度的最大值，则称此向量为A （M ）在M 的旋度，记为rot A 。

我们首先推导环量密度的计算公式。

建立直角坐标系，设((,,),(,,),(,,))A P x y z Q x y z R x y z =为区域上的3G R ⊆上的(1)C 类函数，(cos ,cos ,cos )n e αβγ=，由环量密度的定义以及Stokes 公式的向量形式可知：11lim lim (*)nc S M S M S dT AdS A e dS dS S S →∆→∆→∆==∇∆∆⎰⎰⎰利用积分中值定理可知：(*)[(*)],()n n M S A e dS A e S M S ∆∇=∇∆∈∆⎰⎰由于(*)*n A e ∇在M 处连续，从而 11lim lim (*)n c S M S M SdT AdS A e dS dS SS →∆→∆→∆==∇∆∆⎰⎰⎰ 或 ()cos ()cos ()cos dT R Q P R Q P dS y z z x xyδδδδδδαβγδδδδδδ=-+-+- 上面两公式就是环量密度的计算公式。

从而可知：*cos n dT A e dSϕ=∇ 其中为向量与的夹角，因而当，即取于向量同向时，环量密度最大，为。

关于旋度公式的推导方法

关于旋度公式的推导方法旋度公式（Curl Theorem）是矢量分析中的一个重要公式，用于求解矢量场的旋度。

旋度公式的推导涉及到矢量分析和微积分的知识。

下面将详细介绍旋度公式的推导方法。

1.介绍旋度的定义首先，我们先了解一下旋度（Curl）的定义。

对于一个矢量场A，其旋度定义为：rot A = ∇×A其中，∇表示向量微分算符，×代表矢量的叉乘运算。

2.利用叉乘性质进行展开我们可以把A展开为A = Ai î + Aj ĵ + Ak k，其中Aix, Aiy, Aiz 为A在相应方向上的分量，i, j, k分别为x、y、z轴上的单位矢量。

此时，我们可以利用叉乘的性质对旋度进行展开：∇×A=∇×(Aiî+Ajĵ+Akk)=∇×(Aiî)+∇×(Ajĵ)+∇×(Akk)根据叉乘的定义，我们可以得到：∇×(Aiî)=(∂/∂x)(Aik-Aki)+(∂/∂y)(Akî-Aik)+(∂/∂z)(Aiĵ-Ajî)∇×(Ajĵ)=(∂/∂x)(Ajk-Akj)+(∂/∂y)(Aij-Aji)+(∂/∂z)(Ajî-Aiĵ)∇×(Akk)=(∂/∂x)(Akĵ-Ajk)+(∂/∂y)(Aji-Aij)+(∂/∂z)(Aik-Aki)将上述结果展开并整理，得到：∇×A=(∂Aj/∂z-∂Ak/∂y)î+(∂Ak/∂x-∂Ai/∂z)ĵ+(∂Ai/∂y-∂Aj/∂x)k3.利用符号的性质进行整理我们可以使用分部积分的方法将偏导数的次序进行交换。

设函数f(x,y,z)为任意三维函数，则有：∇·(fA)=(∂/∂x)(fAi)+(∂/∂y)(fAj)+(∂/∂z)(fAk)利用标量积的定义，我们可以得到：∇·(fA)=∂f/∂x·Ai+∂f/∂y·Aj+∂f/∂z·Ak+f(∂Ai/∂x+∂Aj/∂y+∂Ak/∂z)然后，我们把fA展开成分量的形式，即：fA=f(Aiî+Ajĵ+Akk)∇·(fA)=∇·(f(Aiî+Ajĵ+Akk))=∇·(fAiî)+∇·(fAjĵ)+∇·(fAkk)∇·(fAiî)=(∂/∂x)(fAi)∇·(fAjĵ)=(∂/∂y)(fAj)∇·(fAkk)=(∂/∂z)(fAk)将上述结果相加并整理，得到：∇·(fA)=(∂f/∂x)Ai+(∂f/∂y)Aj+(∂f/∂z)Ak+f(∂Ai/∂x+∂Aj/∂y+∂Ak/∂z)利用向量物理中的一个恒等式∇·(fA)=A·(∇f)+f(∇·A)，可以得到：∇·(fA)=A·(∇f)+f(∇·A)4.成立证明现在我们来证明旋度公式成立。

斯托克斯公式环流量与旋度

环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢量线段数。
详细描述

流体的旋涡运动和涡量方程

流体的旋涡运动和涡量方程流体的旋涡运动是一种常见的流体力学现象，它在自然界和工业领域中都有广泛的应用。

本文将介绍流体的旋涡运动的基本原理和涡量方程的数学描述。

一、流体的旋涡运动的基本原理流体的旋涡运动指的是流体中由于速度梯度而产生的旋转运动。

旋涡是流体中的一个局部区域，其中流体粒子绕一个中心轴线旋转。

旋涡可以由流体的不可压缩性和连续性方程推导得出，其中连续性方程表明了质量守恒的定律，而不可压缩性方程则描述了速度场的变化。

在旋涡运动中，流体粒子通过旋转而不是直线运动。

在旋涡的中心轴线周围，流体速度很高，而在旋涡外部，则速度较低。

这种速度差异导致了旋涡的形成和旋涡运动的产生。

旋涡运动在自然界中有许多实际应用，比如天气系统中的龙卷风、海洋中的涡旋等。

二、涡量方程的数学描述涡量是描述旋涡运动的重要物理量，它是流体速度场的旋度。

涡量可以用数学公式表示为：ω = ∇ × V其中ω 是涡量，∇表示梯度，×表示向量叉乘，V 是流体的速度场。

涡量方程描述了涡量的演化规律。

涡量方程的数学表达为：Dω / Dt = ∇ × (v × ω) + ν∇^2ω其中Dω / Dt 是涡量的物质导数，v 是速度场中的流体粒子速度，ν是涡量的动力粘性系数，∇^2 是拉普拉斯算符。

涡量方程中的第一项 (∇ × (v × ω)) 描述了涡量的旋转运动，它表示涡量随着流体粒子的运动而旋转。

第二项(ν∇^2ω) 则表示涡量的扩散运动，它描述了涡量在流体中的传播和扩散。

涡量方程是描述流体旋涡运动的重要方程，它能够预测旋涡的演化和影响。

通过分析涡量方程，可以了解旋涡的起源、发展和消散，为实际应用中的流体控制和优化提供理论基础。

总结：流体的旋涡运动是流体力学中的重要现象，它在自然界和工业领域中都有广泛的应用。

本文介绍了流体旋涡运动的基本原理和涡量方程的数学描述。

涡量方程是描述涡量演化规律的方程，能够预测旋涡的运动和变化。

旋度运算的基本公式

旋度运算的基本公式旋度是向量分析中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

那咱们就来聊聊旋度运算的基本公式。

咱先来说说旋度到底是个啥。

想象一下，有一股水流在一个区域里流动，旋度就像是衡量这股水流旋转程度的一个指标。

如果水流绕着一个中心点打转，那这个中心点的旋度就比较大；要是水流直直地往前流，几乎不打转，那旋度就很小，甚至接近零。

旋度运算的基本公式在数学上可以表示为：对于一个向量场 F = (P, Q, R)，它的旋度 rot F 等于（∂R/∂y - ∂Q/∂z，∂P/∂z - ∂R/∂x，∂Q/∂x -∂P/∂y）。

这看起来有点复杂，是吧？但别担心，咱们一点点来拆解。

我给您举个例子啊。

比如说，有一个向量场 F = (x^2, y^2, z^2) ，那咱们来算算它的旋度。

先算第一个分量，∂R/∂y - ∂Q/∂z ，这里 R = z^2 ，Q = y^2 ，对 R 关于 y 求偏导，结果是 0 ；对 Q 关于 z 求偏导，也是 0 。

所以第一个分量就是 0 。

按照同样的方法，咱们可以算出第二个和第三个分量，最后就能得到这个向量场的旋度啦。

在实际应用中，旋度的计算可重要了。

就像研究电磁场的时候，通过计算电场或者磁场的旋度，咱们就能更好地理解和描述电磁现象。

比如说，电动机里面的磁场，它的旋度就和电动机的转动有着密切的关系。

再比如，在气象学中，研究大气环流的时候，旋度也能派上大用场。

如果某个地区大气的旋度比较大，那可能就意味着会有比较强烈的气旋或者风暴形成。

总之，旋度运算的基本公式虽然看起来有点抽象，但只要咱们多做几道题，多结合实际例子来理解，就能慢慢掌握它的精髓。

就像学骑自行车一样，一开始可能觉得摇摇晃晃掌握不好平衡，但多练几次，就能骑得稳稳当当啦！希望大家在学习旋度运算的时候，都能顺顺利利，把这个知识点拿下！。

旋度计算的公式

旋度计算的公式旋度是向量分析中的一个重要概念，在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。

要理解旋度计算的公式，咱们得先从一些基础的概念说起。

咱就拿水流来打个比方吧。

想象一下一条河流，水流有的地方快，有的地方慢，方向也可能各不相同。

这就好比一个向量场，每个点都有一个速度向量。

而旋度呢，就是描述这个向量场在某一点附近旋转程度的一个量。

旋度计算的公式在数学上通常表示为：\[\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\F_x & F_y & F_z\end{vmatrix}\]这里的 \( \vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k} \) 是一个三维向量场， \( \hat{i} 、\hat{j} 、\hat{k} \) 分别是 \( x 、y 、z \) 方向的单位向量。

那这个公式具体咋用呢？比如说，有个向量场 \( \vec{F} = x^2 \hat{i} + y^2 \hat{j} + z^2 \hat{k} \) ，要计算它在某一点的旋度，咱们就得分别对 \( F_x 、F_y 、F_z \) 求偏导数。

\[\frac{\partial F_x}{\partial y} = 0 ，\frac{\partial F_x}{\partial z} = 0 ，\frac{\partial F_y}{\partial x} = 0 ，\frac{\partial F_y}{\partial z} = 0 ，\frac{\partial F_z}{\partial x} = 0 ，\frac{\partial F_z}{\partial y} = 0 \]然后代入公式，就能算出旋度啦。

流体力学中的流体中的旋转流动

流体力学中的流体中的旋转流动在流体力学中，流体的旋转流动是指流体在运动过程中具有旋转的特性。

旋转流动是流体力学中一个重要的研究课题，涉及到诸如涡旋形成、旋涡演化和旋涡相互作用等问题。

本文将从旋转流动的概念、数学描述以及应用领域等方面对其进行探讨。

一、旋转流动的概念旋转流动是指流体中存在明显的旋转运动。

在旋转流动中，流体的质点具有旋转的速度和方向。

这种流动形式常见于自然界和工程应用中，例如水旋涡、空气中的龙卷风等。

旋转流动的出现与不同区域的流体速度分布不均有关，通常表现为局部的涡旋结构。

二、旋转流动的数学描述在流体力学中，旋转流动可以通过旋度来描述。

旋度是一个向量，其大小表示旋转速度的大小，而方向表示旋转的轴线方向。

流体力学中常用的旋度表示为矢量符号"ω"。

旋转流动的旋度可以用以下公式表示：ω = ∇ × v其中，∇表示偏微分算符，×表示向量积运算，v表示流体的速度场。

通过计算速度场的旋度，可以获得流体中旋转流动的相关信息。

三、旋转流动的应用领域1. 涡旋结构的研究：旋转流动在大气科学、海洋科学和天体物理学等领域中具有重要意义。

例如，对于龙卷风、海洋中的涡旋以及星系中的旋涡结构等，研究其形成机制和演化规律对于理解自然界中的旋转流动有着重要的意义。

2. 工程应用：旋转流动在工程应用中也具有一定的影响。

例如，在风力发电领域，研究旋转流动的特性可以提高风力涡轮机的效率。

此外，航空航天、化工、涡轮机械等领域的相关设计和优化也离不开对旋转流动的研究。

3. 医学领域：旋转流动也在医学领域中发挥着重要作用。

例如，在血液循环中，旋转流动与血液的流动状态密切相关。

通过研究旋转流动的特性，可以深入了解血液流动对于心血管系统的影响，有助于研究和改善相关疾病的治疗方法。

四、旋转流动的研究方法研究旋转流动的方法主要包括实验方法、数值模拟方法和理论分析方法。

实验方法是通过搭建适当的实验设备，通过观察、测量和分析流体的运动特性来获得旋转流动的相关信息。

高数斯托克斯公式环流量旋度

d yd z d zd x d xd y
x y z
o
1
1 y
x
Dx y
利用对称性 z x y 3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
或
dydz dzdx dxdy
D xy
I

2016/1/7
o x
dS
2
0
10
y
x 2
y
z
xy
xz
例3
利用斯托克斯公式计算曲线积分
是用平面 x y z
3 2
z
2 2 2 2 2 2 ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y )dz (0,1,1) Γ
其中Γ 截立方体：0≤x≤1，0≤y≤1， 0≤z≤1的表面所得的截痕，若从 Ox轴的正向看去，取逆时针方向 (如图（a））。
三式相加, 即得斯托克斯公式。证毕
注意: 如果是xoy面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
2016/1/7
7
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
二阶偏导连续的函数f ( x, y, z)的梯度场是无旋场。
2016/1/7 17
*三、汉密尔顿算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽(Nabla)算子, 或汉密尔顿(Hamilton)算子.
( 1) 设 u u( x , y, z ), 则

旋度和散度计算公式

旋度和散度计算公式一、旋度的计算公式旋度是描述向量场旋转性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的回旋情况。

旋度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。

则向量场F的旋度为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。

旋度的含义如下：当旋度∇×F=0时，称向量场F为无旋场，表示向量场在任一闭合曲线上的环量为零。

反之，当旋度∇×F≠0时，称向量场F为有旋场。

旋度的计算公式可以通过矢量分析中的叉乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。

旋度在电磁学中有重要应用，可以描述磁场的旋转情况，通过计算旋度可以得到磁场的环量。

同时，在流体力学中，旋度可以用来描述流体的涡旋性质，通过计算旋度可以得到流体的涡度。

二、散度的计算公式散度是描述向量场收敛性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的扩散情况。

散度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。

则向量场F的散度为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。

散度的含义如下：当散度∇·F>0时，称向量场F为发散场，表示向量场从给定点向外扩散。

当散度∇·F<0时，称向量场F为收敛场，表示向量场向给定点收敛。

当散度∇·F=0时，称向量场F为无散场，表示向量场在任一闭合曲面上的通量为零。

散度的计算公式可以通过矢量分析中的点乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。

旋度和散度计算公式

旋度和散度计算公式旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。

本文将介绍旋度和散度的计算公式及其应用。

一、旋度旋度是一个向量场的旋转程度，它描述了向量场在某一点的旋转强度和旋转方向。

旋度的计算公式如下：旋度 = ∇ × F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。

旋度的结果是一个向量，它的大小表示旋转强度，方向表示旋转方向。

旋度在物理学中有广泛的应用，例如在电磁学中，旋度可以用来描述电场和磁场的相互作用。

在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋。

二、散度散度是一个向量场的发散程度，它描述了向量场在某一点的扩散强度和扩散方向。

散度的计算公式如下：散度 = ∇ · F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。

散度的结果是一个标量，它的大小表示扩散强度，正负号表示扩散方向。

散度在物理学中也有广泛的应用，例如在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。

在电磁学中，散度可以用来描述电场和磁场的源和汇。

三、应用举例1. 电场和磁场的相互作用在电磁学中，电场和磁场的相互作用可以用旋度来描述。

电场和磁场的旋度分别为：旋度(E) = -∂B/∂t旋度(B) = μ0J + ε0μ0∂E/∂t其中，E表示电场，B表示磁场，J表示电流密度，μ0表示真空磁导率，ε0表示真空电容率。

2. 流体的流量和流速在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。

流体的速度场为：v = (u, v, w)其中，u、v、w分别表示流体在x、y、z方向上的速度分量。

流体的流量为：流量= ∫∫S v· n dS其中，S表示流体的流过的面积，n表示面积法向量。

流体的流速为：流速 = ∇ · v其中，∇表示向量微分算子。

旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。

旋度和散度的计算公式可以应用于各种物理学领域，例如电磁学、流体力学等。

流形上的旋度公式证明和数值模型[附件2Maple程序样本]共19页

附件2流形上的旋度公式证明和数值模型[Maple 程序样本]杨科中国成都 610017E-mail: more2010e@[由于高数据量、高运算量、高处理量, 证明、数值模型部分的计算、作图采用Maple 11计算机代数系统格式: 以符号’>’为首者为手动输入指令; 以符号’#’为首者为注释; 以符号’//’为首者为分析说明(红色痕迹);其余为计算机代数系统返回的分析、计算、作图结果(蓝色痕迹),与通用物理/数学表达式接近][20]目录1.1 流形上的旋度公式证明 (1)1.2 环面坐标系旋度公式证明 (8)2.流形上的旋度公式数值模型 (13)数值模型2.1 (13)数值模型2.2 (26)3.环面坐标系旋度公式数值模型 (36)4.流形上的旋度公式证明的反例: 关于Mobius 带的空间环路积分和曲面积分 (42)5. Mobius 带的空间环路积分和曲面积分数值模型 (50)数值模型 5.1 (50)数值模型5.2 (58)参考书籍 (65)1.1流形上的旋度公式证明:旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S 的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场A]在有向曲面S 上有一阶连续偏导数,则 L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1) 其中rotA 为向量场A 的旋度,n 为有向曲面S 的单位外法向量证明:符号表达系统:向量场V,向量场V 的旋度cV1,cV2,任意单连通、可定向闭合曲面CS[设定为非闭合],曲面CS 的闭合曲线边界CL,曲面CS 的切平面法向量[A,B,C]> restart; # 系统复位> with(linalg): # 加载线性代数符号分析库> CS:=[a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)];# 定义任意单连通、可定向闭合参数曲面CS,其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式; 单连通、可定向闭合参数曲面CS决定 a,b,c 的取值. [18]>rgu:=[0,Pi/n-theta];# n为任意常数,并且n≥1; theta为任意常数或连续函数表达式,并且Pi/n-theta<Pi; 参照于闭合参数曲面,参数u的变化范围缩减> rgv:=[0,2*Pi]; # 设定参数u,v的变化范围,使参数曲面CS非闭合> CL:=[alpha*cos(v),beta*sin(v),gamma];# 定义非闭合曲面CS的边界曲线CL,其中alpha,beta,gamma为依存于a,b,c的常数(alpha<>0,beta<>0)或一阶可导连续函数表达式,因为参数v的变化范围为[0,2*Pi],边界曲线CL闭合. (即[alpha*cos(v), beta*sin(v)],v ∈[0,2π] 构成依存于曲面 CS 的一维单连通闭合流形或若干一维单连通闭合流形的组合)[18]> V:=[(P)(x,y,z),(Q)(x,y,z),(R)(x,y,z)];# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在曲面CS上具有一阶连续偏导数)> [Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x)-diff(V[1],y)];cV1:=rhs(%);# 计算抽象向量场V的旋度cV1> x:=CL[1]:y:=CL[2]:z:=CL[3]:> Int(V[1]*Diff(CL[1],t)+V[2]*Diff(CL[2],t)+V[3]*Diff(CL[3],t),t=rgt[1]..rgt[2]); # 任意空间向量场V对闭合边界曲线CL的环路积分> value(%); # 计算空间环路积分值# 由于将x = alpha*cos(v), y = beta*sin(v), z = gamma带入抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)],得到不可计算的结果,舍去> x:='x':y:='y':z:='z':> Int(V[1]*Diff(CL[1],t)+V[2]*Diff(CL[2],t)+V[3]*Diff(CL[3],t),t=rgt[1]..rgt[2])=Int(V[1]*diff(CL[1],t)+V[2]*diff(CL[2],t)+V[3]*diff(CL[3],t),t=rgt[1]..rgt[2]);# 空间向量场V (保留抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]的原形) 对边界曲线CL的环路积分# 因为抽象向量场[P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)]具有普遍性和同质性, 以抽象函数P(x,y,z) [或Q(x,y,z), 或R(x,y,z)]的变量x(或y或z)的内含子变量v为自变量积分,其积分结果仍然可以表述为P(x,y,z)[或Q(x,y,z),或R(x,y,z)].也就是说,以变量x,y,z的内含子变量v为自变量积分,不会改变抽象函数P(x,y,z)[或Q(x,y,z),或R(x,y,z)]本身的结构.因为如此,抽象函数结构P(x,y,z)[或Q(x,y,z),或R(x,y,z)]能够在积分以后保持原形> delta:=rhs(value(%)); # 计算空间环路积分值0 # 获得一常数0:=> x:='x':y:='y':z:='z':> x:=CS[1]:y:=CS[2]:z:=CS[3]:> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u),Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u),diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m,获取非闭合曲面CS的切平面法向量> det(m); # 矩阵求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数;> B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数;> C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; [A,B,C]构成切平面法向量> x:='x':y:='y':z:='z':> [Diff(V[3],y)*Diff(CS[2],u)*Diff(CS[2],v)-Diff(V[2],z)*Diff(CS[3],u)*Diff(CS[3],v),Diff(V[1],z)*Diff(CS[3],u)*Diff(CS[3],v)-Diff(V[3],x)*Diff(CS[1],u)*Diff(CS[1],v),Diff(V[2],x)*Diff(CS[1],u)*Diff(CS[1],v)-Diff(V[1],y)*Diff(CS[2],u)*Diff(CS[2],v)]=[diff(V[3],y)*diff(CS[2],u)*diff(CS[2],v)-diff(V[2],z)*diff(CS[3],u)*diff(CS[3],v),diff(V[1],z)*diff(CS[3],u)*diff(CS[3],v)-diff(V[3],x)*diff(CS[1],u)*diff(CS[1],v),diff(V[2],x)*diff(CS[1],u)*diff(CS[1],v)-diff(V[1],y)*diff(CS[2],u)*diff(CS[2],v)];cV2:=rhs(%);# 将旋度cV1从直角坐标形式转变为曲面CS坐标形式# 保留抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]及其偏微分函数的原形(不可计算部分),对函数自变量x,y,z的参数表达式a*sin(u)*cos(v), b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(可计算部分)求导,得到新的旋度表达式cV2>Int(Int(cV2[1]*A+cV2[2]*B+cV2[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1].. rgv[2]);# 旋度cV2与非闭合曲面CS 的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对曲面参数u,v 的积分 >epsilon:=value(%); # 计算曲面积分值:= ε0 # 获得一常数0# 因为抽象向量场的旋度包含的四个微分函数单元(,,)R x y z y ∂∂,(,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x∂∂,(,,)P x y z y ∂∂具有普遍性和同质性,在上述公式推导中,以变量x(或y 或z)的内含子变量u(或v)为自变量积分, 其积分性质可以被理解为对 ”四个旋度的微分函数单元 [即(,,)R x y z y∂∂, (,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x∂∂,(,,)P x y z y ∂∂]、坐标转换微分函数二者的乘积” 与 ”切平面法向量” 的 ”空间点积” 的积分.以变量x,y,z 的内含子变量u(或v)为自变量积分,不会改变抽象向量场旋度的四个微分函数单元本身的结构. 抽象向量场旋度及其微分函数单元(,,)R x y z y ∂∂,或(,,)R x y z x ∂∂,或(,,)Q x y z x∂∂, 或(,,)P x y z y ∂∂能够在积分以后保持原形;而与其三个微分变量x ∂∂,y ∂∂,z∂∂对应的三个坐标转换微分函数,即: sin()cos()sin()cos()a u v a u v u v ∂∂∂∂, sin()sin()sin()sin()b u v b u v u v∂∂∂∂ 和 cos()cos()c u c u u v∂∂∂∂ 则可以在积分以后被改变即空间环路积分值与非闭合曲面积分值相同,证毕1.2环面坐标系旋度公式证明:旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S 的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) [构成向量场A] 在有向曲面S 上有一阶连续偏导数,则L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1)其中rotA为向量场A的旋度,n为有向曲面S的单位外法向量证明:符号表达系统:向量场V,向量场V的旋度cV1,cV2,环面(复连通、可定向闭合曲面)CS[设定为非闭合],环面CS的闭合曲线边界CL1,CL2,曲面CS的切平面法向量[A,B,C]> restart; # 系统复位> with(linalg): # 加载线性代数符号分析库> CS:=[(2+cos(u))*cos(v),(2+cos(u))*sin(v),sin(u)];# 定义环面(复连通、可定向闭合参数曲面)CS> rgu:=[0,2*Pi/n-theta];# n为任意常数,并且n 1; theta为任意常数或连续函数表达式,并且Pi/n-theta<Pi; 参照于闭合参数环面,参数u的变化范围缩减> rgv:=[0,2*Pi]; # 设定参数u,v的变化范围,使参数环面CS非闭合> subs(u=rgu[1],CS)=eval(subs(u=rgu[1],CS));CL1:=rhs(%);# 将变量u的左边界值带入环面CS的参数表达式,获得边界曲线CL1参数表达式> subs(u=rgu[2],CS)=eval(subs(u=rgu[2],CS));CL2:=rhs(%);# 将变量u的右边界值带入环面CS的参数表达式,获得边界曲线CL2参数表达式> V:=[(P)(x,y,z),(Q)(x,y,z),(R)(x,y,z)];# 定义抽象向量场V(设定该向量场在环面CS上具有一阶连续偏导数)> [Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x)-diff(V[1],y)];cV1:=rhs(%);# 计算抽象向量场V的旋度cV1> x:='x':y:='y':z:='z': # 变量复位> Int(V[1]*Diff(CL1[1],v)+V[2]*Diff(CL1[2],v)+V[3]*Diff(CL1[3],v), v=rgv[1]..rgv[2]); # 抽象向量场V 对边界曲线CL1的环路积分> v1:=value(%); # 计算环路积分值1> x:='x':y:='y':z:='z': # 变量复位> Int(V[1]*Diff(CL2[1],v)+V[2]*Diff(CL2[2],v)+V[3]*Diff(CL2[3],v), v=rgv[1]..rgv[2]); # 抽象向量场V 对边界曲线CL2的环路积分> v2:=value(%); # 计算环路积分值2> alpha:=v1-v2; # 抽象向量场V在边界曲线CL1,CL2的环路积分> x:='x':y:='y':z:='z': # 变量清空> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u), Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u), diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m,获取非闭合环面CS 的切平面法向量> det(m); # 矩阵求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i 项系数;> B:=coeff(mn,j); # 提取j 项系数;> C:=coeff(mn,k); # 提取k 项系数; [A,B,C]构成切平面法向量> x:='x':y:='y':z:='z':> [Diff(V[3],y)*Diff(CS[2],u)*Diff(CS[2],v)-Diff(V[2],z)*Diff(CS[3],u)*Diff(CS[3],v),Diff(V[1],z)*Diff(CS[3],u)*Diff(CS[3],v)-Diff(V[3],x)*Diff(CS[1],u)*Diff(CS[1],v),Diff(V[2],x)*Diff(CS[1],u)*Diff(CS[1],v)-Diff(V[1],y)*Diff(CS[2],u)*Diff(CS[2],v)]=[diff(V[3],y)*diff(CS[2],u)*diff(CS[2],v)-diff(V[2],z)*diff(CS[3],u)*diff(CS[3],v),diff(V[1],z)*diff(CS[3],u)*diff(CS[3],v)-diff(V[3],x)*diff(CS[1],u)*diff(CS[1],v),diff(V[2],x)*diff(CS[1],u)*diff(CS[1],v)-diff(V[1],y)*diff(CS[2],u)*diff(CS[2],v)];cV2:=rhs(%);# 将旋度cV1从直角坐标形式转变为环面CS 坐标形式cV2:> Int(Int(cV2[1]*A+cV2[2]*B+cV2[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1].. rgv[2]);# 旋度cV2与非闭合环面CS 的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对曲面参数u,v 的积分 > epsilon:=value(%); # 计算曲面积分值:= ε0 # 获得常数0即亦可表述为 L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1), 证毕非闭合环面曲面积分值与其边界环路积分值相同,证毕2.流形上的旋度公式数值模型:数值模型2.1:> restart; # 内存清空> with(plots):with(linalg): # 加载绘图工具库和线性代数分析库> CS:=[2*sin(u)*cos(v)+2*sin(u)*cos(v-2)*cos(7*v)/7-sin(u),2*sin(u)*sin(v)+2*sin(u)*sin(v-2)*cos(8*v)/7-cos(u),2*cos(u)-cos(u/2)*cos(12*u-v)/7]; # 定义任意单连通、可定向闭合参数曲面CS> rgu:=[0,Pi/2]; # 参照于闭合参数曲面,参数u的变化范围减半> rgv:=[0,2*Pi]; # 设定参数u,v的变化范围,使参数曲面CS非闭合> plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained, projection=0.9,numpoints=5000);g1:=%: # 非闭合参数曲面CS作图图1 不规则、不对称的任意单连通、可定向闭合参数曲面CS[设定为非闭合] > subs(u=rgu[2],CS)=eval(subs(u=rgu[2],CS));CL:=rhs(%);# 将变量u的边界值带入曲面CS的参数表达式,获得边界曲线CL参数表达式// 与”公式证明”设定对抽象单连通、可定向非闭合参数曲面[a*sin(u)cos(v), b*sin(u)sin(v),c*cos(u)]具有依存关系的边界曲线[α cos(v),β sin(v),γ]不同,在”数值模型”中可以直接将变量u的边界值带入具体单连通、可定向非闭合参数曲面CS的参数表达式,直接获得边界曲线CL参数表达式> spacecurve(CL,v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=3000,thickness=2,color=red):g2:=%:# 闭合边界曲线CL作图> V:=[(x/3+y/4-z/5)^2/2,y^2/3+x*z/3,x^2/3+y*z/3];# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在曲面CS上具有一阶连续偏导数)> [Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x)-diff(V[1],y)];cV:=rhs(%);# 计算向量场V的旋度cV> rgx:=[-3,1];> rgy:=[-2,2];> rgz:=[-1.25,2.75];> fieldplot3d(V,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=red,thickness=1,grid=[6,6,6]):g3:=%:# 向量场V作图> fieldplot3d(cV,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=blue,thickness=1,grid=[6,6,6]):g4:=%:# 旋度cV作图> display(g1,g2,g3,g4); # 合并图形图2 非闭合参数曲面CS及其边界线CL, 积分向量场V[红箭]及其旋度cV[蓝箭] > display(g2,g3,g4);图3闭合边界线CL,积分向量场V[红箭]及其旋度cV[蓝箭]> x:=CL[1]:y:=CL[2]:z:=CL[3]:>Int(V[1]*Diff(CL[1],v)+V[2]*Diff(CL[2],v)+V[3]*Diff(CL[3],v),v=rgv[1]..rgv[2]); # 向量场V对空间闭合边界曲线CL的环路积分> alpha:=value(%);delta:=evalf(alpha); # 计算环路积分值> x:='x':y:='y':z:='z': # 变量x,y,z复位> x:=CS[1]:y:=CS[2]:z:=CS[3]:> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u),Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u),diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m,获取非闭合曲面CS的切平面法向量> det(m); # 矩阵m求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数> B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数> C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数;[A,B,C]构成切平面法向量// 不同几何拓扑形状的曲面,有不同的切平面法向量> Int(Int(cV[1]*A+cV[2]*B+cV[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1]..rgv[2]);# 旋度cV与非闭合曲面CS的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对曲面参数u,v的积分// 与”公式证明”涉及的抽象旋度函数cV1,cV2不同,在”数值模型”中可以直接将具体值x=CS[1],y=CS[2],z=CS[3] 带入具体旋度函数cV, 继之以”cV与切平面法向量[A,B,C]的空间点积”,进行曲面积分> beta:=value(%);epsilon:=evalf(beta); # 计算曲面积分值> alpha;beta; # 解析值相等> delta;epsilon; # 浮点数值相等数值模型2.2:> restart;> with(plots):with(linalg):>CS:=[sin(u)*cos(v)-2*sin(u)*cos(3*u-v)/7+cos(u),sin(u)*sin(v)-sin(u)*cos(6*v)/6,sin(u)-2*cos(u)];# 定义任意单连通、可定向[非闭合]参数曲面CS> rgu:=[0,Pi/2-sin(7*v)-cos(7*v-1)/3];# 参照于闭合参数曲面,参数u的变化范围缩减> rgv:=[0,2*Pi]; # 设定参数u,v的变化范围,使参数曲面CS非闭合> plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained, projection=0.9,numpoints=30000);g1:=%: # 非闭合参数曲面CS作图图4 不规则、不对称的任意单连通、可定向参数曲面CS[非闭合]> subs(u=rgu[2],CS)=eval(subs(u=rgu[2],CS));CL:=rhs(%);# 将变量u的边界值带入曲面CS的参数表达式,获得边界曲线CL参数表达式> spacecurve(CL,v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=3000,thickness=2,color=red):g2:=%:# 边界曲线CL作图> V:=[(x/4-y/6+z/5)^2/3,z^2/6-x*y/5,x^2/5-y*z/6];# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在曲面CS上具有一阶连续偏导数)> [Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x )-diff(V[1],y)];cV:=rhs(%); # 计算向量场V的旋度cV> rgx:=[-2,2];> rgy:=[-2,2];> rgz:=[-1.9,2.1];> fieldplot3d(V,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=red,thickness=1,grid=[6,6,6]):g3:=%:# 向量场V作图> fieldplot3d(cV,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=blue,thickness=1,grid=[6,6,6]):g4:=%:# 旋度cV作图> display(g1,g2,g3,g4); #合并图形图5 非闭合参数曲面CS及其边界线CL, 积分向量场V及其旋度cV> display(g2); # 边界曲线CL图6 闭合边界线CL> x:=CL[1]:y:=CL[2]:z:=CL[3]:> Int(V[1]*Diff(CL[1],v)+V[2]*Diff(CL[2],v)+V[3]*Diff(CL[3],v),v=rgv[1]..rgv[2]); # 向量场V对闭合边界曲线CL的环路积分> alpha:=evalf(%); # 计算环路积分值> x:='x':y:='y':z:='z':> x:=CS[1]:y:=CS[2]:z:=CS[3]:> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u), Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u),diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m,获取非闭合曲面CS的切平面法向量> det(m); # 矩阵m求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数> B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数> C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数;[A,B,C]构成切平面法向量>Int(Int(cV[1]*A+cV[2]*B+cV[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1]..rgv[2]);# 旋度cV与非闭合曲面CS的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对曲面参数u,v的积分> beta:=evalf(%); # 计算曲面积分值> alpha;beta; # 浮点数值相等3.环面坐标系旋度公式数值模型:> restart;> with(plots):with(linalg):> CS:=[(2+cos(u))*cos(v),(2+cos(u))*sin(v),sin(u)]; # 定义环面CS > rgu:=[0,3*Pi/2]; # 参照于闭合参数环面,参数u的变化范围缩减> rgv:=[0,2*Pi]; # 设定参数u,v的变化范围,使环面CS非闭合>plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained, projection=0.9,numpoints=5000);g1:=%: # 非闭合环面CS作图图7 非闭合环面CS> subs(u=rgu[1],CS)=eval(subs(u=rgu[1],CS));CL1:=rhs(%);# 将变量u的边界值带入曲面CS的参数表达式,获得边界曲线CL1参数表达式> subs(u=rgu[2],CS)=eval(subs(u=rgu[2],CS));CL2:=rhs(%);# 将变量u的边界值带入曲面CS的参数表达式,获得边界曲线CL2参数表达式> spacecurve(CL1,v=rgv[1]..rgv[2],thickness=2,color=red):g2:=%: > spacecurve(CL2,v=rgv[1]..rgv[2],thickness=2,color=red):g3:=%: # 边界曲线CL1,CL2作图> V:=[(x/3+y/5-z/7)^3/9-z^2/5,y^2/5+x*z/6,x^2/3+y*z/5];# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在环面CS上具有一阶连续偏导数)[Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x)-diff(V[1],y)];cV:=rhs(%); # 计算向量场V的旋度cV> rgx:=[-3,3];> rgy:=[-3,3];> rgz:=[-3,3];> fieldplot3d(V,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],projection=0.9,arrows=SLIM,color=red,thickness=1,grid=[6,6,6]):g4:=%: # 向量场V作图> fieldplot3d(cV,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=blue,thickness=1,grid=[6,6,6]):g5:=%:# 旋度cV作图> display(g1,g2,g3,g4,g5); # 合并图形图8 非闭合环面CS及其边界线CL1,CL2 积分向量场V及其旋度cV> display(g2,g3,g4,g5);图9 闭合边界线CL1,CL2 积分向量场V及其旋度cV> x:=CL1[1]:y:=CL1[2]:z:=CL1[3]:>Int(V[1]*Diff(CL1[1],v)+V[2]*Diff(CL1[2],v)+V[3]*Diff(CL1[3],v), v=rgv[1]..rgv[2]); # 向量场V对闭合边界曲线CL1的环路积分> v1:=value(%);> x:='x':y:='y':z:='z':> x:=CL2[1]:y:=CL2[2]:z:=CL2[3]:>Int(V[1]*Diff(CL2[1],v)+V[2]*Diff(CL2[2],v)+V[3]*Diff(CL2[3],v), v=rgv[1]..rgv[2]); # 向量场V对闭合边界曲线CL2的环路积分> v2:=value(%);> alpha:=v1-v2;delta:=evalf(alpha);# 向量场V对闭合边界曲线CL1,CL2的环路积分> x:='x':y:='y':z:='z':> x:=CS[1]:y:=CS[2]:z:=CS[3]:> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u), Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u),diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m,获取非闭合环面CS 的切平面法向量> det(m); # 矩阵m 求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i 项系数> B:=coeff(mn,j); # 提取j 项系数> C:=coeff(mn,k); # 提取k 项系数;[A,B,C]构成切平面法向量> -Int(Int(cV[1]*A+cV[2]*B+cV[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1].. rgv[2]);# 旋度cV 与非闭合环面CS 的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对环面参数u,v 的积分 > beta:=value(%);epsilon:=evalf(beta); # 计算曲面积分值> alpha;beta; # 解析值相等> delta;epsilon; # 浮点数值相等4.流形上的旋度公式证明的反例--关于Mobius 带的空间环路积分和曲面积分旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S 的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场A]在有向曲面S 上有一阶连续偏导数,则L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1) 其中rotA 为向量场A 的旋度,n 为有向曲面S 的单位外法向量// 众所周知,Mobius 带是典型的不可定向非闭合曲面;如果将Mobius 带用”流形上的旋度公式证明”的逻辑方法推导演绎,将会出现怎样的情况?符号表达系统:向量场V,向量场V 的旋度cV1,cV2,不可定向的非闭合参数曲面CS(即Mobius 带),Mobius 带的边界曲线CL1,CL2, Mobius 带的切平面法向量[A,B,C]> restart;> with(plots):with(linalg):> CS:=[(3+v*cos(u/2))*cos(u),(3+v*cos(u/2))*sin(u),v*sin(u/2)]; # 定义不可定向的非闭合参数曲面CS(即Mobius 带)> rgu:=[0,2*Pi];> rgv:=[-1,1]; # 设定参数u,v 的变化范围> plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained, projection=0.9,numpoints=1500);g1:=%: # Mobius 带作图图10 Mobius 带(具有不可定向,非闭合的几何拓扑属性)> subs(v=rgv[1],CS)=eval(subs(v=rgv[1],CS));CL1:=rhs(%);# 将变量v的左边界值带入Mobius带的参数表达式,获得边界曲线CL1参数表达式> subs(v=rgv[2],CS)=eval(subs(v=rgv[2],CS));CL2:=rhs(%);# 将变量v的右边界值带入Mobius带的参数表达式,获得边界曲线CL2参数表达式> spacecurve(CL1,u=rgu[1]..rgu[2],numpoints=2000,thickness=2,color=red):g2:=%: # 边界曲线CL1作图> spacecurve(CL2,u=rgu[1]..rgu[2],numpoints=2000,thickness=2,color=red):g3:=%: # 边界曲线CL2作图> display(g1,g2,g3);图11 Mobius带及其边界曲线CL1和CL2(Mobius带的闭合边界曲线由CL1和CL2组成)> display(g2,g3,scaling=constrained,projection=0.9);图12 Mobius带的边界曲线CL1和CL2拼接> V:=[(P)(x,y,z),(Q)(x,y,z),(R)(x,y,z)];# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在Mobius带上具有一阶连续偏导数)> [Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x)-diff(V[1],y)];cV1:=rhs(%);# 计算任意空间向量场V的旋度cV1> x:='x':y:='y':z:='z':> Int(V[1]*Diff(CL1[1],u)+V[2]*Diff(CL1[2],u)+V[3]*Diff(CL1[3],u), u=rgu[1]..rgu[2]); # 任意空间向量场V对边界曲线CL1的曲线积分> v1:=value(%);> x:='x':y:='y':z:='z':> Int(V[1]*Diff(CL2[1],u)+V[2]*Diff(CL2[2],u)+V[3]*Diff(CL2[3],u), u=rgu[1]..rgu[2]); # 任意空间向量场V对边界曲线CL2的曲线积分> v2:=value(%);> alpha:=v1-v2;# 向量场V对闭合边界曲线CL1,CL2的环路积分> x:='x':y:='y':z:='z':> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u),Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u),diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,获取Mobius带的切平面法向量> det(m); # 矩阵求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数> B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数> C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; [A,B,C]构成切平面法向量> x:='x':y:='y':z:='z':> [Diff(V[3],y)*Diff(CS[2],u)*Diff(CS[2],v)-Diff(V[2],z)*Diff(CS[3],u)*Diff(CS[3],v),Diff(V[1],z)*Diff(CS[3],u)*Diff(CS[3],v)-Diff(V[3],x)*Diff(CS[1],u)*Diff(CS[1],v),Diff(V[2],x)*Diff(CS[1],u)*Diff(CS[1],v)-Diff(V[1],y)*Diff(CS[2],u)*Diff(CS[2],v)]=[diff(V[3],y)*diff(CS[2],u)*diff(CS[2],v)-diff(V[2],z)*diff(CS[3],u)*diff(CS[3],v),diff(V[1],z)*diff(CS[3],u)*diff(CS[3],v)-diff(V[3],x)*diff(CS[1],u)*diff(CS[1],v),diff(V[2],x)*diff(CS[1],u)*diff(CS[1],v)-diff(V[1],y)*diff(CS[2],u)*diff(CS[2],v)];cV2:=rhs(%);# 将cV1从直角坐标形式转变为Mobius带坐标形式# 保留抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z) ,R(x,y,z)]的原形(不可计算部分),对函数自变量x,y,z的参数表达式(3+v*cos(u/2))*cos(u),(3+v*cos(u/2))*sin(u), v*sin(u/2)(可计算部分)求导,得到新的旋度表达式cV2> Int(Int(cV2[1]*A+cV2[2]*B+cV2[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1].. rgv[2]);# 旋度cV2与Mobius带的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对参数u,v的积分> beta:=value(%); # Mobius带本身的曲面积分> alpha;beta;//用”流形上的旋度公式证明”的逻辑方法推导演绎,Mobius带的曲面积分与其边界环路积分在逻辑上不等5us带的空间环路积分和曲面积分数值模型:数值模型5.1> restart;> with(plots):with(linalg):> CS:=[(3+v*cos(u/2))*cos(u),(3+v*cos(u/2))*sin(u),v*sin(u/2)];# 定义不可定向的非闭合参数曲面CS(即Mobius带)> rgu:=[0,2*Pi];> rgv:=[-1,1]; # 设定参数u,v的变化范围> plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained, projection=0.9,numpoints=1500):g1:=%: # Mobius带作图,省略> subs(v=rgv[1],CS)=eval(subs(v=rgv[1],CS));CL1:=rhs(%);# 将变量v的左边界值带入Mobius带的参数表达式,获得边界曲线CL1参数表达式> subs(v=rgv[2],CS)=eval(subs(v=rgv[2],CS));CL2:=rhs(%);# 将变量v的右边界值带入Mobius带的参数表达式,获得边界曲线CL2参数表达式> spacecurve(CL1,u=rgu[1]..rgu[2],numpoints=2000,thickness=2,color=red):g2:=%: # 边界曲线CL1作图> spacecurve(CL2,u=rgu[1]..rgu[2],numpoints=2000,thickness=2,color=red):g3:=%: # 边界曲线CL2作图> V:=[-z^2,x*z,-(x-y+z/3)^2-x*z/5-y];# 定义任意空间向量场V(设定该向量场在Mobius带上具有一阶连续偏导数)> [Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x )-diff(V[1],y)];cV:=rhs(%); # 计算向量场V的旋度cV> rgx:=[-3,4];> rgy:=[-7/2,7/2];> rgz:=[-7/2,7/2];> fieldplot3d(V,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=red,thickness=1,grid=[6,6,6]):g4:=%:# 向量场V作图> fieldplot3d(cV,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=blue,thickness=1,grid=[6,6,6]):g5:=%:# 旋度cV作图> display(g1,g2,g3,g4,g5);图13 Mobius带及其边界曲线CL1和CL2,向量场V(红箭)及其旋度cV(蓝箭)> display(g2,g3,g4,g5);图14 Mobius带的边界曲线CL1和CL2,向量场V及其旋度cV> x:=CL1[1]:y:=CL1[2]:z:=CL1[3]:> Int(V[1]*Diff(x,u)+V[2]*Diff(y,u)+V[3]*Diff(z,u),u=rgu[1]..rgu[2]); # 空间向量场V对边界曲线CL1的曲线积分> v1:=value(%);> x:=CL2[1]:y:=CL2[2]:z:=CL2[3]:> Int(V[1]*Diff(x,u)+V[2]*Diff(y,u)+V[3]*Diff(z,u),u=rgu[1]..rgu[2]); # 空间向量场V对边界曲线CL2的曲线积分> v2:=value(%);> alpha:=v1-v2;delta:=evalf(alpha);# 向量场V对闭合边界曲线CL1,CL2的环路积分> x:='x':y:='y':z:='z':> x:=CS[1]:y:=CS[2]:z:=CS[3]:> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u),Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u),diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m,获取Mobius带的切平面法向量> det(m); # 矩阵求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数> B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数> C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; [A,B,C]构成切平面法向量> Int(Int(cV[1]*A+cV[2]*B+cV[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1]..rgv[2]);# 旋度cV与Mobius带的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对参数u,v的积分> beta:=value(%);epsilon:=evalf(beta);> alpha;beta; # 解析值相等> delta;epsilon; # 浮点数值相等// 在具体向量场运算的情况下,Mobius带的曲面积分与其边界环路积分相等数值模型5.2:> restart;> with(plots):with(linalg):> CS:=[(3+v*cos(u/2))*cos(u),(3+v*cos(u/2))*sin(u),v*sin(u/2)];# 定义不可定向的非闭合参数曲面CS(即Mobius带)> rgu:=[0,2*Pi];> rgv:=[-1,1]; # 设定参数u,v的变化范围> plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],scaling=constrained,projection=0.9,numpoints=1500):g1:=%: # Mobius带作图,省略> subs(v=rgv[1],CS)=eval(subs(v=rgv[1],CS));CL1:=rhs(%);# 将变量v的左边界值带入Mobius带的参数表达式,获得边界曲线CL1参数表达式> subs(v=rgv[2],CS)=eval(subs(v=rgv[2],CS));CL2:=rhs(%);# 将变量v的右边界值带入Mobius带的参数表达式,获得边界曲线CL2参数表达式> spacecurve(CL1,u=rgu[1]..rgu[2],numpoints=2000,thickness=2, color=red):g2:=%: # 边界曲线CL1作图> spacecurve(CL2,u=rgu[1]..rgu[2],numpoints=2000,thickness=2, color=red):g3:=%: # 边界曲线CL2作图> V:=[x^2/2+y*z/3-z^2/5,(x/3-z/5)^3/7-x*y/3,(y/2-z/3)^2+x^2/5]; # 定义任意空间向量场V(设定该向量场在Mobius带上具有一阶连续偏导数)> [Diff(V[3],y)-Diff(V[2],z),Diff(V[1],z)-Diff(V[3],x),Diff(V[2],x)-Diff(V[1],y)]=[diff(V[3],y)-diff(V[2],z),diff(V[1],z)-diff(V[3],x),diff(V[2],x)-diff(V[1],y)];cV:=rhs(%); # 计算空间向量场V的旋度cV > rgx:=[-3,4];> rgy:=[-7/2,7/2];> rgz:=[-7/2,7/2];> fieldplot3d(V,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM,color=red,thickness=1,grid=[6,6,6]):g4:=%:# 向量场V作图> fieldplot3d(cV,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1].. rgz[2],arrows=SLIM,color=blue,thickness=1,grid=[6,6,6]):g5:=%: # 旋度cV作图> display(g1,g2,g3,g4,g5);图15 Mobius带及其边界曲线CL1和CL2,向量场V(红箭)及其旋度cV(蓝箭)> display(g2,g3,g4,g5);图16 Mobius带的边界曲线CL1和CL2,向量场V及其旋度cV> x:=CL1[1]:y:=CL1[2]:z:=CL1[3]:> Int(V[1]*Diff(x,u)+V[2]*Diff(y,u)+V[3]*Diff(z,u),u=rgu[1].. rgu[2]); # 空间向量场V对边界曲线CL1的曲线积分> v1:=value(%);> x:=CL2[1]:y:=CL2[2]:z:=CL2[3]:> Int(V[1]*Diff(x,u)+V[2]*Diff(y,u)+V[3]*Diff(z,u),u=rgu[1]..rgu[2]); # 空间向量场V对边界曲线CL2的曲线积分> v2:=value(%);> alpha:=v1-v2;delta:=evalf(alpha);# 向量场V对闭合边界曲线CL1,CL2的环路积分> x:='x':y:='y':z:='z':> x:=CS[1]:y:=CS[2]:z:=CS[3]:> matrix(3,3,[i,j,k,Diff(CS[1],u),Diff(CS[2],u),Diff(CS[3],u),Diff(CS[1],v),Diff(CS[2],v),Diff(CS[3],v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(CS[1],u),diff(CS[2],u),diff(CS[3],u),diff(CS[1],v),diff(CS[2],v),diff(CS[3],v)]);m:=rhs(%);# 定义偏导数矩阵m1,获取Mobius带的切平面法向量> det(m); # 矩阵求值> mn:=simplify(%); # 表达式化简> A:=coeff(mn,i); # 提取i项系数> B:=coeff(mn,j); # 提取j项系数> C:=coeff(mn,k); # 提取k项系数; [A,B,C]构成切平面法向量> Int(Int(cV[1]*A+cV[2]*B+cV[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1]..rgv[2]);# 旋度cV与Mobius带的切平面法向量[A,B,C]的空间点积对参数u,v的积分> beta:=value(%);epsilon:=evalf(beta);> alpha;beta; # 解析式不等> delta;epsilon; # 浮点数值不等// 在具体向量场运算的情况下,Mobius带的曲面积分与其边界环路积分不等// 也就意味着, 在抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]运算的情况下, Mobius带的曲面积分与其边界环路积分在逻辑上不等;因具体向量场的取值不同,Mobius 带的曲面积分与其边界环路积分或者相等,或者不等参考书籍:[1]《基础物理述评教程》潘根科学版2019.1 (P363-364,P385,P401)[2]《费恩曼物理学讲义》(第2卷) [《The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. 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Я. Перельман朱熹平曹怀东《Asian J. Math》June 2019, P165-492[19]《流形上的微积分》M.Spivak 人民邮电版2019.1 (P114-143)[20]《Maple指令参考手册》国防工业版2019.1。

从定义出发给出旋度公式的推导

从定义出发给出旋度公式的推导旋度，也称为旋量或涡度，是矢量场在给定点上的旋转程度的量度。

在物理学中，旋度是一个重要的概念，用于描述流体力学、电磁学、场论等多个领域。

为了推导旋度的公式，我们需要先了解矢量场的微分运算。

设有一个矢量场F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R(x，y，z)k，其中i，j，k是标准的基本矢量（单位矢量）。

矢量场的微分运算包括梯度、散度和旋度。

其中，梯度用于描述矢量场的变化率和方向，散度用于描述矢量场流动的源和汇，而旋度则用于描述矢量场的旋转性质。

推导旋度的公式可以分为两个步骤来完成。

首先，我们要推导旋度在直角坐标系中的形式，然后，我们可以利用坐标变换的方法将结果推广到曲线坐标系中。

1.直角坐标系中旋度公式的推导：我们首先考虑矢量场在坐标轴方向上的微小闭合环路上的线积分：∮ F·dr = ∮ (Pdx + Qdy + Rdz)·(dx, dy, dz)转化为参数方程形式：∮ (Pdx + Qdy + Rdz)·(dx, dy, dz) = ∮ Pdx*dx + ∮ Qdy*dy + ∮ Rdz*dz由于dx，dy和dz都是自变量，所以可以将微分项相乘扩展为求和形式，进一步展开上式：∮ Pdx*dx + ∮ Qdy*dy + ∮ Rdz*dz = ∮ Pdx*dx + ∮ Pdy*dy + ∮ Pdz*dz + ∮ Qdx*dx + ∮ Qdy*dy + ∮ Qdz*dz + ∮ Rdx*dx + ∮ Rdy*dy + ∮ Rdz*dz其中，我们利用了对称性质dx·dx=dy·dy=dz·dz=0。

我们可以将上式中的每一项根据微分的定义进行化简，得到：∮ Pdx*dx + ∮ Qdy*dy + ∮ Rdz*dz = ∮ (∂P/∂y - ∂Q/∂x)*dy*dx + ∮ (∂R/∂x - ∂P/∂z)*dz*dx + ∮ (∂Q/∂z - ∂R/∂y)dz*dy根据格林公式，上式可以进一步化简为：∮ Pdx*dx + ∮ Qdy*dy + ∮ Rdz*dz = ∫∫ (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dS上式右边是一个二重积分，描述了矢量场沿闭合曲线的环绕程度。

流形上的旋度公式和式极限证明和数值模型 [附件3 分析与说明]

附件3流形上的旋度公式和式极限证明和数值模型[分析与说明]杨科中国成都 610017E-mail: more2010e@[以符号’//’为首者为分析说明(红色痕迹)]目录引言证明的前提条件——-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见流形上的散度公式证明引言2)1.流形上的旋度公式和式极限证明 (1)2.流形上的旋度公式和式极限数值模型 (16)参考书籍 (28)1.1流形上的旋度公式和式极限证明:旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S 的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场A]在有向曲面S 上有一阶连续偏导数,则L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1) 其中rotA 为向量场A 的旋度,n 为有向曲面S 的单位外法向量证明(和式极限形式):定义任意单连通、可定向闭合曲面S 的参数表达式:[a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)] (2)其中a,b,c 为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S 决定a,b,c 的取值;设定参数u,v 的变化范围[0,π/n -θ],[0,2π],其中n 为任意常数,并且n ≥ 1;θ为任意常数或连续函数表达式,并且π/n-θ<π,使曲面S 非闭合(参见Poincare 猜想:"任何与n 维球面同伦的n 维闭合流形必定同胚于n 维球面")[19]定义边界曲线L 的参数表达式:[α cos(v),β sin(v),γ] (3)]其中α,β,γ为依存于a,b,c 的常数(α≠0,β≠0)或一阶可导连续函数表达式; 因为参数v 的变化范围为[0,2π],边界曲线L 闭合.(即 [α cos(v),β sin(v)], v ∈[0,2π] 构成依存于曲面S 的一维单连通闭合流形或若干一维单连通闭合流形的组合)[18]计算闭合边界曲线L 的切向量(4):= ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,∂∂()α()cos v ∂∂()β()sin v ∂∂γ[],,-α()sin v β()cos v 0(4)设定边界曲线L 的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值): (5)1.边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv =2=5025ππ (6) 分割切向量(7): [即将(6)带入(4)] ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πβ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π0 (7)分割抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]:[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)] (8)// 由于抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]计算边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分值(9):根据积分中值定理,抽象向量场(8)与切向量(7)的空间点积再乘以参数v 的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲线积分值(9) 125π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π25 (9)2.边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分过程: 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv =2=5025i i ππ (10) (其中i 为1~50的自然数)分割切向量(11): [即将(10)带入(4)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 25β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πi 250 (11)分割抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]: [P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)] (12)// 由于抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]的普遍性和同质性, 其在若干分割单元的值仍为[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]计算边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分值(13):根据积分中值定理,抽象向量场(12)与切向量(11) 的空间点积再乘以参数v 的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲线积分值(13) 125π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin i π25()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos i π25 (13)构建有限个(即50个)微观曲线积分值组成的数列(14):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape 程序样本中,将指令sqn:=seq(dv*(idV[1]*idCL[1]+idV[2]*idCL[2]+idV[3]*idCL[3]), i=1..dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加 (即抽象向量场与切向量的空间点积在曲线L 的所有[50个] 分割单元的积分值求和),获得流形上曲线积分值(15):(由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape 程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值:- 0.910-9()P ,,x y z α0.61010-9()Q ,,x y z β//该值随参数分割区间数量的无限增大,无限趋近于零设定闭合边界曲线L 的参数分割单元数量为不确定的自然数w (16)3.边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2wπ (17) 分割切向量(18): [即将(17)带入(4)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πβ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π0 (18)分割抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]: [P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)] (19)// 由于抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]计算边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分值(20):根据积分中值定理,抽象向量场(19) 与切向量(18) 的空间点积再乘以参数v 的分割区间(17)即为第一分割单元的微观曲线积分值(20): 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw (20)4.边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv =2wi π (21) (其中i 为1~w 的自然数)分割切向量(22): [即将(21)带入(4)] ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi w β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πi w 0 (22)分割抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]: [P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)] (23)// 由于抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]的普遍性和同质性, 其在若干分割单元的值仍为[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]计算边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分值(24):根据积分中值定理,抽象向量场(23) 与切向量(22) 的空间点积再乘以参数v 的分割区间(21)即为所有分割单元的微观曲线积分值(24) 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2i πw ()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2i πw w (24)构造有限和式(25):(在参数分割单元数量w 不确定的情况下,抽象向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和):∑ = i 1w ⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi w ()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πi w w (25)有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲线积分值(26): (在参数分割单元数量w 趋于无穷的情况下,抽象向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值)lim → w ∞∑ = i 1w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi ()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πi w =lim → w ∞2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π3()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π - ⎛⎝ -()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 42()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()Q ,,x y z β + - + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2()Q ,,x y z β + + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw 2()Q ,,x y z β - ⎫⎭⎪⎪() + w 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 212w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪2π⎛⎝ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 3()Q ,,x y z β + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw ()Q ,,x y z β()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()P ,,x y z α - + - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin () + w 1πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos () + w 1π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π212w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪2π⎛⎝ + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw ()Q ,,x y z β⎛⎝ cos πw w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 21 - 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 3()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw - ⎛⎝ + ()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 42()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()Q ,,x y z β + - + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2()Q ,,x y z β + + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw 2()Q ,,x y z β - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 212w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪2π⎛⎝ +⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 3()Q ,,x y z β + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw ()Q ,,x y z β()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()P ,,x y z α - + - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π212w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + - ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw ()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πw 21 += 0 (26)根据曲面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵(27),获取曲面S 的切平面法向量: sin()cos()sin()sin()cos()sin()cos()sin()sin()cos()i j k a u v b u v c u u u u a u v b u v c u v v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦= i c ()sin u 2b ()cos v a ()cos u ()cos v 2k b ()sin u a ()sin u 2()sin v j c+ + a ()sin u ()sin v 2k b ()cos u + (27)从(27)式分别提取i,j,k 项系数,获得曲面S 的切平面法向量:[2sin()cos()c u b v ,2sin()sin()u a v c ,sin()cos()u ab u ] (28)计算抽象向量场 [P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)] 的旋度,并将其从直角坐标形式(29)转变为曲面S 坐标形式(30): - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥(29)⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v ⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u - ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v - ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v - ⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢ = ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎤⎦⎥⎥ (30)//在空间直角坐标系,抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]的旋度为 - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥ 在本证明的逻辑推导中,需要将其引入抽象单连通可定向闭合曲面坐标系.抽象向量场旋度的六个组成单元(,,)R x y z y∂∂,(,,)Q x y z z ∂∂,(,,)P x y z z ∂∂, (,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x ∂∂,(,,)P x y z y∂∂为抽象微分函数结构,而其微分变量x,y,z 皆含有子变量u,v.空间直角坐标系与抽象单连通可定向闭合曲面坐标系之间的曲面参数转换式为 x = a sin(u)cos(v), y = b sin(u) sin(v), z = c cos(u)---与微分函数 ((,,)Q x y z x ∂∂,(,,)R x y z x ∂∂),((,,)P x y z y ∂∂,(,,)R x y z y∂∂), ((,,)Q x y z z ∂∂,(,,)P x y z z ∂∂) 的三个微分变量x ∂∂,y ∂∂,z∂∂ 对应的坐标转换微分函数分别为sin()cos()sin()cos()a u v a u v u v ∂∂∂∂, sin()sin()sin()sin()b u v b u v u v ∂∂∂∂ 和 cos()cos()c u c u u v ∂∂∂∂.“微分函数(,,)R x y z y∂∂,(,,)Q x y z z ∂∂,(,,)P x y z z ∂∂,(,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x ∂∂, (,,)P x y z y∂∂ 与坐标转换微分函数的乘积” (即两种微分函数的乘积) 构成了抽象单连通可定向闭合曲面坐标系的旋度.// 是”链式求导”还是”坐标转换”?// 如果是”链式求导”,根据”同链相乘,分链相加”的原则应为:⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v ⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u - ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v - ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v - ⎤⎦⎥⎥// 不论是”链式求导”还是求”散度”或者”旋度”, 解决的是抽象向量场[P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)]”如何求导” 、”求导方式”的问题;而这里是要将抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]旋度求导的结果从一个坐标系转化到另一个坐标系的问题;两个”问题”的性质和层次都是不同的,这里是”相乘”而不是”相加”,这是由坐标的空间属性决定的设定曲面S 的参数分割单元数量为50(可取任意自然数值): (31)5.曲面S 的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u 的取值区间[0,π/n -θ]: du =50n 50πθ- 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv =2=5025ππ (32)分割切平面法向量(33): [即将(32)带入(28)]c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + π50n θ502b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + π50n θ502⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25a c ,,⎡⎣⎢⎢-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + π50n θ50a ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + π50n θ50b ⎤⎦⎥⎥(33)分割旋度(34): [即将(32)带入(30)]⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π - ⎤⎦⎥⎥(34) //由于抽象旋度- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥ 的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S 有定义, 则在曲面S 的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为 - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥计算曲面S 的第一分割单元的微观曲面积分值(35):根据积分中值定理, 旋度(34) 与切平面法向量(33) 的空间点积在第一分割单元的积分值1c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθ3b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π-⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + π50n θ503⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π252a 3c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + π50n θ50⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π25 - - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + π50n θ50a ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + π50n θ50b ⎛⎝⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + π50n θ50⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + π50n θ50⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + π50n θ50⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + π50n θ50⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π25 + ⎫⎭⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθπ 6.曲面S 的所有分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u 的取值区间[0,π/n -θ]: du = s s 50n 50πθ-分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv =2t t =5025ππ (36) (其中s 和t 均为1~50的自然数)分割切平面法向量(37): [即将(36)带入(28)]c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs 2b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt a c ,,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s a ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s b ⎤⎦⎥⎥(37)分割旋度(38): [即将(36)带入(30)] ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt - ⎤⎦⎥⎥ //由于抽象旋度- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥ 的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S 有定义,则在曲面S 的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为 - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥计算曲面S 的所有分割单元的微观曲面积分值(39):根据积分中值定理, 旋度(38) 与切平面法向量(37) 的空间点积在所有分割单元的积分值1c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs 3b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt ⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 252a 3c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25 +⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s a ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s b ⎛⎝ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25 - ⎫⎭⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - π50n θ50π构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(40): (由于该数列表达式极长,已省略; 在附件Mape 程序样本中,将指令sqn:=seq(seq((stdV[1]*stdA+stdV[2]*stdB+stdV[3]*stdC)*du*dv, s=1..dus),t=1..dus): 末尾的:替换为;即可获得)数列的累加 (即抽象旋度(38) 与切平面法向量(37) 的空间点积在曲面S 的所有[50个]分割单元的积分值求和),获得流形上曲面积分值(41) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape 程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%); 中间的:替换为;即可获得)设定曲面S 的参数分割单元数量为不确定的自然数w (42)7.曲面S 的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u 的取值区间[0,π/n -θ]: du = n wπθ-分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2wπ(43)分割切平面法向量(44): [即将(43)带入(28)]⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,,c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θ2b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θ2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πa c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θa ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θb 分割旋度(45): [即将(43)带入(30)]⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π,⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw - ⎤⎦⎥⎥⎥⎥(45)//由于抽象旋度- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S 有定义, 则在曲面S 的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥计算曲面S 的第一分割单元的微观曲面积分值(46):根据积分中值定理, 旋度(45) 与切平面法向量(44) 的空间点积在第一分割单元的积分值2c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θ3b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π⎛⎝ ⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw 2a 3c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw a + + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw -⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πθw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πθw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw - ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θπw22c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw 3b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ⎛⎝ ⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θ3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π2a 3c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θa + + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw -⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw - ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θπw22c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw 3b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ⎛⎝ ⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θ3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π2a 3c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θa + + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw -⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin - πn θw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πw - ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θπw28.曲面S 的所有分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u 的取值区间[0,π/n -θ]: du = ()s n wπθ-分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2t wπ(47)(其中s 和t 均为1~w 的自然数)分割切平面法向量(48): [即将(47)带入(28)]c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w 2b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w a c ,,⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs a ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs b ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ (48)分割旋度(49): [即将(47)带入(30)]⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt ,⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt w - ⎤⎦⎥⎥⎥⎥ //由于抽象旋度- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S 有定义,则在曲面S 的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥计算曲面S 的所有分割单元的微观曲面积分值(50):根据积分中值定理, 旋度(49) 与切平面法向量(48) 的空间点积在所有分割单元的积分值2c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs 3b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt ⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs w 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w 2a 3c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt w + +⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w a ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w b ⎛⎝⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθs w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt w - ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθπw2构造有限和式(51):(在参数分割单元数量w 不确定的情况下,旋度(49)与切平面法向量(48)的空间点积在所有分割单元的积分值求和):∑ = t 1w ∑ = s 1w 2⎛⎝⎛⎝ ⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t πw 2c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z a 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θ3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t π2c ⎛⎝+ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t πw -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t πw - ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪sin s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪cos s ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πθw ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - πn θπw2⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪在Intel Celeron CPU E3400 2.6G (32位处理器), 1GB 内存硬件环境下未能完成求和运算,有待系统性能进一步提高简化求和表达式,将曲面S 的u 参数区间由[0,Pi/n-theta]更换为[0,Pi/2](省略n 和theta 两个变量),重新计算求和值以及极限值(52)lim → w ∞∑ = t 1w∑ = s 1wc ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 3b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt ⎛⎝ ⎛⎝⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt 2a 3c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs a + + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪c os πs 2w b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪c os πs 2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪c os 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w -⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪c os πs 2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πt w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪c os 2πt w - ⎫⎭⎪⎪⎫⎭⎪⎪π2w2⎫⎭⎪⎪⎪= 0 (52)即在w → ∞ 情况下,(26)=(52):∑ = i 1w⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪- + ()P ,,x y z α⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2i πw ()Q ,,x y z β⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2i πw w =∑ = t 1w∑ = s 1w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos s π2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin s π2w 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t πw 2c ⎛⎝ ⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos s π2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin s π2w 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t πw 2c ⎛⎝ + +⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos s π2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin s π2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t πw -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos s π2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2t πw ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin s π2w ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2t πw - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin s π2w a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos s π2w ⎫⎭⎪⎪π2w 2⎫⎭⎪⎪⎪亦可表述为 L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1), 证毕2.流形上的旋度公式和式极限数值模型:已知: 单连通、可定向非闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,()sin u ()cos v ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v ()cos u (1)其中,u ∈[0,2π],v ∈[0,2π]; 以及积分向量场⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,y 2z 23x 3 (2) 计算并验证流形上的旋度公式(和式极限).图1 单连通、可定向非闭合曲面（1）[不规则、不对称]解: 第一部分,自由空间环路积分[和式极限]实现:将变量u 的右边界值带(即2π)入目标曲面参数表达式(1),获得目标曲面的边界曲线参数表达式(3):// 与”公式证明” 设定对抽象单连通、可定向非闭合参数曲面[a*sin(u)cos(v), b*sin(u)sin(v),c*cos(u)]具有依存关系的边界曲线[α cos(v),β sin(v),γ]不同,在”数值模型”中可以直接将变量u 的边界值带入具体单连通、可定向非闭合参数曲面(1)的参数表达式,直接获得边界曲线参数表达式= ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,()cos v ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 30 (3)图2 单连通、可定向非闭合曲面(1)的边界曲线(3)计算闭合边界曲线L 的切向量(4):= ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,d d v ()cos v d d v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 3d d v 0⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-()sin v + ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 313()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos v 30设定边界曲线L 的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值): (5)1.边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分过程: 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2=5025ππ(6) 分割切向量(7): [即将(6)带入(4)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25 + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π7513⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π750(7)分割向量场: [即将(3)带入(2)以后,再带入(6)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,12⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π75013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π25(8) 计算边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分值(9):根据积分中值定理,向量场(8)与切向量(7)的空间点积再乘以参数v 的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲线积分值(9)-150π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π252⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π75 (9)2.边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分过程: 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2=5025i i ππ(10) (其中i 为1~50的自然数)分割切向量(11): [即将(10)带入(4)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 25 + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πi 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 7513⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πi 750 (11)分割向量场: [即将(3)带入(2)以后,再带入(10)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,12⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 75013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πi 25 (12) 计算边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分值(13):根据积分中值定理, 向量场 (12) 与切向量 (11) 的空间点积再乘以参数v 的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲线积分值(13)-150π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 252⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πi 75 (13)构建有限个(即50个)微观曲线积分值组成的数列(14): (由于该数列表达式极长,已省略; 在附件Mape 程序样本中,将指令sqn:=seq(dv*(idV[1]*idCL[1]+idV[2]*idCL[2]+idV[3]*idCL[3]), i=1..dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加 (即抽象向量场与切向量的空间点积在曲线L 的所有[50个] 分割单元的积分值求和),获得流形上曲线积分值(15): (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape 程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%); 中间的:替换为;即可获得) 将累加结果表达式转化为浮点数值:-1.157143379设定闭合边界曲线L 的参数分割单元数量为不确定的自然数n (16)3.边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分过程: 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv =2πn(17) 分割切向量(18): [即将(17)带入(4)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π0(18)分割向量场(19): [即将(3)带入(2)以后,再带入(17)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π01⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π (19) 计算边界曲线L 的第一分割单元的微观曲线积分值(20):根据积分中值定理,向量场(19)与切向量(18)的空间点积再乘以参数v 的分割区间(17)即为第一分割单元的微观曲线积分值(20):-π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n (20)4.边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分过程: 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2niπ (21) (其中i 为1~n 的自然数)分割切向量(22): [即将(21)带入(4)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi n + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πi n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi 3n 13⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πi 3n 0(22)分割向量场(23): [即将(3)带入(2)以后,再带入(21)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,12⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi 3n 013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πi n (23) 计算边界曲线L 的所有分割单元的微观曲线积分值(24):根据积分中值定理, 向量场 (23) 与切向量 (22) 的空间点积再乘以参数v 的分割区间(21)即为所有分割单元的微观曲线积分值(24)-π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi n (24)构造有限和式(25):(在参数分割单元数量n 不确定的情况下,向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和):∑ = i 1n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪-π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi n (25) 有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲线积分值(26):(在参数分割单元数量n 趋于无穷的情况下, 向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值)lim → n ∞∑ = i 1n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪-π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi n 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πi 3n =lim → n ∞2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π() + n 1n 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π() + n 13n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 12π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π() + n 1n 4⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π() + n 13n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 1 - 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π() + n 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π() + n 12n 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π() + n 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π() + n 14n + -4π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 21⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π() + n 1n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π() + n 1n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π() + n 13n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 1 + 8π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 21⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π() + n 1n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π() + n 1n 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π() + n 13n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 1 - 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 21⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π() + n 13n n ⎛⎝⎛⎝ - 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π4⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π2 - - + - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 1 + - ⎫⎭⎪⎪⎫⎭⎪⎪2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 1 - 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 4⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 12π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2n + - 2π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 4n 4π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 21⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 1 + - 8π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 21⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 4⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - - + 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 12π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 21⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 2 + + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n n 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 4⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πn 4 - ⎛⎝⎛⎝ 8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π8⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π22⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π1 - + - + - ⎫⎭⎪⎪⎫⎭⎪⎪ = -8170(26)第二部份自由曲面积分[和式极限]实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面S 的切平面法向量(27): ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥i j k ∂∂u ()()sin u ()cos v ∂∂u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 3d d u ()cos u ∂∂v ()()sin u ()cos v ∂∂v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 3∂∂v ()cos u = 13()sin u ()cos u ()cos v k ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos v 33i ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 3 + ⎛⎝ i ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos v 33()sin u ()sin v j 3()cos u k ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v 3 + + + ⎫⎭⎪⎪ (27)从(27)式分别提取i,j,k 项系数,获得曲面S 的切平面法向量: 1()sin u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 3()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos v ()sin u 2()sin v ,,⎡⎣⎢⎢1()sin u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ()cos u ()cos v ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos v 3()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin v ⎤⎦⎥⎥(28)计算向量场(2)的旋度(29): = ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,, - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪x 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪z 23 - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪y 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d x ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪x 3 - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪z 23⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d y ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪y 2⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-2z 3-13-12设定曲面S 的参数分割单元数量为50(可取任意自然数值): (30)5.曲面S 的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u 的取值区间[0,π/2]: du =/502100ππ= 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv =2=5025ππ (31)分割切平面法向量(32): [即将(31)带入(28)] 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π,1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎤⎦⎥⎥ 分割旋度(33): [即将(1)带入(29)以后,再带入(31)]⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-23⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π100-13-12 (33)计算曲面S 的第一分割单元的微观曲面积分值(34):根据积分中值定理, 旋度(33) 与切平面法向量(32) 的空间点积在第一分割单元的积分值1250029-⎛⎝⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 3⎛⎝⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π13⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π1002⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π25 - 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π - ⎫⎭⎪⎪π26.曲面S 的所有分割单元的微观曲面积分过程: 分割参数u 的取值区间[0,π/2]: du =s s /502100ππ= 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2t t =5025ππ (35) (其中s 和t 均为1~50的自然数)分割切平面法向量(36): [即将(35)带入(28)]1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt ,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 1002⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25,13⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs 100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 753⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs 100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 75⎤⎦⎥⎥分割旋度(37): [即将(1)带入(29)以后,再带入(35)] ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,-2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs -1-1 (37)计算曲面S 的所有分割单元的微观曲面积分值(38):根据积分中值定理, 旋度(37) 与切平面法向量(36) 的空间点积在所有分割单元的积分值1250029-⎛⎝⎛⎝⎫⎭⎪⎪sin πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs13⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 1002⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25 - 16⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πs 100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs 100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 25⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πt 753⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos πs 100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin πt 75 - ⎫⎭⎪⎪π2构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(39):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape 程序样本中,将指令sqn:=seq(seq((stdV[1]*stdA+stdV[2]*stdB+stdV[3]*stdC)*du*dv, s=1..dus),t=1..dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加 (即旋度(37) 与切平面法向量(36) 的空间点积在曲面S 的所有[50个]分割单元的积分值求和),获得流形上曲面积分值(40)(由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape 程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果转化为浮点数值:-1.181828580设定曲面S 的参数分割单元数量为不确定的自然数n (41)7.曲面S 的第一分割单元的微观曲面积分过程: 分割参数u 的取值区间[0,π/2]: du =2nπ 分割参数v 的取值区间[0,2π]: dv = 2n π (42)分割切平面法向量(43): [即将(42)带入(28)]13⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n ,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π,13⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2πn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos 2π3n 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin 2π3n ⎤⎦⎥⎥分割旋度(44): [即将(1)带入(29)以后,再带入(42)]。

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从直观视觉观察图例 1 的轮廓,目标参数曲面的局部呈现交叉、重叠、断裂、非闭合的状态;所以目标参数曲面属于非单连通可定向闭合曲面,与‘Poincare 猜想’和‘流形上的散度/旋度公式’无关.
图例 2 由参数表达式‘[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)], u[0,Pi],v[0,2*Pi]’衍生的非单连通可定向闭合曲面
A dL rotA ndS L S
(1)
其中 rotA 为向量场 A 的旋度,n 为有向曲面 S 的单位外法向量”
在公式的定义中,强调非闭合曲面 S 必须是能够区分其”内侧”、”外侧”的可定向曲面. 在传统的直角坐标系 Stokes 公式证明中, ”抽象的可定向非闭合曲面 ∑ 及其边界曲线Γ”是这样定义的: : z f ( x, y ) 和 Γ,其中曲面 : z f ( x, y ) 为抽象二元函数. (参见《高等数学(第六版)》(下册) 同济大学数学系高等教育版 2007 P237-239)
图例 1 由参数表达式‘[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)], u[0,Pi],v[0,2*Pi]’衍生的非单连通可定向闭合曲面
假设任意待定系数 a=sin(u)+cos(v), b=cos(u),c=cos(v/2) (即 a,b,c 为任意的‘一阶可导连续函数’),则目标参数曲面[a*sin(u)*cos(v), b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)],u∈[0,π], v∈[0,2π] 等于 [(sin(u)+cos(v))*sin(u)*cos(v),cos(u)*sin(u)*sin(v), cos(v/2)*cos(u)],u∈[0,π], v∈[0,2π]
进一步的问题自然是”在三维欧氏空间,能否根据 Poincare 猜想这一普遍属性,定义单连通、可定向的闭合曲面的抽象的、普遍意义的表达式?” 这是本章讨论的中心内容之一. 在空间解析几何学中,上述"2 维球面"的参数表达式为[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v), cos(u)],其中参数 u 的变化范围[0,Pi],参数 v 的变化范围[0,2*Pi](在严格意义上, 该参数表达式是 ”2 维球面” 在”空间直角坐标系”和”球面坐标系”之间的转换式; ”二维球面” 在球面坐标系的表达式是常数 1). 在拓扑学领域,"同胚"的定义为"两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个,则认为两者是同胚的". 从解析几何学和拓扑学的角度再理解 Poincare 猜想,既然"2 维球面"的参数方程为 [sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],其中参数变化范围 u[0,Pi],v[0,2*Pi], 则其变形[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi] (其中待定系数 a,b,c 为任意非零常数) 即为任意椭球面的参数方程. 在三维欧氏空间, 任意椭球面皆同胚于球面,这是拓扑学的常识,无需讨论; 如果 a,b,c 为任意"一阶可导连续函数",可能出现怎样的情况? 参见下列图例:
流形上的旋度公式证明
杨科中国成都
摘要：本稿件根据 Poincare 猜想,建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系; 而不再依赖于传统的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),用积分以及和式极限的方法,证明旋度公式(又称 Stokes 公式)在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括抽象单连通可定向闭合曲面坐标系(基于 Poincare 猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)] 的存在,使旋度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分 (区别于传统的基于空间直角坐标系投影法的曲面积分)与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无数个性化的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证 , 确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分的理论逻辑依据和数值模型. "证明流形上的旋度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的. 本稿件相关的数值模型表明,使用基于参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体 [流形,尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面] 的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分,实现向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域 (闭合路径、非闭合曲面)的精确积分计算, 确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分.
图例 3 由参数表达式‘[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)],u[0,Pi], v[0,2*Pi]’衍生的单连通可定向闭合曲面
假设任意待定系数 a=sin(u),b=cos(u)+cos(u+3*v)/3,c= cos(u), (即 a,b,c 为任意的‘一阶可导连续函数’),则目标参数曲面[a*sin(u)*cos(v),
从直观视觉观察图例 3 的轮廓,目标参数曲面不存在交叉、重叠、断裂、非闭合的状态, 并且目标参数曲面的亏格值 0; 所以目标参数曲面属于单连通可定向闭合曲面 , 与 ‘Poincare 猜想’和‘流形上的散度/旋度公式’有关. 在实际操作层面,用 Plot3D[属于 Waterloo Maple 计算机代数系统指令]指令绘画出某一参数曲面,必须在直观视觉上判定该曲面是否为单连通、可定向闭合曲面以后,才能决定是否适用于流形上的散度或旋度公式数值模型;从参数表达式本身无法判断曲面是否
也就是说,旋度公式客观上要求,不论在空间直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲面 S 必须具有三种属性:(1)非闭合性;(2)可定向性;(3)其边界曲线Γ则必须具有闭合性. 离开传统的空间直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的“可定向闭合曲面”以及 “可定向非闭合曲面”? 怎样刻画抽象的、具有普遍意义的“空间闭合曲线”? 并没有现成的答案. Poincare 猜想[19] 断定 "任何与 n 维球面同伦的 n 维闭合流形必定同胚于 n 维球面",在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间,其对应的判断为"任何单连通、可定向 2 维闭合流形必定同胚于 2 维球面". 也就是说, 根据 Poincare 猜想, 在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 任何单连通、可定向的闭合曲面(虽然仅仅是单连通),不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”球面”这一普遍属性.
第一章证明的前提条件
1.1 在旋度公式和 Poincare 猜想之间反思
考察证明的对象---旋度公式: “旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面 S 的正向边界 L+ 为光滑或分段光滑的闭合曲线,边界曲线 L 的正向与有向曲面 S 的外侧以右手定则为关联依据.如果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数 P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场 A]在有向曲面 S 上有一阶连续偏导数,则
假设任意待定系数 a=sin(u+v)+cos(v), b=cos(v),c=cos(v/2), (即 a,b,c 为任意的‘一阶可导连续函数’),则目标参数曲面[a*sin(u)*cos(v), b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)],u∈[0,π], v∈[0,2π] 等于 [(sin(u+v)+cos(v))*sin(u)*cos(v),cos(v)*sin(u)*sin(v),
1.2 根据 Poincare 猜想,定义抽象单连通可定向闭合曲面及其非闭合曲面.......7 1.3 建立抽象单连通可定向闭合曲面坐标系..............................8 1.4 根据 Poincare 猜想,定义抽象平面单连通闭合曲线.....................9 1.5 从抽象平面单连通闭合曲线,到抽象空间闭合曲线......................13 第二章流形上的旋度公式证明.........................................13 总结 ........................................................... 16 参考书籍.........................................................17
cos(v/2)*cos(u)],u∈[0,π], v∈[0,2π] 其实际参数图形为:
图例 2 由参数表达式‘[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)], u[0,Pi],v[0,2*Pi]’衍生的非单连通可定向闭合曲面
从直观视觉观察图例 2 的轮廓,目标参数曲面的局部呈现交叉、重叠、断裂、非闭合的状态;所以目标参数曲面属于非单连通可定向闭合曲面,与‘Poincare 猜想’和‘流形上的散度/旋度公式’无关.
(参见‘附件 1 流形上的旋度公式证明和数值模型[分析和说明] 引言’对应的 Waterloo Maplesoft 17 作图指令)
其实际参数图形为:
图例 1 由参数表达式‘[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)], u[0,Pi],v[0,2*Pi]’衍生的非单连通可定向闭合曲面
关键词: 微积分学拓扑学理论物理学 Poincare 猜想流形上的旋度公式证明数值模型中图分类号：O17/O412.3

流形上的旋度公式证明

§10.6-7旋度与斯托克斯公式(1)

从定义出发给出旋度公式的推导

流形上的旋度公式证明

关于旋度公式的推导方法

流体力学中的旋度与散度

旋度的推导过程

10-7斯托克斯公式 环流量和旋度

从定义出发给出旋度公式的推导

关于旋度公式的推导方法

斯托克斯公式环流量与旋度

流体的旋涡运动和涡量方程

旋度运算的基本公式

旋度计算的公式

流体力学中的流体中的旋转流动

高数 斯托克斯公式 环流量 旋度

旋度和散度计算公式

旋度和散度计算公式

流形上的旋度公式证明和数值模型[附件2Maple程序样本]共19页

从定义出发给出旋度公式的推导

流形上的旋度公式和式极限证明和数值模型 [附件3 分析与说明]

10-7斯托克斯公式环流量和旋度

高数斯托克斯公式环流量旋度