用导数研究三次函数
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数性质的研究和应用
作者： 屠丰庆
作者机构： 浙江绍兴一中,312000
出版物刊名： 上海中学数学
页码： 48-49页
主题词： 三次函数 质的研究 对称中心 竞赛试题 无理函数 导数 高中学生 高次 性质 推广
摘要：随着新教材的使用和推广,使高中学生用导数来解决高次和无理函数的性质成为现实,三次函数的有关问题作为典型在近几年的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解决了三次函数图象的对称中心问题,本文试用导数对
y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)进行较全面的研究,并加以适当的应用.。
二次函数与三次函数的导数与应用
二次函数与三次函数的导数与应用函数是数学中一个重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在函数的研究中，导数是极其重要的概念之一。
对于二次函数和三次函数，它们的导数具有一些特点和应用。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨二次函数和三次函数的导数。
一、二次函数的导数1.1 二次函数的定义与性质二次函数是指函数表达式中的最高次项为2的函数，一般可以用y=ax²+bx+c来表示。
其中，a、b和c为实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，它的开口方向由二次系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
1.2 二次函数的导数计算对于二次函数y=ax²+bx+c，它的导数可以通过求解函数的导数公式得到。
根据导数的定义，可知二次函数的导数为dy/dx=2ax+b。
其中，dy/dx表示函数y对变量x的导数。
1.3 二次函数导数的应用二次函数导数的应用非常广泛，以下列举两个具体的例子。
首先，二次函数导数可以用来求解函数的极值。
当导数为0时，函数达到极值点。
通过求解dy/dx=2ax+b=0，可以求得函数的极值点。
其次，二次函数的导数还可以用来分析函数的变化趋势。
由于二次函数的导数是一条直线，通过观察导数的正负可以得出函数的增减性。
当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减。
二、三次函数的导数2.1 三次函数的定义与性质三次函数是指函数表达式中的最高次项为3的函数，一般可以用y=ax³+bx²+cx+d来表示。
其中，a、b、c和d为实数，且a≠0。
三次函数的图像通常是一个形状复杂的曲线，它的变化趋势由各个系数的正负决定。
2.2 三次函数的导数计算对于三次函数y=ax³+bx²+cx+d，它的导数可以通过求解函数的导数公式得到。
根据导数的定义，可知三次函数的导数为dy/dx=3ax²+2bx+c。
导数与三次函数(教案)
导数与三次函数（教案）教学目标（1）知识目标:以三次函数为载体，掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题的方法。
（2）能力目标:深化数形结合、转化与化归、分类讨论、从特殊到一般等数学思想在解有关问题中的运用，培养学生探究问题的能力和综合分析、解决问题的能力。
（3）情感目标:以数形联系的观点看数学问题，体会由特殊到一般的方法探究数学问题的过程。
鼓励学生大胆猜想，敢于质疑，严密论证。
教学重点:导数应用。
教学难点:三次函数的单调性、极值点个数的探求。
教学模式:以问题为主线，运用探究式与变式教学相结合的教学模式。
教学过程一 回顾复习 引出本课课题叙述利用导数求可导函数单调区间的步骤。
二 再现陈题 掌握导数应用例1 已知函数3()3f x x x =-,R x ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求()f x 在[0，3]上的最值；（3）过点A （2，2）作曲线y=f(x)的切线，求切线方程。
特别警示：求切线方程首先要判断该点是否在曲线上点评1 导数的主要应用：可导函数的单调性、极值、在闭区间上的最值，以及利用导数的几何意义研究切线问题。
变式一 若关于x 的不等式()f x a ≥在0≤x ≤3上恒成立，求实数a 的取值范围； 变式二 关于x 的方程f(x)=a 恰有3个不等的实根，求实数a的取值范围.(图象法)画3()3f x x x =-草图的方法：利用函数有关性质(1)确定极值点对应的点（简称关键点） (2)结合单调性 点评 2 数形结合，以形助数来解决问题。
二 改变命题 探求字母系数例 2 若函数32()331f x kx x x =+++(0k ≠)在R 上是增函数,求实数k 的取值范围。
分析 '()f x =2363kx x ++，0k ≠，'()f x ∴图象是一条过（0，3）的抛物线，由于f(x)在R 上是增函数，则 1）300k >⎧⎨∆<⎩，即01k <<，这时'()0f x >在R 上恒成立，f(x)在R 上是增函数；2）300k >⎧⎨∆=⎩，即1k =，323()331(1)f x x x x x =+++=+,显然f(x)在R 上是增函数；3）300k >⎧⎨∆<⎩，不符合题意。
立足生本课堂培养数学素养——“三次函数的图象和性质”教学设计
立足生本课堂培养数学素养——“三次函数的图象和性质”教学设计“人在课中央”是对人与课的辩证关系形象而又准确的描述，充分体现了新课标所倡导的“以人为本”的教育理念。
课堂是教学的主阵地，追寻课堂教学的本意和灵魂，就应该以学生为整个教学的中心，服务于学生的学习和发展。
教师需要从课堂的主宰者转变为学习资源的整合者、学习方法的指导者、学习效果的评价者，在预设的教案中及时做加减法，使教学的深度、广度适合学生的知识水平和接受能力，同时又根据学生的个性特点和个别差异，贯彻因材施教原则，为不同层次的学生搭建支架，以满足学生的需要，促进学生主动学习和深度学习。
笔者有幸参加了第12届“杏坛杯”课堂教学展评活动，并尝试在“三次函数的图象和性质”一课的教学中让学生始终置身于课堂的中央、教学的中心。
本课的学习是以导数研究函数的方法为主线,探索三次函数的图象特征和相关性质。
通过问题驱动，学生自主建构导数研究函数的方法；通过小组探究、汇报交流,学生经历知识的形成过程；通过自主命题、提出问题，学生实现知识和方法的自我反思和内化等。
这样的教学设计和安排有效地突出了教育教学活动的学生主体性，培养了学生的逻辑思维能力，自主探究、乐于探索的品质以及提出问题、解决问题的意识与能力，服务于学生的生命成长和终身发展。
本课主要的教学过程如下。
一、教学过程1.问题引入，明确作图方法。
问题1：画出函数f（x）=x2+2x-3的大致图象。
请学生上黑板作图，根据学生的回答归纳出3种作图思路：描点作图，根据性质作图和借助一次函数研究二次函数，从而得到图象。
（设计意图：在学生已经掌握二次函数的基础上通过对一个二次函数大致图象作图方法的讨论，明晰作图的常用方法，为下一步研究做了知识和方法上的铺垫，激活学生思维。
）2.引出课题，构建探究方法。
问题2：借助二次函数f（x）=x2+2x-3，可以研究哪类函数的性质呢？请画出的大致图象。
（学生上黑板作图）师：请说说作图过程。
三次函数的性质及简单应用
三次函数的性质及简单应用摘要：本文运用导数的知识来研究一般的三次函数的性质，为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据，为解决高考中三次函数单调性、最值等问题找到了有效的方法。
关键词：三次函数；性质；最值；单调性；对称性作者简介：徐树富，任教于浙江省衢州高级中学。
二次函数的有关性质及其应用是函数内容中的一个重点，而随着导数知识的介入，三次函数在函数问题的研究中凸显出其重要性。
三次函数问题,可通过求导转化为二次函数或二次方程问题,然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。
笔者就教学及解题中碰到的一些三次函数的性质进行一些初浅的探讨。
一、一般的三次函数的图象与性质：1．函数的定义域与值域均为R。
2．极值：3．单调性：（1）证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即（4）过对称中心的曲线的切线有且只有一条；（5）把函数的图象按向量平移后得到的图象关于原点中心对称。
6．图象有两种形状：图二图三二、与三次函数有关的问题2.三次函数解析式的形式三、应用举例三次函数的导函数是二次函数，因此，熟练把握二次函数的图像与性质便是研究三次函数图像与性质的起点。
函数是高中数学的核心内容，在新教材高三数学选修本中虽然利用了导数方法重新研究了函数的若干性质，但是在离开导数背景的函数问题的学习与研究中，大多数学生仍然未能自觉地想到用导数方法来解决高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决的问题，为克服这一思维定势，在与二次函数比较的基础上，对三次函数的性质进行系统的梳理，旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质、并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中，形成自觉的应用意识。
作者单位：浙江省衢州高级中学邮政编码：324006The Nature of Cubic Function and Its Simple ApplicationXU ShufuAbstract: This paper studies the nature of cubic function with derivative knowledge, which supplies ways to probe into the nature of higher-order function and finds effective methods of solving monotony and maxima and minima of cubic function.Key words: cubic function; nature; maxima and minima; monotony; symmetry。
三次函数性质的研究及应用举例
（ 一∞ ， ）和（： ＋∞） 。 ， 上 （ ）＜０ ｙ＝ （ 是减 ， 厂 ） 函数 ； Ｘ ， ） ， ）＞０ Ｙ＝ 在（ ． 上 ＿（ 厂 ， ） 是增 函数 ； 三 次函数 ） ＝ ， ）的图象如 图 ６所示 ：
Ｊ ｌ
）和 （ ＋ ｏ ） Ｘ ， 。 上 （ ）＞ ０ｙ ＝． ） 增 函 ， 厂 是 （
个极值点 ；
增 函数 ；当 Ｅ （ 。 ） ， Ｘ ， 时 Ｙ＝－ ） 厂 是减 函数． 且， （ 而
当 ＝ 时 。
个极值点 ；
） 有极大值 。 ； ） 当 ＝ 时
） 有
② 当ｂ 一３ ｃ＝０时 ， ａ 该方程有两个等根 ：。＝
：Ｘ ）＝３ｘ ＋ ｂ ｃ ｆ （ ａ ２ ｘ＋ 的图象如下 图７ 所示 ： 在
三次 函数 性质 的研 究 及 应 用举 例
河北省 吴桥 县吴桥 中学 近几年 ， 高考 和一些 重大考试 中频 繁出现 与三 在
次 函数有关 的题 目， 在很 多省市 的高考试卷 中都 出现 了这个函数的单独命题 ， 甚至以压轴题 的形式 出现 ， 这 足以说 明 ， 三次 函数 已经成 为中学 阶段 一个重 要 的函 数， 本文试 图用初等数 学方法较 全 面地 探讨一 下它 的 图象 、 性质及简单应用．
数 ； ，： 上 ， 在（ ） 厂 （ ）＜０ Ｙ＝ ， 函数 Ｙ＝， ）的图象如图 ２所示 ： （
） 是减函数 ； 三次
ｌ
ｆ、 ＼ 厂＼
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图５
图６
＼ｊ ／ ／
图１ 图２
不 难得 到 ： ６ 若 一３ ｃ＞０ 当 ∈ （ ， ｉ 时 ， ａ ， 一 ｘ） Ｙ＝ ） 减 函数 ； 是 当 （： ＋ ） ， ＝ ， 时 Ｙ ） 是
导数在三次函数中的应用教学设计
导数在三次函数中的应用教学设计一.教学内容分析三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ 是高中数学利用导数研究函数单调性、极值、最值等内容的一个重要载体，是应用二次函数图像和性质的重要素材. 本课立足于一道题目，建构三次函数图像特征，对零散知识进行串联，运用变式，探究解决问题的通性通法，同时根据问题的自身特点寻求简化解法，培养提高学生思考问题分析解决问题的能力. 二．学生学习情况分析学生已经学习了导数在研究函数单调性及其极（最）值的应用，掌握了利用导数求函数单调区间、求极值最值、求切线方程，求参数取值范围的一般方法.三．教学目标导数及其应用主要两个方面：一是利用导数研究函数的单调性，二是用导数研究函数的极（最）值，三次函数是一类重要的函数，在高考中占有重要地位，因此以三次函数为载体，掌握利用导数研究三次函数单调性，求极值最值的通性通法，巩固数形结合、分类讨论、化归数学思想的应用.四．教学重点与难点教学重点：用导数解决三次函数的单调性、极值最值、切线方程等问题教学难点：分类讨论,数形结合，化归思想在解决问题中的综合应用五．教学过程一、课前练习1.3()31=--f x x x 的单调递减区间为2. 322()3=+++f x x ax bx a 在1=-x 时有极值0，则-=a b3. 3()1=--f x x ax 在(2,)-+∞上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是4. 3()3=-+f x x x a 有三个零点，则a 的取值范围二、问题分析问题13()31=-+f x ax x ，讨论()f x 的单调性，做出大致图像.32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：232(0）=++>ax bx c a问题2、已知函数3()31=-+f x ax x 在(1,1)-单调递减，求实数a 的取值范围变式：已知函数3()31=-+f x ax x 单调递减区间为(1,1)-，求实数a 的取值范围问题3：已知函数3()31=-+f x ax x 在(1,2)上不单调，求实数a 的取值范围问题4：已知函数3()31=-+f x ax x 在[1,2]上存在单调增区间，求实数a 的取值范围问题5： 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为__________________三、小结反思通过本节课学习谈谈你的收获 032>-ac b 032≤-ac b图像()0f x =根的个数与x 轴的交点单调性极值。
用导数研究报告三次多项式曲线
用导数研究报告三次多项式曲线引言在数学中，多项式函数是一类重要的函数。
其中，三次多项式函数的特点是在自变量的三次方次项与一次方次项之间存在关系。
因此，研究三次多项式函数的性质对于数学理论的发展具有重要意义。
导数的定义导数是用来描述函数变化率的工具。
对于函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式计算：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$三次多项式函数的导数对于三次多项式函数$P(x)$，它的一般形式可以表示为：$$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$其中$a$，$b$，$c$和$d$为常数。
为了研究三次多项式函数的性质，我们需要计算它的导数。
根据导数的定义，可以得到三次多项式函数$P(x)$的导数$P'(x)$：$$P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$三次多项式曲线的特点通过对三次多项式函数的导数$P'(x)$进行分析，我们可以得到三次多项式曲线的一些特点：1. 曲线的斜率：导数$P'(x)$描述了曲线在不同点上的斜率。
当导数为正时，曲线上升；当导数为负时，曲线下降；当导数为零时，曲线达到极值点。
2. 曲线的拐点：拐点是指曲线从凸向上凹或从凹向上凸变化的点。
在三次多项式曲线上，拐点的位置可以通过导数$P'(x)$的二阶导数来确定。
3. 曲线的极值点：极值点是曲线上最高或最低的点。
在三次多项式曲线上，极值点可以通过导数$P'(x)$的一阶导数为零的点来确定。
结论通过导数的研究，我们可以了解到三次多项式曲线的斜率、拐点和极值点的位置，进而对曲线的形状和性质进行分析。
这为进一步研究和应用三次多项式函数提供了重要的理论基础。
需要注意的是，在实际应用中，有时会出现多个极值点或拐点的情况。
此外，导数可以应用于许多其他数学领域，如最优化问题和微分方程的求解等。
用导数法解三次函数问题
导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。
特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。
根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。
下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。
例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值；（2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。
解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。
三次函数性质总结
三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数，知道图象是单一递加或单一递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间获得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单一性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单一递加；当k<0时函数单一递加；b决定函数与y轴订交的地点．此中运用的许多的一次函数不等式性质是： fx 0在[m，n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着，我们相同学习了二次函数，图象大概以下：图1 图2利用已学知识概括得出：当时(如图1)，在对称轴的左边单一递减、右边单一递加，对称轴上获得最小值；当时(图2)，在对称轴的左边单一递加、右边单一递减，对称轴上获得最大值．在某一区间获得最大值与最小值．此中a决定函数的张口方向， a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴订交的地点．总结：一次函数只有一个单一性，二次函数有两个单一性，那么三次函数能否就有三个单一性呢？1三次函数专题一、定义：定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数，称为“三次函数”（从函数分析式的构造上命名）。
定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。
因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。
特别是文科。
系列研究1：从最简单的三次函数yx3开始y反省1：三次函数y x31的有关性质呢？反省2：三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢？反省3：三次函数y x31的有关性质呢？1（2012天津理）（4）函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x（A）0（B）1（C）2（D）3系列研究2：研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质：先求导f(x)3ax22bx c(a0)1．单一性：（1）若△(2b)212ac0，此时函数f(x)在R上是增函数；（2）若△(2b)212ac0，令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2，则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减。
数以形而直观,形以数而入微
数以形而直观，形以数而入微作者：郭金玲来源：《新教育时代·学生版》2018年第25期摘要：普通高中新课标清晰地阐述了导数的重要地位和广泛应用，并强调了它的基础性的和工具性。
导数在研究函数中的应用，它包括能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和在区间上的最值，会用导数研究三次函数的零点等问题。
如果能够充分运用数形结合思想，有利于提高课堂教学的效率和有效性。
关键词：导数数形结合效率极值自从导数进入新教材之后，就显示了它强大的生命力。
因为它不仅本身内容精彩，还可以与函数、不等式、三角函数、数列等许多方面的知识进行交汇融合。
通过对近几年全国各地高考数学试题的研究发现，很多试题在强调导数本质属性的同时，也十分注重导数的工具性。
解决问题的方法和手段也不再十分单一，向既注重定义又注重图象的方向迈进。
如何提高课堂教学的有效性？如何提高课堂教学的效率？就显得尤为重要。
导数的应用包括能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和在区间上的最值，利用导数解决生活中的优化问题等，而要解决这些问题，如果能够充分运用数形结合思想，就能够比较深刻的认识到问题的本质。
一、有关极值问题已知原函数，其导函数的正负是由二次函数决定的这一类问题是我们研究的重点，而解决这一类问题的关键就是要弄清楚导函数的图象对原函数图象的影响。
例：已知函数，其中求函数的单调区间与极值。
二、有关函数的零点对于三次方程的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出它的一个有理根，然后转化为，再解。
按照这种方法可以求出三次方程的根。
那么对于一个三次方程，如果我们猜不出它的一个根，怎样来求解呢？这时，我们就可以利用导数这一有力的工具，解决这一类方程的根的问题。
由的图象性质不难看出：方程的实数根的个数即图象与轴交点的个数。
（图略）1.若三次函数无极值，即三次函数在定义域内是单调函数，则其图象与轴恰有一个交点。
由此得：当的判别式时，方程有且仅有一个实根（此处重根不重复计算）。
三次函数的性质及其妙用
因为 基本 三 次 函数 Ｎ。 （ ｚ） 一ｎ ｚ 。 ＋ｐ ｘ是 奇 函数 ， 所 以上 述 函数 Ｎ（ ｚ ） 一Ｎ。 （ ｚ —ｚ 。 ） ＋ｑ的 图象 关 于 点
０ （ ｚ ｏ ， ｑ ） 对称 ．
⑤
上 述诸 多结 论 的完整 验 证 留给读 者 完 成 ， 下 面举
例 说 明它们 的 巧妙运 用 ．
其中ｚ 。 一一 ｂ
、
ｐ— ｃ 一 ｂ ２
、
ｑ一
筹一 ｂ ｃ ＋ ．
必存在 ｂ 。 、 ｃ Ｅ Ｒ， 使 函数 ①关 于其 图象 上 任 意点
Ｍ（ ｍ，Ｎ（ ） ） 的展 开表 达式 形如
Ｎ（ ｚ） 一ａ （ ｘ— ｍ） 。 ＋６ １ （ ｚ— ｍ） ＋ ｃ ｌ （ ｚ— ｍ ） ＋Ｎ （ ｍ） ．
。 。 时 ， （ ｚ ） 一 一。 。 ；
当ｚ — ＋＋ｏ ｏ 时ｌ 厂 （ ｚ ） 一 ＋。 。 ；
（ 其中 口 、 ｂ 、 Ｃ 、 ｄＥ Ｒ且 ａ ｖ ｅ ０ ） 进行 配 方得 到
№ （ ＋
ａ
一
相 同 的 图 象 对称 中 心 ： 点 ｏ， （ ｚ ｏ ， ｇ ） ．
命题 专 家 的青 睐． 本 文侧 重 用 导 数法 来 探 究 三 次 函数
递 减 区 间
极 大 值 极 小 值
的性 质 ， 期 望能对 读 者有 所启 迪 ． 因为可 把任 意 三次 函数
Ｎ（ ｚ ） 一口 ｚ 。 ＋ｂ ｘ ＋ｃ ＿ ｚ ＋ｄ ， ①
相同的极限 ： 当ｚ 一
。 （ ＋ ） 。 ＋ （ ｃ 一 篓 ） （ ｚ ＋ ） 一 ｂ ３ ｃ ＿ ￣ ， ｂ ． ３
６ ａ ６ａ ６ａ ａ
简中求道：我的认识与理解——基于“用导数研究函数”一课的教学
显眼前 。（）三维 目标 的落实 自然 、 当。在 ３ 恰
短短 ４ ５分钟 的课 堂 上 ， 老师 不 仅 传 授 知 朱
识 、 养能力 ， 培 还不 失 时机 、 到好处 地对 学 恰
笼统地讲 ， 笔者把“ 中求道” 解为“ 简 理 求
简中求 道” 求简 是手 段 ， 道是 目的 。但 如 ， 求 得道而得简 ， 那么 ， 求简也可理解为 目的 。 “ 简中求道 ” 中有两个字 ： 简与道 。简 ， 从 字面上 看 ， 与繁相对 。如删繁就 简、 以简驭 繁
朱 占奎老 师 运用 导数 这 个工 具 ， 以多 项
记硬背 、 械 训 练 的现 状 ， 导 学 生 主 动参 机 倡
与 、 于探 究 、 于动手 ， 乐 勤 培养 学生 搜集 和 处
式 函数特别是一 次函数 、 二次 函数 、 三次 函数
等为载体 ， 删繁 就简 、 以简 驭繁 、 中求 道 ， 简 为
生进行情 感态 度 与价值 观 的熏 陶 。比如 ， 课 堂语言形 象 、 生动 ， 给人 以愉悦 感—— “ 果 如
函数是 ‘ 次 的 ’ 图像 便是 ‘ 平 的 ’ ‘ 水 零 ， 水 ；将
平 的倾斜一 下 ’ 函数 就成 了 ‘ 次 的 ’再 将 ， 一 ； 图像 ‘ห้องสมุดไป่ตู้弯一次 ’ 函数 就成 了 ‘ 转 ， 二次 的 ’ ‘ ； 转
新 的视角 ， 借助导数工具 ， 用一 次 函数去认 识 二次 函数 。在学生初步体验 了导数工具 以简 驭繁 的威力后 ， 还是借助 于导数工具 ， 二次 用
函数去认识三次函数 ， 更进 一步地 ， 运用 导数 把非多项式 函数化归为多 项式 函数 。整个 教 学过程层层递进 、 脉络清 晰 ， 寥几道看 似平 寥 凡 的小题 ， “ 中求道 ” 把 简 的数学 教育 思想 尽
三次函数的导数问题
三次函数的导数问题在微积分学中，导数被用于研究函数的变化率。
在下面的文章中，我们将研究三次函数的导数问题。
三次函数的定义三次函数是指具有一次、二次和三次项的函数，可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c和d是常数。
三次函数的图像通常是一个“S”形的曲线，其形状取决于函数的系数。
具体来说，当a>0时，曲线呈现“下凸”，当a<0时，曲线则呈现“上凸”。
三次函数的导数三次函数的导数通常表示为f'(x)，它是指在某个点x处的切线斜率，也是函数在该点处的变化率。
为了求出三次函数的导数，我们可以使用微积分理论中的求导法则。
具体来说，我们需要求出三次函数的每一项的导数，然后将它们相加。
因此，三次函数的导数可以表示为：f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c其中3a、2b和c是三次函数的一次导数项的系数。
三次函数的导数图像三次函数的导数图像通常是一个二次函数，并且其形状与三次函数本身的形状有很大的关系。
当三次函数的a>0时，它的导数图像呈现“上凸”的U形；当a<0时，导数图像则呈现“下凸”的n形。
如果三次函数有其导数为0的点，则该点是函数的临界点，也是函数的最值点之一。
应用三次函数的导数在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，三次函数可以用来描述物体的加速度变化；在经济学中，三次函数可以用来描述收入和消费之间的关系；在工程学中，三次函数可以用来描述材料的强度和韧性之间的关系等等。
结论通过本文，我们学习了三次函数的导数问题。
我们发现，三次函数的导数是函数变化率的表示，它可以帮助我们更好地理解和使用这些函数。
同时，我们也了解到了三次函数和导数图像的形状及其应用。
高中数学新湘教版精品学案《三次函数的性质：单调区间和极值》
三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1．了解三次函数的图象和简单性质，三次函数与二次函数的联系。
2．会用导数研究三次函数的单调性，并且求解出三次函数的单调区间，认识它们之间的内在联系，进一步培养运算能力。
3．会用导数研究三次函数的极值，并且学会求解，认识事物之间的相互联系，培养辨证思维能力
【学习重难点】
重点：理解并掌握三次函数的单调区间和极值。
难点：理解并掌握求解三次函数的单调区间和极值的步骤，会运用到解决实际问题当中。
【学习过程】
一、新课学习。
知识点一：三次函数的单调区间和极值。
三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的。
所以，用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小，这个增减区间，就是三次函数的单调区间，列出表格，对函数的极大极小值点就可以一目了然。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．指出函数3234y x x =+-的单调递增区间。
2．指出函数32454y x x x =+-的单调递减区间。
3．若函数()323321y x ax a x =++++有极大值和极小值，求a 的取值范围。
4．函数326y x x a =-+的极值是什么？
二、课程总结。
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。
1．求下列函数在指定闭区间上的最大值和最小值。
（1）()[]32241,2,1f x x x x =+-+-；（2）()()[]2e 43,3,2x f x x x =-+-。
2．求解函数322611y x x =-+的单调减区间及极值。
三次函数的图像和性质
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件高二下学期数学北师大版选择性
必修第二册
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考
的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图
象及性质.
一、三次函数图象和性质
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),
数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,为更有效解决三
次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决
办法.
3.上述例题均以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极
值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决
问题的能力.
∴m的取值范围是[-22,+∞).
规律方法
1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类
题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)
已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式
的单调性问题求参数.
2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高ax2-(a2-4),
∵当x=1时,函数f(x)有极大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1.
若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1),
可得当-1<x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数
2
-∞,- 3
2
三次函数常见的性质及应用
三次函数常见的性质及应用作者：俞可欣
来源：《中学课程辅导·高考版》2018年第09期
研究三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的重要工具是导数，三次函数的导数是二次函数，因此三次函数问题把高次函数、导数、二次函数三个重要的知识点紧密结合在一起.这種题型完美体现了“在知识网络交汇点处命题”的理念，在高考及模考试题中备受青睐.
题目无穷无尽，但题型屈指可数.因此探究总结三次函数常见的性质，洞察试题编制的母题特征，方能达到“以不变应万变”的理想境界.
一、三次函数常见的性质。
用导数研究三次函数
用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++¹的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数、三次函数的导函数为二次函数::)0(23)(2/¹++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=D （,叫做三次函数导函数的判别式。
叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性、单调性一般地，当032£-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
上有三个单调区间。
2、对称中心、对称中心三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a b f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)f(x)图象的对称中心在导函数图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题、三次方程根的问题（1）当032£-=D ac b 时，由于不等式0)(³¢x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
程仅有一个实根。
（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(=¢x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -¥和),(2+¥x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
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用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=∆（,叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
2、对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当032≤-=∆ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
此时：①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。
当0∆>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。
当0∆≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。
5、最值问题。
函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；。
6、过三次函数上一点的切线问题设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
7、过三次函数外一点的切线问题设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
可能有一条、两条或三条。
（具体情况分析不作要求）8、32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：二、经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1 已知函数f(x)=x 3+px+q(x ∈R)是奇函数，且在R 上是增函数，则（ ）A 、p=0,q=0B 、p ∈R,q=0C 、p ≤0,q=0D 、p ≥0,q=0 解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D 二、考查函数图象的对称性例2 函数f(x)=x 3-3x 2+x-1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点032>-ac b 032≤-ac b图像0)()(21<⋅x f x f0)()(21=⋅x f x f0)()(21>⋅x f x f()0f x =根的个数 三实根 两实根 一实根 一实根与x 轴的交点三交点 两交点 一交点 一交点单调性 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数.，在),(21x x 上为减函数在R 上为增函数 极值有两个极值，一个极大值1()f x ，一个极小值2()f x无极值解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于()2327233,a ba bc ab d +--成中心对称知选C 例3、（2013课标全国，16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线x=-2对称，则)(x f 的最大值为____________.解析：函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图象关于直线x=-2对称，则⎩⎨⎧-=-=)5()1()4()0(f f f f解得a=8，b=5，所以)158)(1()(22++-=x x x x f 可以解得)(x f 的最大值为16。
三、运用函数的性质和数形结合思想解题例4 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞)解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A引申 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）例5（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（ ） （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则0)(='x f 由两个不相等的实数根)(,2121x x x x <,))((323)(212x x x x b ax x x f --=++=',则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在),(21x x 上为减函数，在（x 2，,∞+)上为增函数，故C 错。
D 正确。
选C 。
x四、考查单调区间、极值、最值的问题例6（2010年全国卷Ⅱ文）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。
解析： （2）求出函数的导数()f x '，在（2，3）内有极值，即为()f x '在（2，3）内有一个零点，即可根据(2)(3)0f f ''<，即可求出a 的取值范围。
五、考查交点个数问题例7 （2009陕西文20）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．， 求m 的取值范围.解：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时，由'()0f x >解得x <x >'()0f x <解得x <<所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，单调减区间为(.（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴=所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=.由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值1，在1x =处取得极小值-3.因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是(3,1)-.点评：（1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.六、考查曲线的切线问题例8（2007全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评：（1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 七、含参数的恒成立问题 例9（2008年安徽文） 设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。