线性代数习题解答-第三版-郑宝东习题5

习 题 五

1．判断下列线性方程组是否有解.

（1）123123123246243621x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩ （2）123123123246243621

x x x x x x x x x +-=⎧⎪

++=⎨⎪++=-⎩

（3）246233629x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩ （4）322

64259636x y z x y z x y z -+=-⎧⎪

-+=-⎨⎪-+-=⎩

解：（1）241

61214121

4(|)121

4083

2083

2362101211300720⎛-⎫⎛-⎫⎛-⎫

⎪ ⎪ ⎪=-−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 行行β 因为()(|)3R R ==A A β，所以方程组有唯一解

（2）2416121

4121

4(|)121

4003

2001

1336210011300037⎛-⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝

⎭⎝⎭A 行行β 因为()2(|)3R R =≠=A A β，所以方程组无解

（3）241612131213(|)121

3003

0001

0362900100000⎛-⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=−−→-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝

⎭⎝

⎭⎝

⎭

A 行行β 因为()(|)23R R ==≤A A β，所以方程组有无穷多解.

（4）321

23212(|)642

5000

196360000⎛--⎫⎛--⎫

⎪ ⎪=--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

⎭

A 行β 因为()1(|)2R R =≠=A A β，所以方程组无解.

2．设12,,,m ηηη都是非齐次线性方程组=AX β的解向量，令

1122m m k k k =+++ ηηηη

验证：

（1）若120m k k k +++= ，则η是=AX β对应的齐次线性方程组=0AX 的解向量；

（2）若121m k k k +++= ，则η是=AX β的解向量.

证：11221112()()m m m m m

k k k k k k k k =+++=++=+

++ A A A A ηηηηηηβ

（1）若120m k k k +++= ，则=0A η，所以η为=0AX 的解向量. （2）若121m k k k +++= ，则=A ηβ，所以η为=AX β的解向量.

3．设A 为4阶方阵，123()3,,,R =A ααα都是非齐次线性方程组=AX β的解向量，其中

12231198

,9845⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

αααα

（1）求=AX β对应的齐次线性方程组=0AX 的一个基础解系；

（2）求=AX β的通解.

解：（1）由已知(1,2,3),()3,i i R ===A A αβ 所以=0AX 的基础解系含有

()431n R -=-=A 个非零向量，令

122301

()()011⎛⎫

⎪ ⎪=+-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭

ξαααα

且122313[()()]=+-+=-=-=0A A A A ξααααααββ.

所以ξ为=0AX 的一个线性无关解向量，是=0AX 的基础解系.

（2）令*121911

()9224⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

ηαα

则

*1211

()()22

=

+=+=A A ηααβββ 即*

η为=AX β的一个特解，从而=AX β的通解为

*10911,91241k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪

⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

X ηξ为任意常数.

4．已知

123411 1 1 101 1 2 1,,,,232 4335 18 5a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

ααααβ （1）,a b 为何值时，β不能表为1234,,,αααα的线性组合；

（2）,a b 为何值时，β可唯一地表为1234,,,αααα的线性组合. 解：β不能表为1234,,,αααα的线性组合的充要条件是非齐次方程组

11223344x x x x +++=ααααβ

无解，β可唯一表为1234,,,αααα的线性组合的充要条件是非齐次方程组

11223344x x x x +++=ααααβ

有唯一解.

12341111101121(|)2324335185a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪==−−→ ⎪++ ⎪ ⎪+⎝⎭

B 行ααααβ 11111111110112101121012100100225200010a b a b a a ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪--

⎪ ⎪−−→ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝

⎭

行 （1）当1,0a b =-≠时，1234()2()3R R =≤=B αααα，此时

β不能表为

1234,,,αααα的表性组合.

（2）当1,a b ≠任意时，1234()()4R R ==B αααα，此时β可唯一地表为

1234,,,αααα的线性组合.

5．已知齐次线性方程组

12312312

30

030

x ax x ax x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，求a .

解：齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式