图形的平移知识点及培优训练
小学平移重要知识点总结
小学平移重要知识点总结一、平移的定义平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一定的距离，但是其形状和大小保持不变。
平移可以想象成用手抓住一个物体，然后向某一个方向移动一段距离，最后放下来，这样整个物体就完成了一次平移。
二、平移的性质1.平移是用向量来描述的。
例如，一个物体向右平移3个单位，我们可以用向量（3，0）来表示这次平移的方向和距离。
2.平移不改变原有图形的大小和形状。
无论一个物体是向左、向右、向上或向下平移，只要平移的距离是一样的，那么平移后的图形和原来的图形是完全相同的。
3.平移可以叠加。
这意味着如果一个物体先向右平移3个单位，然后再向上平移2个单位，那么最终的平移效果就是向右平移3个单位和向上平移2个单位的叠加。
这点对于以后学习向量和矩阵运算会有帮助。
三、平移的识别在现实生活中，我们可以很容易地发现一些平移的现象。
比如，公交车在路上行驶、足球场上的运动员在比赛中移动、书本在桌子上的位置变化等。
学生可以通过这些实际例子来学习和理解平移的概念。
四、平移的操作1.向左平移：物体在平面上的x坐标减少了，例：原坐标（3，4）向左平移3个单位后的新坐标为（0，4）。
2.向右平移：物体在平面上的x坐标增加了，例：原坐标（3，4）向右平移2个单位后的新坐标为（5，4）。
3.向上平移：物体在平面上的y坐标增加了，例：原坐标（3，4）向上平移2个单位后的新坐标为（3，6）。
4.向下平移：物体在平面上的y坐标减少了，例：原坐标（3，4）向下平移4个单位后的新坐标为（3，0）。
五、平移的描述平移可以用文字或者向量来描述。
文字描述如“向右平移3个单位”，“向下平移4个单位”等；向量描述如（3，0），（0，-4）等。
六、平移的练习1.基本练习：给定一个图形，让学生用手把这个图形在平面上平移。
2.坐标练习：给定图形的坐标，让学生进行平移操作，然后计算平移后的新坐标。
3.多步平移：给定一个或多个平移向量，让学生进行多步平移操作，最终找到平移后的位置。
第01讲 图形的平移(知识解读+达标检测)(原卷版)
第01讲图形的平移【题型1生活中的平移现象】【题型2图形的平移】【题型3利用平移的性质求面积】【题型4利用平移的性质求长度】【题型5利用平移的性质求角度】【题型6利用平移解决实际问题】【题型7平移作图】考点：平移1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3.平移的性质（1）对应点的连线平行(或共线)且相等（2）对应线段平行(或共线)且相等；（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法（1）找关键点；（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点（3）连接对应点。
将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形【题型1生活中的平移现象】【典例1】（2023秋•道里区校级期中）在下列实例中，属于平移过程的有（）①时针运行的过程；②电梯上升的过程；③地球自转的过程；④小汽车在平直的公路行驶．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2023春•林州市期末）下列运动属于平移的是（）A．荡秋千的小朋友B．转动的电风扇叶片C．正在上升的电梯D．行驶的自行车后轮【变式1-2】（2023春•富川县期末）一个图形，经过平移后，改变的是（）A．颜色B．形状C．大小D．位置【变式1-3】（2023春•呼伦贝尔期末）在下列现象中，属于平移的是（）A．小亮荡秋千运动B．升降电梯由一楼升到八楼C．时针的运行过程D．卫星绕地球运动【题型2图形的平移】【典例2】（2023春•罗山县期末）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023春•启东市期末）“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023春•扎赉特旗期末）如图，将图中的冰墩墩通过平移可得到图为（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023春•琼海期末）如图所示的各组图形中，表示平移关系的是（）A．B．C．D．【题型3利用平移的性质求面积】【典例3】（2023春•惠城区校级期中）如图，长为50m，宽为30m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其它部分均种植草坪，则种植草坪的面积为（）A．1344m2B．1421m2C．1431m2D．1341m2【变式3-1】（2023春•凉山州期末）如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是2m），则空白部分表示的草地面积是（）A．70m2B．60m2C．48m2D．18m2【变式3-2】（2023春•南陵县期末）如图，小红家楼梯长3m，高2m，宽1m，若想铺上地毯，则所需地毯的面积（）A．2m2B．3m2C．5m2D．6m2【变式3-3】（2023秋•滨州期中）如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF 的位置，平移距离为7，AB＝13，DO＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．70B．48C．84D．96【题型4利用平移的性质求长度】【典例4】（2022秋•芝罘区期末）如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm【变式4-1】（2022秋•桓台县期末）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上）．若BF＝10cm，EC＝4cm，则平移距离为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm【变式4-2】（2023春•南山区期末）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（）A．4B．6C．8D．12【变式4-3】（2023春•唐县期末）如图，直角三角形ABC的周长为22，在其内部有5个小直角三角形，这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形的周长为（）A．11B．22C．33D．44【题型5利用平移的性质求角度】【典例5】（2023春•霸州市期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接AB，AC，∠BAC＝45°，∠ACB是钝角，将三角形ABC沿着直线l向右平移得到三角形A1B1C1，连接AB1，在平移过程中，当∠AB1A1＝2∠CAB1时，∠CAB1的度数是（）A．15°B．30°C．15°或45°D．30°或45°【变式5-1】（2023春•丰满区期末）将△ABC沿AB方向平移到△EFD的位置，若∠1＝31°，∠2＝57°，则∠D的度数为（）A．91°B．90°C．92°D．105°【变式5-2】（2023春•凤翔县期中）如图，∠1＝70°，∠2＝160°直线a平移后得到直线b，则∠3＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【变式5-3】（2023春•遂川县期末）如图（1），将一副直角三角板两斜边摆放在同一直线上，且点A，D重合，固定含45°角的三角板ABC，将含角的三角板DEF从图（1）的位置，沿射线BA平移至图（2）的位置，则平移过程中，根据两个三角板的摆放位置，下列钝角：100°，105°，120°，135°，150°，165°，170°，沿三角板的边缘能直接画出的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型6利用平移解决实际问题】【典例6】（2023春•南宁月考）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．（1）比较两条线路的长短：粗线①细线②；（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）如果这段路程长4.7千米，小丽坐出租车从体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，小丽身上有10元钱，够不够坐出租车从体育馆到少年宫呢？说明理由．【变式6-1】（2022秋•路北区期末）如图，有一块长为20米，宽为10米的长方形土地，现在将三面留出宽都是x米的小路，中间余下的长方形部分做草坪（阴影部分）．（1）用含字母x的式子表示：草坪的长a＝米，宽b＝米；（2）请求出草坪的周长；（3）当小路的宽为1米时，草坪的周长是多少？【变式6-2】（2022春•婺城区校级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b 米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：π取3）（1）甬路的面积为平方米；种花的面积为平方米．（2）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？【变式6-3】（2023春•莱州市期末）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．（1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．（2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价．【题型7平移作图】【典例7】（2022秋•蚌山区期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标．A1；B1；C1；（3）求出△ABC的面积．【变式7-1】（2023秋•崇左期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，1），将△ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1．（1）在图上画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）设点P（m，n）为△ABC内一点，经过平移后，请写出点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．【变式7-2】（2023秋•铜陵期中）如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC（△ABC 的各顶点都在格点上）．（1）画出△ABC中AB边上的高CD；（2）将△ABC先向上平移3格，再向右平移4格，画出平移后的△A′B′C′；（3）在图中画出一个锐角格点三角形ABP，使得其面积等于△ABC的面积，并回答满足条件的点P有多少个．【变式7-3】（2023秋•蚌山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（3，1），C（0，2），将△ABC先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到△A'B'C'．（1）在图中画出平移后的△A'B'C'；（2）求△ABC的面积．一．选择题（共10小题）1．（2023春•高邮市期中）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•长汀县期中）小芳和小明在手工课上各自制作楼梯模型，他们用的材料如图，则（）A．一样多B．小明多C．小芳多D．不能确定3．（2022春•当涂县期末）下列生活现象中，属于平移现象的是（）A．急刹车时汽车在地面滑行B．足球在草地上跳动C．投影片的文字经投影转换到屏幕上D．钟摆的摆动4．（2023秋•金安区校级月考）将点P（﹣3，2）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣5，﹣4）D．（﹣5，﹣2）5．（2022•陵水县二模）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48B．96C．84D．42 6．（2022•定海区校级模拟）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为（）A．3B．4C．5D．6 7．（2022春•甘井子区校级期末）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（3，﹣1）的对应点C的坐标是（﹣2，5），则点B（0，4）的对应点D的坐标是（）A．（5，﹣7）B．（4，3）C．（﹣5，10）D．（﹣3，7）8．（2022春•古城区期末）如图，图1与图2中的三角形相比，图2中的三角形发生的变化是（）A．向左平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度9．（2022春•淮南期末）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C （2，﹣1），则点B（1，1）的对应点D的坐标为（）A．（﹣1，﹣3）B．（5，3）C．（5，﹣3）D．（0，3）10．（2022春•曲靖期末）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为（）A．5050m2B．5000m2C．4900m2D．4998m2二．填空题（共6小题）11．（2021•鞍山）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为．12．（2022春•兴庆区期末）将点A（﹣2，﹣3）先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B，则点B所在象限是第象限．13．（2020春•德州期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为．14．（2022春•清河县期末）如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为．15．（2022春•连平县校级期末）如图，长方形ABCD的边AB＝6，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为．16．（2023春•康巴什期末）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是．三．解答题（共3小题）17．（2022春•饶平县校级月考）宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？18．（2022秋•大祥区期末）如图，已知A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′，△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）．（1）请在图中作出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′、C′的坐标．19．（2022春•上海期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．；（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC＝S四边形ABDC？若存在这样一点，（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△P AB求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．。
2023年八年级数学图像的平移和旋转知识点经典例题和习题
图形旳平移与旋转【考纲】图形旳平移与旋转是近几年中考命题旳重点和热点．考察考点重要通过详细实例认识平移、旋转，并探索平移、旋转旳基本性质．【复习考纲】1．探索图形平移、旋转旳性质，发展空间观念；结合详细实例，理解平移、旋转旳基本内涵．2．掌握平移、旋转旳画图环节和措施，掌握图形在坐标轴上旳平移和旋转．【考点梳理】一、平移定义和规律1．平移旳定义：在平面内，将一种图形沿某个方向移动一定旳距离，这样旳图形运动称为平移．注意：（1）平移不变化图形旳形状和大小（也不会变化图形旳方向，但变化图形旳位置）；（2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离．2．平移旳规律（性质）：通过平移，对应点所连旳线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等．注意：平移后，原图形与平移后旳图形全等．3．简朴旳平移作图平移作图，就是把整个图案旳每一种特性点按一定方向和一定旳距离平行移动．平移作图要注意：①方向；②距离．二、旋转旳定义和规律1．旋转旳定义：在平面内，将一种图形饶一种定点沿某个方向转动一种角度，这样旳图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动旳角称为旋转角．关键：（1）旋转不变化图形旳形状和大小（但会变化图形旳方向，也变化图形旳位置）；（2）图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角．2．旋转旳规律（性质）：通过旋转，图形上旳每一种点都绕旋转中心沿相似方向转动了相似旳角度，任意一对对应点与旋转中心旳连线所成旳角都是旋转角，对应点到旋转中心旳距离相等．（旋转前后两个图形旳对应线段相等、对应角相等．) 注意：旋转后，原图形与旋转后旳图形全等．3．简朴旳旋转作图：旋转作图，就是把整个图案旳每一种特性点绕旋转中心按一定旳旋转方向和一定旳旋转角度旋转移动．旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度．【典题探究】【例1】、在下列实例中，不属于平移过程旳有（ ）①时针运行旳过程；②火箭升空旳过程；③地球自转旳过程；④飞机从起跑到离开地面旳过程。
六年级图形平移知识点
六年级图形平移知识点图形的平移是指保持图形形状不变，仅仅将它在平面上按照一定的规律进行移动。
在六年级学习数学的过程中，图形的平移是一个重要的知识点。
下面将介绍图形平移知识的相关内容。
一、平移的定义及表示方法平移是指将一个图形沿着平面上的某个方向进行移动，移动的距离和方向相同，且保持图形内部的相对位置关系不变。
平移通常可以用“dx”和“dy”表示，其中“dx”表示图形沿x轴方向平移的距离，“dy”表示图形沿y轴方向平移的距离。
二、图形的平移规律1. 平移的规律（1）平移的方向可以是上下左右，也可以是斜向。
（2）平移的距离是固定的，沿着平移方向上的每个点都移动相同的距离。
（3）平移前后，图形的大小和形状保持不变。
2. 图形平移的示例（1）平移矩形：我们以一个矩形为例来说明图形平移的过程。
首先，将矩形的顶点A移动到A'，顶点B移动到B'，顶点C移动到C'，顶点D移动到D'。
在平移过程中，A、B、C和D分别移动相同的距离，且保持原来的形状。
最终，通过平移操作，得到了新的矩形。
（2）平移正方形：类似地，我们可以将上述过程应用到正方形上，实现对正方形的平移。
在平移过程中，正方形的四个顶点分别移动相同的距离，且保持原来的形状和大小。
三、图形平移的性质1. 平移不改变图形的大小和形状，仅仅改变了图形在平面上的位置。
2. 平移前后，图形的内部相对位置关系保持不变。
比如平移前两点之间的距离是d，在平移后，两点之间的距离仍然是d。
3. 平移操作是可逆的，即可以通过平移的反操作将图形还原到原来的位置。
四、图形的平移与坐标在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标的变化来表示图形的平移。
假设图形中的某一个点P在平移前的坐标为(x, y)，平移后的坐标为(x+dx, y+dy)，其中dx和dy分别表示平移的距离。
五、练习与应用1. 练习图形平移：通过练习，加深对图形平移的理解。
可以使用纸张、铅笔等简单的工具来完成，选择不同的图形，进行平移操作。
小学平移图形知识点总结
一、概念平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而且保持图形的形状和大小不变。
二、图形的平移方法1.用尺子和铅笔在图纸上作出一个规定的方向。
2.沿着所作的方向平行移动图形。
三、平移的规则1.图形的任意一点移到新位置，它到旧位置的距离与旧位置到新位置的距离相等。
2.平移前后，图形的所有的点一起移动了同样的距离和方向。
四、平移的性质1.图形的平移之后，其内角与直角不变。
2.所有的平面图形通过平移可以与它们的平移得到的图形完全重合。
五、平移的步骤1.找到平移的方向。
2.确定平移的距离。
3.按照平移的方向和距离，移动图形。
六、图形的平移变换1.正方形的平移变换正方形的平移变换就是将正方形按照一定的方向和一定的距离平移。
2.矩形的平移变换矩形的平移变换也是将矩形按照一定的方向和一定的距离平移。
3.三角形的平移变换三角形进行平移变换时，也需要按照一定的方向和一定的距离进行平移。
4.圆的平移变换圆的平移变换是将圆按照一定方向和一定的距离进行平移。
1. 在日常生活中，平移被广泛应用，比如我们在家里，我们可以把桌椅沿着墙壁平移，使房间内的活动空间更大。
2. 在工程建设中，平移也被广泛应用，比如我们在公路建设中，铺设沥青的机器可以进行平移，使整条公路外形整齐美观。
3. 在艺术创作中，平移也是很重要的，比如我们在绘画中，可以把一个图案不断地进行平移，使整幅画面更加丰富多彩。
八、总结平移是几何学重要的基本概念之一，它在日常生活、工程建设和艺术创作中都得到了广泛的应用。
通过学习平移的方法和规则，我们可以更好地理解图形的变化和规律，从而为我们的生活带来更多方便和美好。
希望同学们能够认真学习平移的知识，掌握它的方法和规律，从而在数学学习和实际应用中取得更好的成绩。
专题31图形的平移(解析版)
3.1图形的平移一、知识点平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等二、考点点拨与训练考点1：生活中的平移现象典例：．（2020·北京东城区·七年级期末）如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】解：根据平移的概念，观察图形可知图案B 通过平移后可以得到．故选B ．方法或规律点拨本题考查生活中的平移现象，仔细观察各选项图形是解题的关键．巩固练习1．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）下列运动属于平移的是（ ）A ．汽车在平直的马路上行驶B ．吹肥皂泡时小气泡变成大气泡C ．铅球被抛出D ．红旗随风飘扬【答案】A【详解】解：A 、汽车在笔直公路上运动沿直线运动，符合平移定义，属于平移，故A 选项符合； B 、吹肥皂泡时小气泡变成大气泡，不属于平移，故B 选项不符合；C 、铅球被抛出是旋转与平移组合，故C 选项不符合；D 、随风摆动的红旗，不属于平移，故D 选项不符合．故选：A ．2．（2019·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）下列图中的“笑脸”，由如图平移得到的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：A、B、C都是由旋转得到的，D是由平移得到的．故选：D．3．（2020·贵州安顺市·七年级期末）下列运动中，属于平移的是（）A．冷水加热过程中，小气泡上升成为大气泡B．急刹车时汽车在地面上的滑动C．随手抛出的彩球运动D．随风飘动的风筝在空中的运动【答案】B【详解】解：A、气泡在上升的过程中变大，不属于平移；B、急刹车时汽车在地面上的滑动属于平移；C、随手抛出的彩球运动既发生了平移，也发生了旋转，不属于平移；D、随风飘动的树叶在空中的运动，既发生了平移，也发生了旋转．故选B．4．（2021·辽宁营口市·七年级期末）沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意．图1是一沙燕风筝的示意图，在下面的四个图中，能由图1经过平移得到的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：故选：D．5．（2020·重庆市渝北中学校七年级月考）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘．上架设小桥，若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为(矩形即长方形) ( )A．280m B．140m C．260m D．130m【答案】B【详解】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽的和，故小桥总长为：280÷2=140（m）．故选：B．6．（2020·江苏泰州市·七年级期末）下列现象属于数学中的平移的是（）A．树叶从树上随风飘落B．升降电梯由一楼升到顶楼C．汽车方向盘的转动D．“神舟”号卫星绕地球运动【答案】B【详解】A.树叶从树上随风飘落，不属于平移；B.升降电梯由一楼升到顶楼属于平移；C.汽车方向盘的转动属于旋转；D. “神舟”号卫星绕地球运动属于旋转；故选B．7．（2019·浙江杭州市·七年级开学考试）下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是____．（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）汽车玻璃上雨刷的运动；（5）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．【答案】（2）（5）【详解】解：（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；（4）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；（5）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．故可以看成平移的是（2）（5）．故答案为：（2）（5）．8．（2020·黑龙江佳木斯市·七年级期末）在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④随风摆动的旗帜；⑤钟摆的摆动，属于平移现象的有__（只填序号）【答案】①②③【详解】解：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；是平移运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；是平移运动；③在笔直的公路上行驶的汽车；是平移运动；④随风摆动的旗帜；不是平移运动；⑤钟摆的摆动，不是平移运动；∴属于平移现象的有：①②③；故答案为：①②③．9．（2020·江苏宿迁市·七年级期末）下列现象：①升国旗；②荡秋千；③手拉抽屉，属于平移的是________（填序号）【答案】①③【详解】解：①升国旗是平移；②荡秋，运动过程中改变了方向，不符合平移的性质；③手拉抽屉是平移； 故答案为：①③．考点2：平面直角坐标系中的平移典例：（2020·浙江杭州市·九年级期末）在平面直角坐标系中，有()2,3A ，()2,1B -两点．若点A 关于y 轴的对称点为点C ，点B 向左平移6个单位到点D ．（1）分别写出点C ，点D 的坐标；（2）一次函数图象经过A ，D 两点，求一次函数表达式．【答案】（1）C （-2，3），D （-4，-1）；（2）2533y x =+ 【详解】解：（1）∵A 、B 的坐标分别为：A （2，3），B （2，-1），点C 与点A 关于y 轴对称，故C 为（-2，3），将点B 向左平移6个单位到点D ，则D 为（-4，-1）．（2）设一次函数表达式为y=kx+b ，将A （2，3）和D （-4，-1）代入得：2341k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得2353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故一次函数表达式为2533y x =+． 方法或规律点拨本题考查点的对称和平移及用待定系数法求一次函数解析式，在解题中要明确点关于坐标轴对称及平面内点平移的规律，待定系数法求函数解析式为函数问题基本解题方法，因此要理解透彻．巩固练习1．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A．(2020,1-+ B．(2020,1--- C．(2019,1-+ D．(2019,1--【答案】D【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+21=+2 ∴C(2，1由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，1)，即(1，1-，第2次变换后点C 的坐标变为(2-21)，即(0，1+第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，1)，即(-1，1-第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n，1)(n 为奇数)或(2-n，1为偶数)，∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，1-，故选：D ．2．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）点(),5M x -向右平移5个单位后所得到的点与点M 关于y 轴对称，则x 的值是（ ）A ．5-B ．5C ．52D ．52- 【答案】D【详解】 因为点M （x ，-5）向右平移5个单位所得的点（x+5，-5）与点M 关于y 轴对称，所以x+x+5=0，∴x=52- 故选：D ．3．（2020·淮北市相山区张集中学八年级期中）平面直角坐标系中，若点(0,0)O 、则点()2,3P -．若将坐标原点移至点P ，则此时点O 的坐标变为（ ）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,3D ．()2,3--【答案】B【详解】解：根据题意，相当于将点O 向右平移了2个单位，向下平移了3个单位，故点O 的坐标变为（0+2，0﹣3），即（2，﹣3），故选：B ．4．（2020·浙江八年级期末）把点(2,5)A 向左平移3个单位到点B ，则点B 的坐标是________．【答案】（-1，5）【详解】解：将点A （2，5）向左平移3个单位，得到点B 的坐标为（2-3，5），即：（-1，5）．故答案为：（-1，5）．5．（2021·浙江宁波市·八年级期末）将点P （﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q ，则点Q 的坐标是_____．【答案】（﹣5，﹣1）【详解】解：根据题意，点Q 的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3＋2＝﹣1；即点Q 的坐标是(﹣5，﹣1)．故答案为：(﹣5，﹣1)．6．（2021·浙江宁波市·八年级期末）把点(2,7)P -向左平移2个单位，所得点P '的坐标为________．【答案】(4,7)-【详解】点P(-2、7)向右平移2个单位，所得P '点的坐标为(22--、7)，即(4-、7)故答案为：(4-、7)．7．（2021·浙江温州市·八年级期末）将点()2,3P -向右平移4个单位得到点P '，则点P '的坐标为__________．【答案】()6,3-【详解】解：将点P （2，﹣3）向右平移4个单位长度得点P ′，则点P ′的坐标为（6，﹣3）．故答案为：（6，﹣3）．8．（2021·安徽蚌埠市·八年级期末）如果将点()3,2A --向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度得到点B ，那么点B 的坐标是_____．【答案】()1,5--【详解】根据题意得，321,235-+=---=-()1,5B ∴--故答案为：()1,5--．9．（2021·全国七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移，得到四边形1111D C B A ，已知点()3,5A -，点()4,3B -，点()13,3A ，则点1B 的坐标为___．【答案】（2，1）【详解】解：由A （-3，5），A 1（3，3）可知四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A 1B 1C 1D 1，∵B （-4，3），∴B 1的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．10．（2020·通辽市科尔沁区第七中学七年级期中）如图所示，A'B'C'是ABC 经过平移得到的，A(2,-1),B(4,3),C(1，2)，ABC 中任意一点()11P x ,y 平移后的对应点为()11P'x 6y 4-+，．()1请写出三角形ABC 平移的过程；()2分别写出点A'，B'，C'的坐标；()3求ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）A′（-4，3），B′（-2，7），C′（-5，6）；（3）5【详解】解：（1）∵△ABC 中任意一点P （x 1，y 1）平移后的对应点为P′（x 1-6，y 1+4），∴平移后对应点的横坐标减6，纵坐标加4，∴△ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC 先向上平移4个单位，再向左平移6个单位得到△A′B′C′；（2）∵A （2，-1），B （4，3），C （1，2），由（1）可知，A′（-4，3），B′（-2，7），C′（-5，6）；（3）如图所示，S △ABC =11134314231222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=5． 11．（2020·山西八年级月考）如图，五边形各顶点的坐标分别为()()()()4,4,5,3,,4,1,2,2A B C D ----()2,3,E -将五边形先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新五边形''''',A B C D E 点,,,,A B C D E 分别对应点',',',','A B C D E ．（1）画出平移后的新五边形并标明字母；（2）如果将新五边形''''A B C D E '看成是由原五边形ABCDE 经过一次平移得到的，请直接写出这一平移的平移方向和平移距离．【答案】（1）图见解析；（2）由A 到'A 的方向，平移距离是个单位长度．【详解】（1）如图示，五边形'''''A B C D E 即为所求作图形．（2）连接A ，'A则'AA =∴这一平移的平移方向是:由A 到'A 的方向，平移距离是:个单位长度．考点3：图形平移性质的应用典例：（2020·河南郑州市·郑州外国语中学七年级期中）如图，在Rt ABC △中，90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =，把ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①//AC DF ；②//AD BE ；③ 2.5CF cm =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【详解】∵△ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到△DEF ，∴AB//DE ，AC//DF ，AD//CF ，CF=AD=2.5cm ，故①②③正确.∵∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，∵AB//DEDE AC ∴⊥，故④正确.综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，故选D.方法或规律点拨本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．巩固练习1．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]【答案】D【解析】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选D．2．（2019·浙江台州市·七年级期末）三个边长分别为a，b，c，的正方形如图所示摆放，则阴影部分的周长（）A．只与a，b有关B．只与a，c有关C．只与b，c有关D．与a，b，c有关【答案】B【详解】=+-=-解：阴影部分的周长：C2c2c a4c2a故选：B．3．（2021·全国七年级）如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为__平方米．【答案】42【详解】解：由平移的性质，得:草坪的长为8﹣1＝7（米），宽为6米，草坪的面积＝7×6＝42（平方米）．故答案为：42．4．（2020·忠县乌杨初级中学校七年级月考）如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为_______米2．【答案】144【详解】解：由图形得到了的总长度为20+10-2=28米，所以道路的总面积为28×2=56米2，所以草地面积为20×10-56=144米2．故答案为：1445．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米．【答案】98【解析】∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，水平距离等于AB，铅直距离等于（AD-1）×2，又∵长AB=50米，宽BC=25米，∴小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为50+（25-1）×2=98米，故答案为98．6．（2020·莆田擢英中学七年级月考）如图是一块从一个边长为50 cm的正方形材料中剪出的垫片，现测得FG＝5 cm，则这个剪出的垫片的周长是________cm.【答案】210【解析】【详解】如图所示：这块垫片的周长为：50×4+FG+NH=200+10=210（cm ），故答案为2107．（2020·湖南益阳市·七年级期末）如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，将长方形ABCD 沿着AB 方向平移________cm ，才能使平移后的长方形HEFG 与原来的长方形ABCD 重叠部分的面积为24cm 2．【答案】6【详解】解：设AE=x ，根据题意列出方程：6（10-x ）=24，解得x=6，∵A 的对应点为E ，∴平移距离为AE 的长，故向右平移6cm ．8．（2020·河北衡水市·七年级期末）如图，直角△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．【答案】12【解析】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．故答案为12．考点4：图形平移的性质综合应用典例：（2021·全国八年级）如图，在平面直角坐标系中，点()26A ，，()4,3B ，将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '交y 轴于点C ，BB '交x 轴于点D ．（1）线段A B ''可以由线段AB 经过怎样的平移得到？并写出A '，B '的坐标；（2）求四边形AA BB ''的面积；（3）P 为y 轴上的一动点（不与点C 重合），请探究PCA '∠与A DB ''∠的数量关系，给出结论并说明理由．【答案】（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位，(2,0)A '-，(0,3)B '-；（2）24；（3）见解析【详解】解：（1）点(2,6)A ，(4,3)B ， 又将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，∴线段A B ''是由线段AB 向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，(2,0)A ，(0,3)B '-．（2）11692232642422ABB A S ''=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=四边形．（3）连接AD ． (4,3)B ，(0,3)B '-，BB ∴'的中点坐标为(2,0)在x 轴上，(2,0)D ∴．)6(2,A ，//AD y ∴轴，同法可证(0,3)C ，OC OB ∴='，AO CB '⊥'，AC A B ∴'=''，同法可证，B A B D ''='，A DB DA B ∴∠'=∠''，ACBA B C ∠''=∠''， 当点P 在点C 的下方时，180PCA ACB ∠'+∠''=︒，90A B C DA B ∠''+∠''=︒，90180PCA A DB ∴∠'+︒-∠''=︒，'''90PCA A DB ∴∠-∠=︒，当点P 在点C 的上方时，'''90PCA A DB ∠+∠=︒．方法或规律点拨本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中点A 的坐标为()0,6，点B 的坐标为3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，若点B '的坐标为19,52⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A '落在直线y kx =上，则k 的值为（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．611- 【答案】B【详解】∵点B 的坐标为3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，且点B '的坐标为19,52⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴向左平移的距离为319()822---=， ∵点A 的坐标为()0,6，∴点A '的坐标为（-8,6），∵点A '落在直线y kx =，∴6= -8k ，解得k=34-， 故选：B. .2．（2021·全国九年级）如图，三角形ABC 沿AB 方向向右平移后到达三角形A 1B 1C 1的位置，BC 与A 1C 1相交于点O ，若∠C 的度数为x ，则∠A 1OC 的度数为（ ）A ．xB ．90°﹣xC ．180°﹣xD ．90°＋x【答案】C【详解】 解：∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移后到达三角形A 1B 1C 1的位置，BC 与A 1C 1相交于点O ， ∴∠C 1＝∠C ，11//BC B C ，∴∠COC 1＝∠C 1（两直线平行内错角相等），∴∠A 1OC ＝180°﹣x ，故选：C ．3．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将ABC ∆沿直线BC 方向平移2.5个单位得到DEF ∆，AC 与DE 相交于G 点，连接AD ，AE ，则下列结论：①AGD CGE ∆∆≌；②ADE ∆为等腰三角形；③AC 平分∠EAD ；④四边形AEFD 的面积为9．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【详解】解：由平移的性质得：AD ∥BE ，AD=BE=2.5，∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC= 5==∴CE=2.5，∴AD=CE ，∵AD ∥BE ，∴∠DAG=∠ECG ，在△AGD 和△CGE 中，DAG ECG AGD CGE AD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGD ≌△CGE （AAS ），∴①正确；∵∠BAC=90°，BE=CE ，∴AE=12BC=CE=2.5， ∴AE=AD ，∴△ADE 为等腰三角形，∴②正确；∵AE=CE ，∴∠EAC=∠ECG ，∵∠DAG=∠ECG ，∴∠EAC=∠DAG ，∴AC 平分∠EAD ，∴③正确；如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵△ABC 的面积=12BC•AH=12AB•AC ， ∴AH=AB AC BC⋅=125， ∴四边形AEFD 的面积=12（AD+EF ）×AH=12（2.5+5）×125=9， ∴④正确；正确的个数有4个，故选：D ．4．（2020·湛江市第二十二中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知()0,4A 、()6,0B 、()0,10C -，平移线段AB 至线段CD ，点Q 在四边形ACDB 内，满足:5:2QOC QOB S S ∆∆=，QCD QBD S S ∆∆=，则点Q 的坐标为________．【答案】128,77⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【详解】如图，设(),Q m n ，∵()0,4A ，()6,0B ，()0,10C -，∵平移线段AB 至线段CD ，∴10OC =，6OB =，14AC BD ==，∴()6,14D -， ∵1110522QOC Q S CQ x m m ∆=⋅=⨯= ()1114(6)42722QBD B Q S BD x x m m ∆=⋅-=⨯-=-， 116()322QOB Q S OB y n n ∆=⋅=⨯-=- ∵:5:2QOC QOB S S ∆∆=，∴5532m n =- ∴23n m =-，∴点2,3Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∵QCD QOC QBD QOB QBD OCDB S S S S S S ∆∆∆∆∆=---=梯形， ∴1(1014)653(427)(427)2m n m m +⨯-+--=- ∵23n m =-解之：12787m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点128,77Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．（2020·安徽阜阳市·八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点()4,0A -、()B 5,3--和()2,0E -，AB AC =，90BAC ∠=︒，将ABC 平移可得到DEF ，点A ，B ，C 的对应点分别为点D ，E ，F ．（1）求点C 的坐标．（2）求直线EF 与y 轴的交点坐标．【答案】（1）()1,1--；（2）()0,1．【详解】解：（1）如图，过点B 作BM x ⊥轴于点M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ，则90AMB CNA ∠=∠=︒，∴90ABM BAM ．∵90BAC ∠=︒，∴90CAN BAM ∠+∠=︒，∴ABM CAN ∠=∠．在ABM 和CAN △中，,,,AMB CNA ABM CAN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABM CAN ≅△△，∴AM CN =，BM AN =．∵()4,0A -，()B 5,3--．∴4OA =，3BM AN ==，5OM =，∴1CN AM OM OA ==-=，1ON OA AN =-=，∴点C 的坐标为()1,1--；（2）∵在平移过程中，点()B 5,3--对应点()2,0E -，点()1,1C --对应点F ，∴()2,2F ．设直线EF 的函数表达式为y kx b =+，则2022k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得0.5,1,k b =⎧⎨=⎩ ∴直线EF 的函数表达式为0.51y x =+．令0x =，则1y =，∴直线EF 与y 轴的交点坐标为()0,1．6．（2021·全国八年级）如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O 为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3（1）数轴上点A 表示的数为______．（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C ''''，移动后的长方形O A B C ''''与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S①设点A 的移动距离AA x '=．当4S =时，x =______．②当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，求数轴上点A '表示的数为多少．【答案】（1）4；（2）①83，②6或2 【详解】解：（1）1234OA BC ==÷=，故答案为：4；（2）当4S =时，①若正方形OABC 平移后得图2， 重叠部分中4433AO '=÷=，48433AA '=-=． 故答案为：83； ②当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，点A 向右或向左移动422÷=，因此点A '表示的数为426+=或422-=，故点A '所表示的数6或2．7．（2020·石家庄外国语教育集团八年级期末）如图，在77⨯网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）建立适当的平面直角坐标系，使点()3,4A ，则点C 的坐标为______；（2）将AOC △向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C 的坐标变为______；（3）若将AOC △的三个顶点的横纵坐标都乘以12，请画出11A OC △； （4）图中格点AOC △的面积是______；（5）在x 轴上有一点P ，使得PA PC +最小，请画出点P 的位置，并直接写出PA PC +的最小值是______．【答案】（1）()4,2；（2）()1,4-；（3）见解析；（4）5；（5．【详解】解：（1）如图，点C 的坐标()4,2；（2）将AOC △向左平移5个单位．向上平移2个单位，则点C 的坐标变为()1,4-．（3）如图，11A OC △为所作；（4）图中格点AOC △的面积111442142435222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（5）如图，点P 为所作，PA PC +的最小值PA PC AC ''=+===．8．（2020·山西大同市·七年级月考）如图，已知三角形,ABC 把三角形ABC 先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形'''A B C ．（1）在图中画出三角形'''A B C ，并写出',','A B C 的坐标；（2）连接,AO BO ，求三角形ABO 的面积；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形BCP 与三角形ABC 面积相等？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）画图见解析，()()0,41,,,1,1(3A B C '''-）；（2）72；（3）存在，()0,1P 或()0,5P - 【详解】解:()1如图所示，三角形'A B C ''即为所求 ()()0,41,,,1,1(3A B C '''-）；()2BDEF ABO ABD AEO BFO S S S S S =---长方形三角形三角形三角形三角形11133132123222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 72=； ()3设P （0，p ）∵△BCP 与△ABC 同底等高。
专题7.9 图形的平移(知识梳理与考点分类讲解)七年级数学下
专题7.9 图形的平移（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平移的定义定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点提醒：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．【知识点二】平移的性质性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形．要点提醒：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．（2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的．【知识点三】利用平移的性质作图平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”--定、找、移、连．（1）定：确定平移的方向和距离；（2）找：找出表示图形的关键点；（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；（4）连：按原图形顺次连接对应点．【考点目录】【考点1】生活中的平移现象；【考点2】图形的平移；（1）求种花草的面积；（2）若空白的部分种植花草共花费了【变式1】（2011下·广东惠州2．如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看着是由本图案”经过平移得到的是（A．．．．【变式2】（2023下·贵州铜仁．在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，A(1)把ABC 先向右移动5个单位长度，再向下移动111A B C △（其中点A 的对应点为1A ，点(2)连接1AA ，1BB ，判定1AA 与1BB 【变式1】（2022下·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）5．下列选项中，能由原图平移得到的是A ．．．．【变式2】（2023北京朝阳·七年级校考期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，DEF 先横向平移格，再纵向平移格，就能与ABC 拼合成一个四边形，那么 ．【考点3】通过平移的性质求值与证明；【例3】（2023下·全国·八年级假期作业）【变式1】（2023下·海南省直辖县级单位8．如图，将等边ABC 沿射线CA 2AD =，CF 10=，则BE 的长为（A ．4B ．【变式2】（2023下·全国·9．如图，将ABC 沿直线CBD ∠的度数为 ．【例4】（2023下·全国10．如图，线段AB ，BC 接AE ，B E ∠=∠．将线段(1)求证：AE BC ∥(2)若75E ∠=︒，A．6【变式2】（2023下·全国沿直线12．如图，将ABCBE的长是．【考点5】平移的性质应用；A．①②都正确B．①正确，D．①不正确，【变式2】（2023下·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）15．一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出计算出折线AC（即楼梯表面AJIHGFEDC1．（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案；（2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案．【详解】解：（1）()()8281-⨯-67=⨯42=（平方米）答：种花草的面积为42平方米；（2）462042110÷=（元）答：每平方米种植花草的费用是110元．【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算．2．C【分析】根据平移的性质：不改变物体的形状和大小，朝一个方向移动能够得到的图形．【详解】解：观察图形可知A ，D 选项的图形由旋转可得到，B 选项的图形由对折可得到；选项C 的图形是通过图形平移得到的，符合题意；∴选项A 、B 、D 图形不能通过平移得到，不符合题意．故选C【点睛】此题考查了图形的平移，平移只改变位置，不改变大小和性质，要注意与旋转和翻折的区别是解题的关键．3．12S S =【分析】设矩形花园的宽a ，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为AB ，宽为a 的长方形的面积．【详解】解：设矩形花园的宽a ，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为AB ，宽为a 的长方形的面积，∴12S S =，故答案为：12S S =．【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键．4．(1)见解析(2)11AA BB ，7（2）解：由平移可知，11AA BB ．111A B C △的面积为()1123522⨯+⨯-⨯5．C【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的性质即可求解，求解．【详解】解：只有C 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到．当DEF 平移到如图2所示的位置时，则此时33x y ==，，∴6x y +=；当DEF 平移到如图3所示的位置时，则此时41x y ==，，∴5x y +=；【解析】略13．①1470平方米；②1421平方米；③109米【分析】①结合图形，利用平移的性质求解；②结合图形，利用平移的性质求解；③结合图形，利用平移的性质求解．【详解】①将小路往左平移，直到E 、F 与A 、B 重合，则平移后的四边形11EFF E 是一个矩形，并且30EF AB ==，111FF EE ==，则草地的面积为：50301301470´-´=（平方米）；②将小路往AB 、AD 边平移，直到小路与草地的边重合，则草地的面积为：()()5013011421-⨯-=（平方米）；③将小路往AB 、AD 、DC 边平移，直到小路与草地的边重合，则所走的路线（图中虚线）长为：30503011101109++-=-=（米）．【点睛】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键．14．B【分析】根据平移的性质可得ABC DEF S S = ，AD EC ∥，AD BE =，即可得出结果．【详解】解：由平移可得：ABC DEF S S = ，∴ABC GEC DEF GEC S S S S -=- ，即ABEG CGDF S S =四边形四边形，故①正确；由平移的性质可得：AD EC ∥，AD BE =，故②错误，故选：B ．【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握把一个图形整体沿某一直线移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全一样是解题的关键．15．7dm【分析】楼梯长度的和等于楼梯的水平宽度与垂直高度的和．【详解】解：如下图，过点I ，G ，E 作MI BC ∥，NG BC ∥，ZE BC ∥交AB 于点M ，N ，Z ，过点I ，G ，E 作IX AB ∥，GY AB ∥，EP AB ∥交BC 于点X ，Y ，P ，由图可知：JI AM =，HG MN =，FE NZ =，CD ZB =，AJ BX =，HI XY =，GF YP =，ED PC =，∴折线()()347dm AC AJ IH GF ED JI HG EF DC =+++++++=+=，故答案为：7dm ．【点睛】此题主要考查了平移的知识，与实际生活相联系，熟练掌握平移的知识并灵活运用是解答本题的关键．。
图形的平移(8类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第01讲图形的平移(8类热点题型讲练)1．理解并掌握平移的定义及性质；2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图；3．能够根据平移的性质解决点的坐标平移变化问题．知识点01平移的概念平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。
注：平移=移动方向+移动距离知识点02平移的性质（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置（2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行（3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离知识点03平移作图平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来;③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形.题型01生活中的平移现象【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在下列实例中，属于平移过程的有（）①时针运行的过程；②电梯上升的过程；③地球自转的过程；④小汽车在平直的公路行驶．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了平移，运用平移的定义即可判断即可，解题的关键是熟记平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动．【详解】①时针运转过程，属于旋转；②电梯上升过程，属于平移；③地球自转过程，属于旋转；④火车直线行驶的过程，属于平移；则平移过程的有2个，故选：B．【变式训练】1．（2023下·河北沧州·七年级校考期中）下列现象是数学中的平移的是（）A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶B．秋天的树叶从树上随风飘落C．“北斗”卫星绕地球运动D．电风扇的叶片慢慢转动【答案】A【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断即可．【详解】解：A．汽车里的人随汽车在笔直的公路上行驶属于平移，故符合题意；B．秋天的树叶从树上随风飘落，既有平移也有旋转，故不符合题意；C．“北斗”卫星绕地球运动，属于旋转，故不符合题意；D．电风扇的叶片慢慢转动，属于旋转，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．2．（2023下·四川广元·七年级校联考期中）下面生活中的现象可以看成平移的是（）①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜A．①②B．③④C．②③D．②④【答案】C【分析】根据平移的定义，平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项进行判断即可．【详解】解：平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，生活中也很多物体存在平移现象，②水平传输带上物品的运动，③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）是平移，①转动的指针，④随风摆动的旗帜都改变了方向，不是平移，故选：C．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键．题型02图形的平移【例题】（2023下·湖南永州·七年级校考期中）由基本图形福娃“欢欢”，通过平移可以得到图（）A．B．C．D．【答案】C【分析】在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，据此即可求解．【详解】解：由平移的定义可知将左图中的福娃“欢欢”通过平移可得到图为第三个，∴C选项符合题意故选：C【点睛】本题考查平移的定义，掌握平移的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）下列每组图形中，左边的图形平移后可以得到右边图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平移的性质求解．【详解】解：A、选项中两个图形的大小不等，不符合题意；B、选项平移左边图形可以得到右边图形，符合题意；C、选项中两个图形的形状不同，不符合题意；D、选项中左边图形通过轴对称可得右边图形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握平移的定义和性质：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，称为平移，平移不改变物体的形状和大小．2．（2023下·福建福州·七年级统考期中）下列车标中哪一个可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的？（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平移的性质即逐个进行判断即可．【详解】解：“”可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移不改变图形的大小，形状，方向．题型03利用平移的性质求解【例题】（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，将等边ABC 沿射线CA 平移得到△FED ，点A 的对应点为F ，连接BE ，若2AD =，CF 10=，则BE 的长为（）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，关键是由平移的性质，得到BE AF CD ==，求出AF 的长．由平移的性质得到：FD AC FE AB ==，，BE AF CD ==，由210AD CF ==，，即可求出4AF =，得到4BE =．【详解】解：由平移的性质得到：FD AC FE AB ==，，BE AF CD ==，∵210AD CF ==，，∴210AF AD +=，∴4AF =，∴4BE =．故选：A ．【变式训练】1．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，将直角ABC 沿斜【答案】6【分析】本题主要考查了平移，线段的和差，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质，线段和差的计算．根据平移性质得到10BC EF ==，结合BG 【详解】解： DEF 的是直角三角形∴10BC EF ==，4BG =，【答案】42【分析】根据平移的性质得EDWF S S S +=阴影部分梯形【详解】解： 直角梯形新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．题型04网格中平移作图(1)在给定方格纸中画出平移后的(2)画出AB边上的中线CD及高线(3)在上述平移中，边BC所扫过的面积为【答案】(1)见解析(2)见解析(3)31【分析】本题考查作图﹣平移变换，三角形的高，中线，平行四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质．（1）利用平移变换的性质分别作出，即为所求．（2）解：如图，线段CD CE(1)把ABC 先向右移动5个单位长度，再向下移动对应点为1A ，点B 的对应点为(2)连接1AA ，1BB ，判定1AA 与【答案】(1)见解析(2)11AA BB ，7【分析】本题考查作图—平移变换、三角形的面积：（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据平移的性质可知1AA 【详解】（1）解：如图，1A B △（2）解：由平移可知，AA 111A B C △的面积为(1232⨯+2．（2023下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）的三个顶点的位置如图所示，F ．(1)画出平移后的DEF （保留作图痕迹）；(2)线段BE 、CF 之间位置及数量关系是__________；(3)过点A 作BC 的平行线1l ．【答案】(1)见解析(2)平行且相等；(3)见解析【分析】（1）由点A 和点D 的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B ，C 点平移后的对应点E ，F ，最后顺次连接D ，E ，F 三点即可；（2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出BE CF ∥，BE CF =；（3）根据点B 平移到点A 是上移4个单元格，右移2个单元格，可得点C 向上平移得到的对应点C '，连接AC '并延长，即可得到1l ．【详解】（1）解：如图，DEF 即为所作；；（2）解：如图，由平移的性质即可得出BE CF ∥，BE CF =．故答案为：平行且相等；（3）解：1l 如图所示．【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．题型05利用平移解决实际问题【答案】4256【分析】利用平移的思想，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，剩下的仍是一个矩形，长为(804)-米，宽为(604)-米，再利用矩形面积公式即可求出种植花草的面积．【详解】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积()()8046044256=--=（平方米）．故答案为：4256．【点睛】本题考查了图形的平移的性质，利用平移的思想得出新矩形是解题的关键．【变式训练】【答案】9630【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，地毯的钱数可求.利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，米，地毯的面积为9218⨯=平方米故答案为：（ab-a）．【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．题型06求点沿x轴，y轴平移后的坐标故答案为：()02-，，()31-，，()56，．【点睛】本题考查了平移与坐标与图形的变化的关系，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．题型07已知图形的平移，求点的坐标【答案】(3,2)【分析】根据点A 和点D 的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可计算出点【详解】解：由题可知(1,1)A -平移后得到点∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移【答案】()21-，【分析】先求出点D 的坐标，【答案】(2,6)【分析】先根据A 、C 两点确定出平移规律，再根据此规律解答．【详解】解：(4,0)A 、(6,3)C ∴平移规律为向右平移2个单位，向上平移022∴+=，336+=，∴点D 的坐标为(2,6)．故答案为：(2,6)．【答案】()1,3【分析】先根据点A 和对应点C 的坐标得到平移的规律为：向右平移2个单位，再向上平移1个单位，同步进行的是，点B 向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点D ．根据此平移规律推断点B 的坐标．【详解】解：∵线段CD 是由线段AB 平移得到的，∴点()2,1A 平移的对应点为()4,2C ，点B 平移的对应点为()3,4D ，∵点C 是点A 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，∴点D 也是点B 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，∴把点()3,4D 向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点B 的坐标，∴点B 的坐标是()1,3，故答案为：()1,3．【点睛】本题考查了坐标与图形变化一平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，熟练掌握此规律是解题的关键．题型08平面直角坐标系中平移作图【例题】（2023上·重庆开州·八年级校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，三角形ABC 的三个顶点分别是()()()1,4,4,1,1,1A B C ---，点A 经过平移后对应点为()14,7A ，将三角形作同样的平移得到三角形111A B C ．(1)平移后的另外两个顶点坐标分别为：1B （，），1C （，）．①点(),P a b 经过上述平移后的对应点故答案为：()5,3a b ++；②三角形ABC 扫过的面积55S =⨯-【点睛】本题主要考查了平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方式确定对应点后，再顺次连接对应点，即可得到平移后的图形，能够根据平移前后点的坐标的变化，得出平移的方式是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级嘉积中学校考期末）如图，直角坐标系中，ABC 的顶点都在网格上，其中C 点坐标为()1,2．(1)写出点A B 、的坐标：A （______，______）、B （______，______）；(2)将ABC 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到A B C ''' ，请画出平移后的A B C ''' ；(3)求ABC 的面积；(4)在x 轴正半轴上是否存在点P ，使PBC ABC S S =△△．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2，1-，4，3(2)见解析(3)5(4)存在，点P 的坐标为(5,0)，理由见详解【分析】（1）根据平面直角坐标系中图形与坐标的特点即可求解；（2）根据图形平移的规律即可求解；（3）运用“割补法”求不规则图形的面积即可；（4）设(,0)P a ，用含a 的式子表示PBC S 的面积，由此即可求解．【详解】（1）解：根据图示，点A 的坐标为(2,1)-，点B 的坐标为(4,3)，故答案为：2，1-，4，3．（2）解：将ABC 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，如图所示，∴A B C ''' 即为所求图形．（3）解：如图所示，将ABC 补成梯形CDEB ，∴3CD =，4BE =，1AD =∴()(32CD BE DE S ++== 梯形∴ABC ACD CDEB S S S S =--△△梯形（4）解：存在，点P 的坐标为由（3）可知，5ABC S = ，在x 轴正半轴上点∴2CM =，3BN =，3MN =，∴()2CMNB CM BN MN S +== 梯形112(1)22CMP S PM CM a ==⨯- △∴PBC BNP CMNB S S S S =+-△△△梯形∵5PBC ABC S S ==△△，一、单选题1．（2024上·黑龙江绥化·七年级校考期末）下列运动属于平移的是（）A．荡秋千B．地球绕着太阳转C．风筝在空中随风飘动D．急刹车时，汽车在地面上的滑动【答案】D【分析】此题考查的是平移的判断，掌握平移的定义是解决此题的关键．根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，逐一判断即可．【详解】A．荡秋千不属于平移，故本选项不符合题意；B．地球绕着太阳转不属于平移，故本选项不符合题意；C．风筝在空中随风飘动不属于平移，故本选项不符合题意；D．急刹车时，汽车在地面上的滑动属于平移，故本选项符合题意；故选D．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图为2023年杭州亚运会吉祥物宸宸，下列图案中，是通过该图平移得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了平移，即“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”．根据平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小进行判断，即可得到答案．【详解】解：由已知图形可知，只有b选项图形可以通过平移得到，故选：B．3．（2024上·福建泉州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知()()2003A B -，，，，将线段AB 平移后得到线段CD ，点A 、B 的对应点分别是点C 、D ．若点D 的坐标为()40，，则点C 的坐标为（）．A ．()22-，B ．()23-，C ．()12-，D ．()13-，【答案】B【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握平移变换的规律是解题的关键．先通过点B 的对应点为D ，进而确定平移方式，然后利用平移变换的规律即可解答．【详解】解：∵()03B ，，()40D ，，∴点()03B ，向右平移4个单位，向下平移3个单位得点()40D ，，∴点()20A -，向右平移4个单位，向下平移3个单位得点()2,3C -．故选：B ．4．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，将ABC 沿BC 所在直线向右平移得到DEF ，则下列说法错误的是（）A ．ABC DEF≌△△B ．AC DE ⊥C ．AB ED∥D ． BE CF=【答案】B 【分析】本题考查了平移和三角形全等的性质，由平移的性质得到ABC DEF ≌△△，由三角形全等的性质得B DEF ∠=∠和BC EF =，即可得到答案．【详解】解：A 、ABC 沿BC 所在直线向右平移得到DEF ，由平移性质得ABC DEF ≌△△，此选项正确，不符合题意；B 、AC DE ⊥无法证明是否正确，此选项错误，故本选项符合题意；C 、由ABC DEF ≌△△得B DEF ∠=∠，则AB DE ∥成立，此选项正确，不符合题意；D 、由ABC DEF ≌△△得BC EF =，则BE CF =成立，此选项正确，不符合题意；故选：B ．5．（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，在锐角ABC 中，60BAC ∠=︒，将ABC 沿着射线BC 方向平移得到A B C ''' （平移后点A ，B ，C 的对应点分别是点A '，B '，C '），连接CA '，若在整个平移过程中，ACA ∠'和CA B ''∠的度数之间存在2倍关系，则ACA ∠'不可能的值为（）∵A B C ''' 由ABC 平移得到，AB A B ∴''∥，∵CG AB ∥，，CG A B ''∴∥，同理可得CG A B ''∥，60ACG BAC ∴∠=∠=︒①当2AC B A CA ''∠'∠=时，设CA B x ''∠=，则2AC x A '∠=，∴A CG CA B x '''∠=∠=，ACG ACA A CG ''∠=∠-∠ ，260x x ∴-=︒，解得：60x =︒，2120ACA x '∴∠==︒；②由于A AC B A C ''∠'∠>，则2CA B ACA ''∠='∠这种情况不存在；综上所述，ACA ∠'的度数可以为20度或40度或120度，故选：C ．二、填空题【答案】77︒/77度【分析】本题考查图形平移的性质，全等三角形的性质和三角形内角和为题．【详解】解：由平移性质可知：ABC DEF ≌△△，【答案】5【分析】本题主要考查平移的性质，然后根据三角形的周长及四边形的周长可进行求解．【详解】解：由平移可知：∵12AB AC BC ++=，【答案】12【分析】本题考查的知识点是平移的性质，题得，向右平移2即B C '边形ABCD 和四边形'A B【答案】（0，2）或（－【解析】略三、解答题11．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，将网格中的图形平移，使点A移到点A'处．(1)指出平移的方向和平移的距离；(2)画出平移后的图形．【答案】(1)平移的方向是点A到点A'的方向，平移的距离是线段AA'的长度(2)见解析【详解】解：（1）如图，连接AA'，平移的方向是点A到点A'的方向，平移的距离是线段AA'的长度．（2）如图，该图形即为所求．的顶点都在网格点上．12．（2024上·安徽亳州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC(1)将ABC 向下平移5个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到111A B C △，请画出111A B C △；(2)若ABC 和222A B C △关于x 轴对称，请画出222A B C △．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）将ABC 的三个顶点A 、B 、C 分别向下平移5个单位，再向左平移5个单位，得到1A 、1B 、1C ，再顺次连接1A 、1B 、1C 即可得到111A B C △；（2）分别作ABC 三个顶点A 、B 、C 关于x 轴的对称点2A 、2B 、2C ，再顺次连接2A 、2B 、2C 即可得到222A B C △．本题主要考查了平面直角坐标系当中的图形变换：平移变换和轴对称变换，正确的找到变换后的对应点是解题的关键．【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求．（2）如图所示，222A B C △即为所求．13．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，将方格纸中的ABC 向上平移4个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到111A B C △．(1)画出平移后的图形；(2)线段11AA BB ，的关系是；(3)如果每个方格的边长是1，那么【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)4（2）1111AA BB AA BB =∥，；故答案为：平行且相等．（3）ABC 的面积133312=⨯-⨯⨯-故答案为4．14．（2024上·福建泉州·九年级统考期末）沿BC 方移a 个单位得到Rt DEF △．(1)求点C 到AB 的距离；(2)连接AD AE ，，当AD AE =时，求a 【答案】(1)6013(2)16.9a =【分析】本题主要考查了勾股定理，平移规律：（1）先设点C 到AB 的距离为h ，利用勾股定理求出h 即可；（2）先根据平移规律求出BE ，从而求出∵AD AE a ==，∴在ACE △中，222AC CE AE +=，即()222125a a +-=，化简得：221441025a a a +-+=，移项得：10169a =，解得：16.9a =．15．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考开学考试）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为()43a b +米，宽为()23a b +米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b 米的通道．(1)剩余草坪的面积是多少平方米？(2)若修两竖一横，宽度均为b 米的通道（如图2），已知2a b =，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？【答案】(1)()228124a ab b ++平方米(2)2米【分析】（1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式计算即可．（2）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式求得剩余草坪的面积，再根据2a b =，剩余草坪的面积是216平方米，列出方程求解即可．【详解】（1）解：()()2433a b b a b b +--+()()4222b a b a ++=228124a ab b =++，即剩余草坪的面积是()228124a ab b ++平方米（2）解：()()42332a b b a b b -++-()()242a b a b +=+228102a ab b =++，∵2a b =，剩余草坪的面积是216平方米，∴()22682110222b b b b ⨯⨯=++，即254216b =，解得：2b =（负值舍去），即通道的宽度是2米．【点睛】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键．16．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在810⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC 的顶点均在小正方形的顶点上．(1)把ABC 先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到111A B C △，画出111A B C △（其中点A 的对应点为1A ，点B 的对应点为1B ，点C 的对应点为1C ）；(2)连接1AA ，1BB ，判定1AA 与1BB 的位置关系，并写出111A B C △的面积．【答案】(1)见解析(2)11AA BB ，7【分析】本题考查作图—平移变换、三角形的面积：（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据平移的性质可知11AA BB ；利用割补法求三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求．（2）解：由平移可知，11AA BB ．(1)如图1，在55⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB 向右平移，①线段AB 平移的距离是________；②四边形ABB A ''的面积是________；(2)如图2，在55⨯的网格中，将ABC 向右平移3个单位长度得到A B ' ③画出平移后的A B C ''' ；④由图形知，BB '=(1)求点A ，B 的坐标；(2)如图1，平移线段AB 至EF ，使点A 的对应点E 落在y 轴正半轴上，的坐标；(3)如图2，平移线段AB 至EF ，点A 的对应点E 的坐标为(3,6)，EF 与坐标．【答案】(1)(1,5)A -，(5,0)B -(2)(0,)134E (3)9(0,)4H(1,5)A - ，E 横坐标为0，则A 到E 向右平移了1个单位，(5,0)B -设(4,)F n -，6ANB BMF ANMF S S S ∆∆∴--=梯形，∴111(14)(5)451()6222n n +⨯--⨯⨯-⨯⨯-=，∴74n =-，∴(4,)47F --，(3,1)Q ∴，EQ FQ ⊥，145102EFQ S ∆∴=⨯⨯=，∴设HK n =，∴111(5)31022n n ⨯⨯+⨯+⨯=，解得：54n =，。
图形的平移专项提升训练(重难点培优)-【拔尖特训】七年级数学下册尖子生培优必刷题(解析版)【苏科版】
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题7.3图形的平移专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•启东市期中）下列生活现象中，属于平移的是（）A．升降电梯的上下移动B．荡秋千运动C．把打开的课本合上D．钟摆的摆动【分析】根据平移的性质，即可解答．【解答】解：A、升降电梯的运动，属于平移现象，故A符合题意；B、荡秋千运动，不属于平移现象，故B不符合题意；C、把打开的课本合上，不属于平移现象，故B不符合题意；D、钟摆的摆动，不属于平移现象，故D不符合题意；故选：A．2．（2022春•仓山区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D间的距离为2，CE＝4，则BF＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．【解答】解：∵将△ABC沿CB方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，∴BE＝CF＝2，∵CE＝4，∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+4＝8，故选：C．3．（2022春•增城区期中）下列A、B、C、D四幅图案中，不能通过平移图案得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．【解答】解：观察图形可知，B图案不能通过平移图案得到．故选：B．4．（2022春•碑林区校级月考）如图，Rt△ABC沿直角边AB所在的直线向下平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的（）A．∠DEF＝90°B．.AD＝BD C．.AD＝BE D．.S1＝S2【分析】根据平移的性质逐一判断即可．【解答】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，∴S四边形ADHC＝S四边形BEFH，故选：B．5．（2021秋•雁峰区期末）如图，将△ABC沿BC方向向右平移到△A′B′C′的位置，连接AA′．已知△ABC的周长为22cm，四边形ABC′A′的周长为34cm．则这次平移的平移距离为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【分析】由题意可得平移的距离为：AA'＝CC'，由平移的性质得AC＝A'C'，再利用已知的周长即可求解．【解答】解：由题意得：平移的距离为AA’或CC'的长度，且AA'＝CC'，∵将△ABC沿BC方向向右平移到△A'B'C'的位置，∴AC＝A'C'，∵△ABC的周长为22cm，四边形ABC'A'的周长为34cm，∴AB+BC+AC＝22cm，AB+BC+CC′+A′C′+AA′＝34cm，∴AB+BC+CC′+AC+AA′＝34cm，则2AA′＝12cm，解得：AA'＝6cm，故选：A．6．（2022秋•南溪区期中）小芳和小亮在手工课上各自制作楼梯模型，如图，则他们所用的周长（）A．亮亮的长B．小芳的长C．一样长D．不确定【分析】利用平移的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由平移得：小芳制作楼梯模型的周长＝2×（5+8）＝2×13＝26（cm），小亮制作楼梯模型的周长＝2×（5+8）＝2×13＝26（cm），所以，他们所用的周长一样长，故选：C．7．（2021秋•黔东南州期末）一个木匠想用一根40米长的木条来围花圃，他考虑用下列一种花圃设计，以下设计不能用40米长的木条围出来的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质以及直角三角形的边长关系逐项进行判断即可．【解答】解：A．通过平移可将选项A中的图形周长转化为长为12米，宽为8米的长方形的周长，因此选项A不符合题意；B．如图过点A作AC⊥BC于C，则AC＝8米，AB＞AC，所以这个平行四边形的周长要大于40米，因此选项B符合题意；C．这个长方形的周长为（12+8）×2＝40米，因此选项C不符合题意；D．通过平移可将选项D中的图形周长转化为长为12米，宽为8米的长方形的周长，因此选项D不符合题意；故选：B．8．（2022秋•东莞市期中）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第15个图案中，小菱形的个数是（）A．238 B．450 C．470 D．550【分析】认真审题，根据第（1）（2）（3）个图形所含有的小菱形的个数可以得到规律，即第（n）个图形含有小菱形2n2个，再将n＝8代入，即可得解．【解答】解：第（1）个图形小菱形的个数是：2＝2×1＝2×12；第（2）个图形小菱形的个数是：8＝2×4＝2×22；第（3）个图形小菱形的个数是：18＝2×9＝2×32；…第n个图形小菱形的个数是2n2，∴第15个图形含有小菱形的个数为：2×152＝450（个），故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2021秋•奉贤区期末）已知线段AB的长为6厘米，将它向左平移2厘米，点A平移到A'，点B平移到B'，得到线段A'B'，那么线段BB'＝2厘米．【分析】根据对应点的连线的长等于平移的距离直接写出答案即可．【解答】解：∵线段AB的长为6厘米，将它向左平移2厘米，点A平移到A'，点B平移到B'，得到线段A'B'，∴BB'＝AA′＝平移的距离＝2厘米，故答案为：2．10．（2022秋•五峰县期中）如图，已知在△ABC中，BC＝5，将△ABC向右平移2个单位得到△DEF，则线段EC＝3．【分析】根据平移的性质得EF＝BC＝5，BE＝CF＝2，从而可得线段EC的长．【解答】解：∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF，∴EF＝BC＝5，BE＝CF＝2，∴EC＝EF﹣CF＝5﹣2＝3．故答案为：3．11．（2022秋•姜堰区期中）如图，△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，则CC'＝ 1.2cm．【分析】根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC经过平移得到△A'B'C'，连接BB'、CC'，BB'＝1.2cm，∴CC'＝BB′＝1.2cm，故答案为：1.2．12．（2022春•云阳县校级月考）如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪．则草坪的面积为242平方米．【分析】通过平移可得，草坪可以看作长为（24﹣2）米，宽为（13﹣2）米的矩形，再根据矩形的面积计算即可．【解答】解：草坪的面积为：（24﹣2）×（13﹣2）＝242（平方米）．故答案为：242平方米．13．（2022春•曲阳县期中）如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的是①②③．（填序号）①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为．【分析】根据平移的性质、梯形的面积公式计算，判断即可．【解答】解：由平移的性质可知，AC∥DF，DE＝AB＝8，EF＝BC，∴HE＝8﹣3＝5，CF＝BE＝5，∴①②③结论正确，S阴影部分＝（5+8）×5＝，∴④结论错误，故答案为：①②③．14．（2022春•东莞市校级期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯8米．【分析】根据平移可得地毯的长为2.7+5.3即可．【解答】解：由平移的性质可知，所需要的地毯的长度为2.7+5.3＝8（m），故答案为：8．15．（2022•南京模拟）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为300m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为150m．【分析】根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和．【解答】解：由平移的性质得，小桥总长＝长方形周长的一半，∵300÷2＝150（m），∴小桥总长为150m．故答案为：150．16．（2022春•孝义市期末）如图是一块长方形的场地ABCD，AB＝18m，AD＝11m，从A，B两处入口的小路的宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为160平方米．。
图形的平移知识点及培优训练
__________________________________________________图形的旋转一、知识要点1.旋转在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
旋转不改变图形的大小和形状。
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。
在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。
因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。
例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的置。
2．旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等；（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。
二、巩固练习1. 如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。
在这个旋转过程中（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移到什么位置？（3）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？（4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？DFEOABC2.，试把ΔADE°，__________________________________________________观察整个图形中角与角之间，线段与线段之间，存在哪些相等的关系？探索21M FDCABE4.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。
故此若将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________5.下列关于旋转和平移的说法正确的是（）A旋转使图形的形状发生改变B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D对应点到旋转中心距离相等6.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转中心为______点，旋转角度依次为________，________，________。
第03讲 图形的平移(5大考点+5种题型+强化训练)(解析版)
第03讲图形的平移1、通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
2、利用平移设计图案，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
3、经历探索平移基本性质的过程，发展空间观念，增强审美意识。
一．平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等．二．生活中的平移现象1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．三．平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．四．作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．五．利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．一．平行线之间的距离（共3小题）1．（2023春•海港区校级期中）直线a、b、c是三条平行直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离为( )A．2厘米B．3厘米C．7厘米D．3厘米或7厘米【分析】根据a、b、c这三条平行直线的位置不同，结合两平行线间的距离的定义，得出结果．【解答】解：分两种情况：①当直线b在直线a与c之间时，如图．+=厘米；a与c的距离为527②当直线c在直线a与b之间时，如图．-=厘米．a与c的距离为523故选：D．【点评】本题考查了两平行线间的距离的求法．得出a、b、c这三条平行直线的不同位置关系是解决此题的关键．2．（2023春•秦皇岛期末）如图，直线//AB CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，D的面积( )PCDA．向左移动变小B．向右移动变小C．始终不变D．无法确定【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变．【解答】解：Q直线//AB CD，点P是直线AB上一个动点，\无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，\D的底不变，高不变，面积也不变，PCD故选：C．【点评】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．3．（2021春•宁德期末）如图，MN AB^，垂足为^，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG CDEF AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是 点M 到 的距离，线段G，EF过点N点，且//MN的长度是 到 的距离，又是 的距离，点N到直线MG的距离是 ．【分析】点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，根据这一定义结合图形进行填空即可．【解答】解：线段GM的长度是点M到直线CD的距离；线段MN的长度是点M到直线EF的距离，又是平行线AB、EF间的距离；点N到直线MG的距离是线段GN的长度．【点评】正确理解点到直线的距离的定义是解决此类问题的关键．二．生活中的平移现象（共4小题）4．（2023春•天宁区校级期中）下列现象属于平移的是( )A．下雨天雨刮刮车玻璃B．每天早上打开教室门C．每天早上打开教室窗户D．荡秋千【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置解答即可．【解答】解：A．下雨天雨刮刮车玻璃是旋转现象，故不符合题意；B．每天早上打开教室门是旋转现象，故不符合题意；C ．每天早上打开教室窗户是平移现象，符合题意；D ．荡秋千是旋转现象，故不符合题意．故选：C ．【点评】此题考查了平移的定义，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，只改变位置是解答本题的关键．5．（2023春•连云区校级月考）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据平移的性质，即可解答．【解答】解：如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形．故选：D ．【点评】本题考查平移的性质，掌握平移不改变图形的大小形状，只改变位置是解决问题的关键．6．（2023春•启东市期末）“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是( )A ．B ．C ．D ．【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可．【解答】解：C 选项中的图：通过平移能与上面的图形重合．故选：C ．【点评】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．7．（2023春•盱眙县期末）如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是( )平方米．A ．50B ．55C ．40D ．44【分析】根据平移的性质，将草地面积转化为长为10米，宽为5米的长方形面积即可．【解答】解：根据平移的性质可知，草地可以看作长为11110-=米，宽为5米的长方形，因此面积为10550´=（平方米），故选：A ．【点评】本题生活中的平移现象，理解平移的定义，掌握平移的性质是中正确解答的前提．三．平移的性质（共6小题）8．（2023春•建邺区期中）如图，ABC D 沿着直线BC 向右平移得到DEF D ，则①BE CF =；②//AB DE ；③AG DG =；④ACB DFE Ð=Ð，其中结论正确的是( )A ．①②B ．①②④C ．②④D ．①③④【分析】根据平移后两个三角形全等，逐一进行判断即可．【解答】解：ABC D Q 沿着直线BC 向右平移得到DEF D ，ABC DEF \D @D ，BC EF \=，B DEF Ð=Ð，ACE DFE Ð=Ð，BC CE EF CE \-=-，//AB DE ，BE FC \=，故①②④正确，条件不足，无法得到AG DG =，故③错误．故选：B ．【点评】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握平移后的两个三角形全等，是解题的关键．9．（2023春•兴化市月考）如图，4AB cm =，5BC cm =，2AC cm =，将ABC D 沿BC 方向平移a (05)cm a <<，得到DEF D ，连接AD ，则阴影部分的周长为 11 cm ．【分析】根据平移的性质得到4DE AB cm ==，AD BE a ==cm ，根据周长公式计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知：4DE AB cm ==，AD BE a ==cm ，(5)EC a cm \=-，\阴影部分的周长(5)2411()AD EC AC DE a a cm =+++=+-++=，故答案为：11．【点评】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．10．（2023春•丹阳市校级期末）如图，将直角ABC D 沿AC 的方向平移得到直角DEF D ，DE 交BC 于点G ．若6AB cm =，2EG cm =，3BG cm =，则图中阴影部分的面积等于( )A ．212cmB ．215cmC ．224cmD ．230cm 【分析】根据平移的性质得出6AB DE cm ==，进而得到4DG cm =，由GEFC ABGD S S =梯形梯形进行计算即可．【解答】解：由平移的性质可知，6AB DE cm ==，2EG cm =，3BG cm =，624()DG cm \=-=，()()21463152GEFC ABGD S S cm \==´+´=梯形梯形，故选：B ．【点评】本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确解答的前提．11．（2023春•梁溪区校级期中）如图，将周长为8的ABC D 沿BC 方向向右平移2个单位长度得到DEF D ，则四边形ABFD 的周长为( )A．10B．12C．14D．16【分析】根据平移的性质可得DF AC==，然后求出四边形ABFD的周长等于ABCD的周长=、2AD CF与AD、CF的和，再求解即可．D，【解答】解：ABCDQ沿BC方向平移2个单位长度得到DEFAD CF==，\=，2DF AC=+++\四边形ABFD的周长AB BF DF AD=++++AB BC CF AC AD++ABC=D的周长AD CF=++822=．12故选：B．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．D的位置，点A、B、C 12．（2023春•洪泽区期中）如图，将ABCD沿射线AB的方向平移2个单位到DEF的对应点分别点D、E、F．（1）若3AB=，则AE= 5 ．（2）若75Ð的度数．ABCÐ=°，求CFE【分析】（1）直接平移的性质得出BE的长进而得出答案；（2）利用平移的性质进而得出CFEÐ的度数．D的位置，【解答】解：（1）3AB=D沿射线AB的方向平移2个单位到DEFQ，将ABC\=，BE2则5=+=．AE BE AB故答案为：5；（2）Q由平移变换的性质得：//AE CF，BC EF，//\Ð=Ð=°，75E ABC\Ð+Ð=°，180CFE E\Ð=°．CFE105【点评】此题主要考查了平移变换，正确应用平移的性质是解题关键．13．（2023春•如东县期中）如图，直线//AB CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，EHD a aÐ=°<<°．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线(090)AB、CD上，且在点G、H的右侧，90PMNÐ=°．Ð=°，60P（1）填空：PNB PMDÐ（填“>”“<”或“=”)；Ð+Ð = P（2）若MNGÐ的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当//PM EF时，求a的度数；NO EF，//②小安将三角板PMN保持//Ð的度数（用含a的式子表示）．PM EF并向左平移，在平移的过程中求MONÐ=Ð，进而可求解；【分析】（1）过P点作//Ð=Ð，PMD QPMPQ AB，根据平行线的性质可得PNB NPQ（2）①由平行线的性质可得60Ð=Ð=°，再ANO ONMÐ=Ð=°，结合角平分线的定义可得60ONM PMN利用平行线的性质可求解；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．【解答】解：（1）过P点作//PQ AB，\Ð=Ð，PNB NPQ//Q，AB CD\，//PQ CDPMD QPM \Ð=Ð，PNB PMD NPQ QPM MPN \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，故答案为：=（2）①//NO EF Q ，//PM EF ，//NO PM \，ONM NMP \Ð=Ð，60PMN Ð=°Q ，60ONM PMN \Ð=Ð=°，NO Q 平分MNO Ð，60ANO ONM \Ð=Ð=°，//AB CD Q ，60NOM ANO \Ð=Ð=°，60NOM a \=Ð=°；②点N 在G 的右侧时，如图②，//PM EF Q ，EHD a Ð=，PMD a \Ð=，60NMD a \Ð=°+，//AB CD Q ，60ANM NMD a \Ð=Ð=°+，NO Q 平分ANM Ð，113022ANO ANM a \Ð=Ð=°+，//AB CD Q ，1302MON ANO a \Ð=Ð=°+，点N 在G 的左侧时，如图，//PM EF Q ，EHD a Ð=，PMD a \Ð=，60NMD a \Ð=°+，//AB CD Q ，180BNM NMO \Ð+Ð=°，BNO MON Ð=Ð，NO Q 平分MNG Ð，11[180(60)]6022BNO a a \Ð=°-°+=°-，1602MON a \Ð=°-，综上所述，MON Ð的度数为1302a °+或1602a °-．综上所述，MON Ð的度数为1302a °+或1602a °-．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．四．作图-平移变换（共6小题）14．（2023春•高港区月考）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将ABC D 向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A B C ¢¢¢；（2）利用网格在图中画出ABC D 的中线CD ，高线AE ；（3）△A B C ¢¢¢的面积为 8 ；（4）在平移过程中线段BC 所扫过的面积为 ；（5）在图中能使ABC PBC S S D D =的格点P 的个数有 个（点P 异于)A ．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A B C ¢¢¢即可；（2）根据格点的特点ABC D 的中线CD ，高线AE 即可；（3）利用三角形的面积公式即可得出结论；（4）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；（5）过点A 作直线BC 的平行线，此直线与格点的交点即为P 点．【解答】解：（1）如图，△A B C ¢¢¢即为所求；（2）如图，中线CD ，高线AE 即为所求；（3）14482A B C S ¢¢¢=´´=V ．故答案为：8；（4）线段BC 所扫过的面积4832=´=．故答案为：32；（5）如图，共有9个点．故答案为：9．【点评】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．（2023春•工业园区校级月考）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，ABC D 的三个顶点均在“格点”处．（1）在给定方格纸中，平移ABC D ，使点B 与点B ¢对应，请画出平移后的△A B C ¢¢¢；（2）线段AA ¢与线段CC ¢的关系是 平行且相等 ；（3）求平移过程中，线段BC 扫过的面积．【分析】（1）分别作出各点的对应点，再顺次连接即可；（2）根据图形平移的性质即可而出结论；（3）根据平行四边形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）如图，△A B C ¢¢¢即为所求；（2）线段AA ¢与线段CC ¢平行且相等．故答案为：平行且相等；（3）线段BC 扫过的面积5315BCC B S ¢¢==´=平行四边形．【点评】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．16．（2023春•崇川区校级月考）按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O 及ABC D 的顶点都在格点上．（1）点A 的坐标为 (4,2)- ．（2）将ABC D 先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△111A B C ，画出△111A B C ．（3）计算△111A B C 的面积．【分析】（1）根据点A 的位置写出坐标即可．（2）根据平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可．（3）利用分割法求面积即可．【解答】解：（1）如图，(4,2)A -．故答案为：(4,2)-．（2）如图，△111A B C 即为所求作．（3）11111134132314 5.5222A B C S =´-´´-´´-´´=V ．【点评】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．17．（2023春•江阴市校级月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，ABC D 经过平移后得到△A B C ¢¢¢，图中标出了点B 的对应点B ¢．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题：（1）画出△A B C ¢¢¢；（2）画出ABCD的高BD；（3）求ABCD的面积为 7.5 ；D的面积和ABC（4）在AB的右侧确定格点Q，使ABQD的面积相等，这样的Q点有 个．【分析】（1）根据题意分别作出A，B，C的对应点A¢，B¢，C¢即可；（2）根据格点垂直画法画出高即可；（3）利用分割法求解即可；（4）找出C关于AB对称的对应点Q，利用等高模型解决问题即可．5【解答】解：（1）如图1，根据题意，向下平移一格，再向左平移6格；（2）如图2，线段BD即为所求；（3）如图3，ABC ACN BCN S S S D D D \=+，11313422=´´+´´，1.56=+，7.5=；故答案为：7.5．（4）如图4，找出C 关于AB 对称的对应点5Q ，过5Q 作AB 平行线，与格点的交点即为所求；+故答案为：8．【点评】此题考查了作图-平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．18．（2023春•天宁区校级期中）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为x （向右为正，向左为负，平移||x 个单位），沿竖直方向平移的数量为y （向上为正，向下为负，平移||y 个单位），则把有序数对(,)x y 叫做这一平移的“平移量”．如图，已知ABC D ，点A 按“平移量” (2,3)可平移到点B ．（1）填空，点B 可看作点C 位“平移量” ( 2- ， )平移得到．（2）若将ABC D 依次按“平移量” (1,1)-平移得到△A B C ¢¢¢，请在图中画出△A B C ¢¢¢．（3）将点A 按“平移量“(,)a b 平移得到点D （点D 在直线BC 上），使32ABD ABC S S D D =写出此时的平移量(,)a b ．D的面积与ABCa b平移得到点P，连接AP、BP，若ABP（4）将点C按平移量”(,)D的面积相等，写出a、b满足的关系式．【分析】（1）根据“平移量”（的定义判断即可；（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A¢，B¢，C¢即可；（3）判断出点D的位置，可得结论；（4）取格点T，作直线CT，当点P在直线CT上时，满足条件．【解答】解：（1）点B可看作点C位“平移量”(2,2)-平移得到．-，2；故答案为：2（2）如图，△A B C¢¢¢即为所求；（3）如图点D或D¢即为所求，-或(5,0)；\平移量(1,6)（4）取格点T ，作直线CT ，当点P 在直线CT 上时，满足条件，此时23a b =．当点P 在AB 的上方直线l 上时，也满足条件，此时2223a b --=-．【点评】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（2023春•泗洪县期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，ABC D 经过平移后得到△A B C ¢¢¢¢，图中标出了点B 的对应点B ¢．（1）画出△A B C ¢¢¢；（2）连接AA ¢、CC ¢，那么AA ¢与CC ¢的关系是 AA CC ¢=¢，//AA CC ¢¢． ；（3）线段AC 扫过的图形的面积为 ．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A ¢，B ¢，C ¢即可；（2）利用平移变换的性质判断即可；（3）利用分割法求出四边形面积即可．【解答】解：（1）如图，△A B C ¢¢¢即为所求；（2）AA ¢与CC ¢的关系是：AA CC ¢=¢，//AA CC ¢¢．故答案为：AA CC ¢=¢，//AA CC ¢¢；（3）线段AC 扫过的图形的面积为112102142161022´-´´´-´´´=．故答案为：10．【点评】本题考查作图-平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．五．利用平移设计图案（共4小题）20．（2023春•宜兴市月考）下列图案中，可以利用平移来设计的图案是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据平移变换，轴对称变换中心对称对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、是利用中心对称设计的，不合题意；B ，C 是利用轴对称设计的，不合题意；D 、是利用平移设计的，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．21．（2023春•工业园区校级月考）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A 、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；B 、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；C 、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；D 、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故此选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．22．（2021春•鼓楼区校级月考）如图是由边长为1的小正方形构成的格点图形，A 、B 、C 在格点上，将三角形ABC 向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形111A B C ．（1）在网格中画出三角形111A B C ；（2）求线段AB 在变换到11A B 过程中扫过的区域面积（重叠部分不重复计算）．【分析】（1）将点A 、B 、C 分别向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再顺次连接可得；（2）根据扫过的区域面积1111A B C ABB C S S ¢=+V 平行四边形，据此列式计算可得．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；（2）线段AB 在变换到11A B 过程中扫过的区域面积11111321272A B C ABB C S S ¢=+=´+´´=V 平行四边形．【点评】本题主要考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质．23．（2021春•新吴区月考）请把下面的小船图案先向上平移3格，再向右平移4格．【分析】分别作出MNED和梯形ABCD向上平移3格，再向右平移4格的对应位置即可．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了图形的平移，关键是掌握平移后图形的大小和形状不发生改变．一．选择题（共8小题）D的是( )1．（2023春•工业园区校级期中）下列图形中，把ABCD平移后，能得到DEFA．B．C．D．【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等解答．【解答】解：由图可知，只有A选项ABCD．D平移后，能得到DEF故选：A．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2．（2023春•泗洪县期末）下列现象中，属于平移的是( )A．滚动的足球B．转动的电风扇叶片C．正在上升的电梯D．正在行驶的汽车后轮【分析】利用平移的定义进行判断即可．【解答】解：A．滚动的足球是旋转，故不符合题意；B．转动的电风扇叶片是旋转，故不符合题意；C．正在上升的电梯是平移，故符合题意；D．正在行驶的汽车后轮是旋转，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查平移的定义，掌握图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等是解题的关键．3．（2023春•江阴市期中）下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是( )A．B．C．D．【分析】根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析即可得到答案．【解答】解：A、图形由轴对称所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；B、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故本选项符合题意；C、图形由旋转所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．4．（2023春•海安市月考）如图，ABCD的周长为20cm，D沿BC所在直线向左平移4cm得到△A B C¢¢¢，若ABC则四边形A B CA¢¢的周长为( )A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm【分析】根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出AA¢、BB¢，然后求出CB¢，再根据周长的定义解答即可．【解答】解：Q平移距离是4cm，\¢=¢=，4AA CC cmQ的周长为20cm，ABCD=++=．Q四边形A B CA¢¢的周长442028()cm故选：C．【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．5．（2023春•天宁区校级期中）如图，ABCD，如果四边形ABFD的周长是20cm，D向右平移2cm得到DEF那么ABCD的周长是( )A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm【分析】根据平移的性质得到2=，根据四边形的周长公式、三角形的周长公式计==，AC DFAD CF cm算即可．【解答】解：由平移的性质可知，2=，==，AC DFAD CF cmQ四边形ABFD的周长是20cm，\+++=，20AB BF DF AD cm\++++=，AB BC CF AC AD cm20AB BC AC cm\++=，16=++=，AB BC AC cm\D的周长16ABC故选：B．【点评】本题考查的是平移的性质，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．6．（2023春•建湖县期中）如图，ABCD以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是=，那么BC的长是( )AP MCPMND，如果2A ．4B ．6C ．8D ．9【分析】连接AP ，根据平移的性质可得224()AP BM cm ==´=，再由2AP MC =，可得2MC cm =，即可求解．【解答】解：如图，连接AP ，ABC D Q 以每秒2cm 的速度沿着射线BC 向右平移，平移2秒后所得图形是PMN D ，224()AP BM cm \==´=，2AP MC =Q ，2MC cm \=，6BC BM MC cm \=+=．故选：B ．【点评】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．7．（2023春•海州区校级期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到DEF D 的位置，90B Ð=°，7AB =，2DH =，平移距离为3，则阴影部分的面积为( )A ．20B ．18C ．15D ．26【分析】由ABC DEF S S D D =，推出ABEH S S =阴四边形即可解决问题．【解答】解：Q 平移距离为3，3BE \=，7AB =Q ，2DH =，725EH \=-=，ABC DEF S S D D =Q ，ABEH S S \=阴四边形，\阴影部分的面积为1(57)3182=´+´=．故选：B ．【点评】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．8．（2023春•钟楼区校级期中）学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积-小路的面积解答．【解答】解：A 、B 、D 三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长-小路的宽）´长方形的宽，而C 方案的小路的模块比其他三种方案多1个以小路的宽度为边长的正方形的面积，故选：C ．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等；本题判断出阴影部分的面积与梯形的面积相等是解题的关键．二．填空题（共9小题）9．（2023春•宿迁期末）如图，将ABC D 沿AC 方向平移1cm 得到DEF D ，若3DC cm =，则AF = 5cm ．【分析】根据平移的性质得出1AD CF cm ==，再根据线段的和差关系进行计算即可．【解答】解：由平移的性质可知，1AD CF cm ==，所以1315()AF AD DC CF cm =++=++=，故答案为：5cm ．【点评】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键．10．（2023春•淮安区校级期末）如图，将ABC D 沿BC 方向平移3cm 得到DEF D ，若三角形ABC 的周长为20cm ，则四边形ABFD 的周长为 26 cm ．【分析】先根据平移的性质得DF AC =，3AD CF cm ==，再由ABC D 的周长为20cm 得到20AB BC AC cm ++=，然后利用等线段代换可计算出26()AB BC CF DF AD cm ++++=，于是得到四边形ABFD的周长为26cm．【解答】解：ABCD，Q沿BC方向平移3cm得到DEFD==，AD CF cmDF AC\=，3++=，AB BC AC cmABCQ的周长为20cm，即20D\++++=++++=++=，AB BC CF DF AD AB BC AC AD CF cm203326()即四边形ABFD的周长为26cm．故答案为：26．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．11．（2023春•盱眙县期末）如图，箭头ABCD在网格中做平行移动，当点A移到点P位置时，点C移到的位置为点 R ．【分析】根据平移的基本性质，C在A左边1个单位处，经过平移，对应点位置关系不变．【解答】解：当点A移到点P位置时，点C移到的位置为点R．故答案为：R．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．12．（2023春•建邺区期中）如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处1m宽的“曲径”，则“曲径”的面m．积为 b 2-，宽为b m的矩形，然后进行计算即可解答．a m【分析】根据平移的性质可得：草坪可看作长为(1)【解答】解：由题意得：。
图形的平移复习提高讲义-含分层作业
图形的平移复习提高讲义一、【基础知识精讲】1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的形状和大小。
2．平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
3．平移的条件：确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的方向和平移的距离。
4．“以局部带整体”的平移作图法：在作图过程中，通过确定几个关键点平移后的位置，得到原图形平移后的图形。
二、【例题精讲】例1如图所示，△ABC中，∠A＝50°,∠B＝70°．如果将△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为△DEF，请你在图中找出平行且相等的两条线段，并且求∠DFE是多少度．例 2 如图，△ACD通过平移得到△CBE，你能找出图中的等量关系吗？例3如图，正方形ABCD的对角线交点O移到了O′的位置，你能做出此正方形平移后的图形吗？例4. 如图，AB=CD,AB与CD相交于O点，且∠AOC=60°，CE是AB平移所得，试确定AC+BD与AB的大小关系，并说明理由。
EM M例5如图，经过平移，△ABC 的顶点A 移到了点D ，请作出平移后的三角形。
例6 如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A’B’C’的位置。
（1）若平移距离为3，求△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积； （2）若平移距离为x （04x ≤≤ ），设△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积y ，写出y 与x 的关系式。
三、【课堂同步】 一、选择题：1、下面的几幅图案中，由图案①平移后得到的是( )① A B C D2、在以下的现象中：① 打气筒打气时，活塞的移动.② 钟摆的摆动③ 温度计中液柱的上升或下降 ④ 一个铁球从空中落下 ⑤ 传送带上货物的移动其中是平移的有（ ）A. ①④B. ①④⑤C. ①③④⑤D. ①②⑤3、如图，在5×5的方格纸中，将甲图中的图形N 平移后的位置如图乙所示，那么正确的平移方法是（ ）A.先向下移动1格，再向左移动1格B.先向下移动1格，再向左移动2格C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格二、填空题：1、图形的平移是由平移的 和 决定的，平移只改变图形的_____，而不改变图形的______.2、△ABC经过平移后得到△EFG，若∠A＝30°，则∠E＝，FG＝3cm, 则BC＝cm．3、将正方形ABCD沿对角线AC方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好在AC的中点O处，则移动前后两个图形的重叠部分的面积为原正方形的面积的．4、将一图形沿着正北方向平移5cm 后，再沿着正西方向平移5cm，这时图形在原来位置的＿＿＿＿方向上。
第三章《图形的平移与旋转》专题复习(含答案)
第三章《图形的平移与旋转》专题专练专题一 图形的平移概念 重点知识回顾1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移.注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素：“平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角.3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据.典型例题剖析例1 生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是（ ） A.水中小鱼的游动 B.天空中划过的流星的运动 C.出膛的子弹沿水平直线的运动 D.小华在跳高时的运动分析：正确判断物体是否为平移运动关键是理解和掌握平移的概念和特征.看物体是否在同一个平面内运动，是否沿某个方向平行移动一定的距离，而“水中小鱼的游动”、“天空中划过的流星的运动”、“小华在跳高时的运动”显然不符合平移的概念，只有“出膛的子弹沿水平直线的运动”才是平移运动.点悟：识别平移现象的关键是抓住平移的特征：物体必须在平面内运动，在曲面上运动物体一定不是平移，平移是直线的运动，平移只与物体的位置有关，与速度无关，平移只关注物体的位置变化.例2 （2008年福建省泉州市）在图1的方格纸中，ABC △向右平移 格后得到111A B C △．分析：因为△A 1B 1C 1是△ABC 平移后得到的图形，所以点A 1与点A 、B 1与B 、C 1与C 分别是对应点，故只需随便数一数一对对应点之间的格数，即为平移图1的距离.正确答案为4.点悟：知道平移前后的图形，找出平移的距离（一般都在网格中），只要找出一对对应点后，数一数它们之间的格数即可.专项练习一：1.下列现象中不属于平移的是（）A.大楼电梯在上下运动B.彩票大盘的转动C.滑雪运动员在平坦的雪地上滑行D.火车在平直的铁轨上行驶专题二图形的旋转概念知识要点回顾1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.注意：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.（2）旋转的角度一般小于360°.2.旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）典型例题剖析例1下列几种运动，只属于旋转运动的有（）①发电的风车的转动；②在笔直的铁轨上运行的列车；③传送带上的灌装啤酒；④随风飘散的雪花.A.1种B.2种C.3种D.4种分析：根据旋转的概念和特征，可以看出只有“发电的风车的转动”是旋转运动，“在笔直的铁轨上运行的列车”和“传送带上的灌装啤酒”是平移运动，“随风飘散的雪花”的运动比较复杂，不只是旋转运动.故选A.点悟：旋转是在一个平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度的运动.图形上的每一个点都按相同的方式转动相同的角度，旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状.例2（2008年江苏省盐城市）已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2．则旋转的牌是（）分析：旋转180°后得到图2与图1是一样的，而图1中只有方块5经旋转180°后与原来是一样的，而其它牌经旋转180°后与原来是不同的.故选 A.点悟：这是一道简单的图案旋转问题，求解时只要能准确地运用旋转的有关概念即可求解.旋转应注意旋转的方向和旋转的角度专项练习二：1.将图3绕点O 按逆时针方向旋转90°得到的图案是（ ）2. 3张扑克牌如图4（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图4（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（ ）A ．第一张B ．第二张C ．第三张D ．第四张 专题三 图形平移、旋转性质的应用 知识要点回顾 1.平移的基本性质有平移的基本概念知，结果平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此，平移具有下列性质：（1）平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对于角相等. （2）平移后的图形与原图形的对应点所连的线段平行且相等. 2.旋转的基本性质（1）图形旋转后，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角. （2）一个图形沿某一点旋转一个角度后，图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的大小与形状都没有发生变化.典型例题剖析A B C D图3 图1图2A B C D图4例1 （2008年广州市数学中考试题）将线段AB 平移1cm ，得到线段A /B /，则点A 到点A /的距离是 .分析：由于点A /是由线段AB 平移1cm 后点A 的对应点，根据平移的性质可知点A 到点A /的距离为1cm.点悟：本题考查平移的知识，在平移时要注意平移的方向及平移的距离，还应注意平移的特征.即对应点的距离等于线段平移的距离.例2 （2008年江苏省扬州市）如图1中的△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ABP /重合，如果AP=3，那么线段PP /的长等于________.分析：△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ABP /重合，即△ABP ≌△ABP /，所以AP /=AP=3，又因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠PAP /=900，利用勾股定理可得PP /=32.故应填32.点悟：旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后的两个图形是全等形.例3 （2008湖北省荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图2（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3．（1）将△ECD 沿直线l 向左平移到图2（2）的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； （2）将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图2（3）的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______；（3）将△ECD 沿直线AC 翻折到图2（4）的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．解析：．(1) 3-3； (2)30°；(3)证明：在△AEF 和△D /BF 中，∵AE=AC-EC, D /B=D /C-BC ， 又AC=D /C ，EC=BC ，∴AE=D /B ．(2)图2A CBE4 D EA CB EDl(3) l D ’F A C BED(4)A CB EDl E ’ C ’ 图1D(1)又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD /E=30°， ∴△AEF ≌△D /BF ．∴AF=FD /．点评：本题以同学们熟悉的三角尺为背景，综合考查了平移、旋转、轴对称三种图形变换，解题时，要注意它们各自的区别.专项练习三：1.（2008年大连市）如图3，P 是正△ABC 内的一点，若将△P AB 绕点A 逆时针旋转到 △P ′AC ，则∠P AP ′的度数为________．2.（2008年河南省）如图4，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按顺时针转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A 、B 、C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A.120°B.90°C. 60°D. 30° 3.如图5所示，有一块花园为ABCD 中，有甬道（阴影部分），则其余部分的面积为（ ）m 2A.24B.26C.28D.304.如图6，已知△ABC 的面积为36，将△ABC 沿BC 平移到△A /B /C /，使B /和C 重合，连接AC /交A /C 于D ，则△C /DC 的面积为（ ）A.6B.9C.12D.18专题四 网格中进行轴对称、平移、旋转作图 知识要点回顾 1.平移作图的基本方法（1）找出已知图形上的关键点.如线段的端点、三角形的顶点等.（2）过关键点作与已知平移方向的线段，使这些线段的长度都等于平移的距离. （3）按原图的连接方式连接各对应点，得到新的图形，这个图形就是原图形平移后的图形.P′P CBA图 7图3图4ABCD图56m 8mAA 'C )(B 'C BD图6注意：①在进行平移作图时，首先要知道平移的距离和方向，其次要找出图形的关键点；②确定一个图形的平移前后的位置所需要的条件：图形原来的位置、平移的方向、平移的距离.2.旋转作图的基本方法（1）确定旋转中心，找出已知图形的关键点.（2）作出关键点的对应点.作关键点的对应点的方法是：将各关键点与旋转中心连接；以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，向旋转方向作角，使所作的角都等于旋转角；在所作角的另一边截取长度分别等于各关键点与旋转中心所连线段的长度.即得到各关键点的对应点；按原图的连接方连接各对应点即得到旋转后的图形.由于网格具有其特殊的属性，因而利用网格进行变换作图问题已越来越受到中考命题专家的青睐.典型例题剖析例1 （2008年重庆市）作图题：（不要求写作法）如图1，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的顶点都在格点上） （1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向下平移5格后的四边形A 1B 1C 1D 1； （2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线l 对称的四边形A 2B 2C 2D 2.分析：抓住四边形的四个关键点（顶点），分别作出它们的对应点，再顺次连接即可.如图6所示.点悟：平移时要搞清平移的方向和平移的距离.轴对称首先要找到对称轴，然后分别作已知点的对称点，连线即可得到所求图形.例2 （2008年甘肃省庆阳市）在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．(1) 画出ABC △绕点O 顺时针旋转90o后的111A B C △；D 2D 1C 2C 1B 2B 1A 2A 1图4图3AB C D llDCBA图1 图2（2）求点A 旋转到1A 所经过的路线长．分析：要画出画出ABC △绕点O 顺时针旋转90o后的111A B C △，根据旋转的性质，连接OA ，过O 作OA /⊥OA ，且使OA /=OA ，则得A 点的对应点A 1点.同理可作出点B 、C 的对应点B 1、C 1，顺次连接A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1即得.（1）如图4所示.（2） ∵ 点A 旋转到1A 所经过的路线长为以OA 为半径圆的周长的14， ∴ 点A 旋转到1A 所经过的路线长为14×2r π=12π×2223+=132π． 点悟：确定一个图形旋转后的位置需要的条件有：旋转中心、旋转方向和旋转角.当这些条件都具备后，图形变换后的位置才可唯一确定.专项练习四1.（2008年吉林省长春市）如上图5，在1010⨯正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）作ABC △关于点P 的对称图形A B C '''△。
第08讲 平移(2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)七年级数学下册
第06讲平移课程标准学习目标①平移及其性质②平移作图 1.掌握平移的概念及其性质，能够熟练判断生活中的平移现象以及利用平移的性质解决题目。
2.掌握平移作图的步骤，能够熟练的进行平移作图。
知识点01平移的概念1.平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做图形的平移变换，简称平移。
平移前后的点叫做对应点，平移前后的角叫做对应角，平移前后的边叫做对应边。
2.平移的要素：平移方向与平移距离为平移要素。
【即学即练1】1．下列运动属于平移的是（）A ．荡秋千的小朋友B ．转动的电风扇叶片C ．正在上升的电梯D ．行驶的自行车后轮【分析】利用平移的定义进行判断即可．【解答】解：A．荡秋千的小朋友是旋转，不符合题意；B．转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意；C．正在上升的电梯是平移，符合题意；D．行驶的自行车后轮是旋转，不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的一组是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质对各选项进行判断．【解答】解：A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；B、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；D、左图通过平移可得到右图，所以D选项正确．故选：D．知识点02平移的性质1.平移的性质：①平移前后图形的形状大小不变。
②对应角相等，对应边平行且相等。
③连接各组对应点的线段平行且相等。
【即学即练1】3．如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上）．若BF＝10cm，EC＝4cm，则平移距离为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm【分析】根据平移的性质有：△ABC≌△DEF，则有BC＝EF，即有BE＝CF，根据，问题得解．【解答】解：根据平移的性质有：△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣EC＝EF﹣EC，∴BE＝CF，∵BF＝10cm，EC＝4cm，∴，∴则平移距离为3cm，故选：A．【即学即练2】4．如图，将△ABC沿AB方向平移后，到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】利用平移的性质求出∠EBD，再利用平角的性质解决问题即可．【解答】解：由平移的性质可知∠EBD＝∠CAB＝50°，∵∠ABC+∠CBE+∠EBD＝180°，∴∠CBE＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：A．知识点03平移的作图1.平移的作图步骤：①确定平移条件。
图形的平移知识点六年级
图形的平移知识点六年级图形的平移是数学几何学中的重要概念，对于六年级的学生来说，了解和掌握图形平移的知识点是必不可少的。
在本文中，我们将详细介绍图形的平移的知识点，并提供相应的例子和练习，以帮助六年级的学生更好地理解和应用这一概念。
一、什么是图形的平移图形的平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移通常用箭头表示，箭头的方向表示平移的方向，箭头的长度表示平移的距离。
二、平移的基本性质1. 平移不改变图形的形状和大小。
通过平移，一个图形可以在平面上任意移动，但是在移动的过程中，图形的内部角度和边长都保持不变。
2. 平移是一种向量运算。
平移可以看作是将一个向量应用到图形上的运算，平移的方向和距离由向量决定。
3. 平移具有可逆性。
如果一个图形经过平移到达了另一个位置，那么也可以通过平移将其还原回原来的位置。
三、图形的平移方法在平面几何中，图形的平移可以通过以下两种方法实现：1. 向量法：给定平移向量，将图形上所有点的坐标都移动相同的距离和方向。
2. 前后点法：给定平移前一个点和平移后对应的点，通过相减或相加的运算得到平移向量。
四、图形的平移示例让我们通过几个例子来具体了解图形的平移。
例子1：平移一个正方形给定一个正方形ABCD，需要将其沿向右平移3个单位。
解法：使用向量法，假设平移向量为→V(3, 0)。
将正方形上的每个点坐标(x, y)都平移3个单位，得到新的坐标(x+3, y)。
新的正方形为A'B'C'D'，其中A'(0+3, 0)=(3,0)，B'(2+3, 0)=(5,0)，C'(2+3, 2)=(5,2)，D'(0+3, 2)=(3,2)。
例子2：平移一个三角形给定一个三角形ABC，需要将其沿下方向平移4个单位。
解法：使用向量法，假设平移向量为→V(0, -4)。
将三角形上的每个点坐标(x, y)都平移4个单位，得到新的坐标(x, y-4)。
平移典型例题及练习含答案
平移一、知识点复习知识点1：平移的定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移。
知识点2：平移的要素1.平移的方向：原图上的点指向它的对应点的射线方向；2.平移的距离：连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。
知识点3：平移的性质1.性质（1）平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
（2）平移后的图形与原图形上对应点连成的线段，①数量关系是相等 .②位置关系是平行或在同一条直线上。
2.判断一组图形能不能通过平移得到的方法（1）看对应点连线是否平行或在同一条直线上；（2）看它的形状、大小是否发生变化，位置的变化是否由平移产生。
★★★特别注意：平移是由平移的方向和距离决定的，平移必须指明平移的方向和距离；平移是在平面内，整个图形沿着某一直线平行移动的过程，原图上的每个点都沿同一方向移动相同的距离；平移的距离不能为0；平移的方向是任意的，但就一次平移而言，只能有一个方向，一次平移完成后可以改变方向进行下一次平移。
二、典型例题题型1：生活中平移现象【例题1】（2017春•乌海期末）下列运动属于平移的是（）A．荡秋千 B．推开教室的门 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动【例题2】：（2016春•淮安期中）下列现象：①电梯的升降运动，②飞机在地面上沿直线滑行，③风车的转动，④冷水加热过程中气泡的上升．其中属于平移的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④题型2：平移的性质【例题4】：（2016春•沧州期末）在下列说法中：①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；②△ABC 在平移过程中，对应线段一定平行；③△ABC在平移过程中，周长保持不变；④△ABC在平移过程中，对应边中点所连线段的长等于平移的距离；⑤△ABC在平移过程中，面积不变，其中正确的有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤题型3：与平移有关的计算【例题5】：（2015春•石家庄期末）如图，将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE，连接AE，若△ABC的面积为2，则△ACE的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【例题6】：（2017秋•兴化市期末）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE 的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是 cm。
图形运动平移知识点总结
图形运动平移知识点总结1. 平移的定义平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动。
在平面几何中，平移是指将某个图形沿着直线进行移动，而不改变其大小和形状。
平移可以用矢量表示，其中矢量的大小表示平移的距离，而方向表示平移的方向。
2. 平移的性质平移具有以下性质：（1）平移不改变图形的大小和形状；（2）平移保持图形的所有内部角度不变；（3）平移保持图形的所有边长不变；（4）平移保持图形的所有对角线不变；（5）平移前后图形的中点保持不变。
3. 平移的描述平移可以用坐标描述。
设有一点A(x,y)，将其平移至A'(x',y')，其平移矢量为（a,b），则有：x’ = x + ay’ = y + b4. 平移的表示平移可以用几何图形来表示。
设有一平面上的图形ABCD，将其沿着矢量（a,b）进行平移，得到图形A’B’C’D’，其中A’ = A + (a, b)，B’ = B + (a, b)，C’ = C + (a, b)，D’ = D + (a, b)。
5. 平移的计算平移的计算可以通过向量进行。
设有一图形A，将其平移矢量为（a,b），则有：A’ = A + (a,b)这里A和A’分别为平移前后的坐标，（a,b）为平移矢量。
6. 平移的应用平移在几何中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决中。
例如，通过平移可以进行图形的拼接、图形的对称以及图形的变换等。
此外，平移还在计算机图形学中有着重要的应用，例如在图形的变换和显示中。
7. 平移的变换平移是几何中的一种基本变换，它可以将一个图形移动到另一个位置，而不改变其大小和形状。
平移可以通过向量来描述，其中矢量的方向表示平移的方向，而大小表示平移的距离。
平移具有很多性质，包括不改变图形的大小和形状、保持图形的部分性质不变等。
平移在计算机图形学、几何变换等方面有着广泛的应用。
8. 平移的实例平移在几何中有着广泛的应用，下面是平移的一些实例。
实例1：给出一平面上的三角形ABC，将其沿着向量（3, 4）进行平移，求平移后的三角形顶点的坐标。
2023年中考数学几何模型之几何图形的平移变换(讲+练)(解析版)
专题08几何图形的平移变换知识点：（1）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等（2）平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）（3）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化（4）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（5）多次连续平移相当于一次平移（6）偶数次对称后的图形等于平移后的图形（7）平移是由方向和距离决定的题型一、函数图像的平移例.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A.（－2，3）B.（－1，4）C.（1，4）D.（4，3）【答案】D【详解】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，下减上加，因此，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换，∵的顶点坐标是（1，1），∴点（1，1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4，3），即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，3），故选D.【变式训练1】在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．6【答案】B【解析】计算出函数与x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向：当x=0时，y=－6，故函数与y轴交于C（0，－6），当y=0时，x2－x－6=0，解得x=－2或x=3，即A（－2，0），B（3，0），由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2，故选B.【变式训练2】如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【解答】B【解析】∵抛物线的点P在折线C－D－E上移动，且点B的横坐标的最小值为1，∴观察可知，当点B的横坐标的最小时，点P与点C重合，∵C（－1，4），∴设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为，∵B（1，0），∴，解得a＝－1，∴当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为，∵观察可知，当点A的横坐标的最大时，点P与点E重合，E（3，1），∴当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为，令，即，解得或，∵点A在点B的左侧，∴此时点A横坐标为2，∴点A的横坐标的最大值为2.模型二、几何图形的平移例1.如图，已知ABC△沿直线BC向右平移a个单位到△的面积为16，8BC ．现将ABC△的位置．DEF（1）当4△所扫过的面积；a 时，求ABC（2）连结AE、AD，设5AB ，当ADE△是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值．F E DC BA 【答案】见解析【详解】（1）设AC 与DE 交于点G ，∵AB DE ∥，E 为BC 中点 G 为AC 中点．又∵AD EC ∥，∴AGD CGE S S △△．∴ABC △所扫过面积232ABC ACFD ABC S S S △△．（2）①当AD DE 时，5a ．②当AE DE 时，取BE 中点M ，则AM BC ．∵16ABC S △，∴1162BC AM ．∴18162AM ．∴4AM ．在Rt AMB △中，2222543BM AB AM ．此时，26a BM ，综上可知，5a 或6a ．例2.如图所示，在ABC 中，90B ，M 为AB 上的一点，且AM BC ；N 为BC 上的一点，且CN BM ．连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM ．PNM CBA 【答案】见解析【详解】如图所示，过点C 作CK MA ∥且使CK MA =．连接AK ，则AKCM 为平行四边形，K PNM CBA 所以90KCNB ，CK AM BC ．又因为CN BM ，连接KN ，则NCK MBC ≌，故KN CM KA ．而MCB NKC ，因此90NKC MCK MCB MCK ，则KN CM ，KN KA ，所以KAN 为等腰直角三角形．因为45KAP ，故45APM KAP ．【变式训练1】如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，若∠B ＝90º，AB ＝6，BC ＝8，BE ＝2，DH ＝1.5，则阴影部分的面积为.【答案】10.5【详解】∵△ABC 沿BC 方向平移得到△AEF ，∴DE ＝AB ＝6，∵DH ＝1.5，∴HE ＝DE －DH ＝6－1.5＝4.5，∵∠B ＝90º，∴四边形ABEH 是梯形，S 阴影＝S △DEF －S △CEH ＝S △ABC －S △CEH ＝S 梯形ABEH.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线上，将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点C 恰好在该双曲线上，请求出的值？【答案】2【解析】如图，作CE ⊥轴于点E ，交双曲线于点G ，作DF ⊥轴于点F .在中，令，解得，令，解得，则OB ＝3，OA ＝1，∵∠BAD ＝90º，∴∠BAO ＋∠DAF ＝90º，又∵∠BAO ＋∠OBA ＝90º，∴∠FAD ＝∠OBA ，在Rt △OAB 与Rt △FDA 中，∠OBA ＝∠FAD ，∠AOB ＝∠DFA ，AB ＝AD ，∴△OAB ≌△FDA （AAS ）同理可得△OAB ≌△FDA ≌△BEC ，∴AF ＝OB ＝EC ＝3，DF ＝OA ＝BE ＝1，∴OF ＝OE ＝4，∴D （4,1），将点D 的坐标代入反比例函数解析式中，解得k ＝4，即，由OE ＝4可以得到C 的纵坐标为4，将代入中，得，即G （1,4），∴CG ＝2，即将正方形沿轴负方向平移2个单位长度后，点C 恰好落在该双曲线上.【变式训练3】已知90ABC ，D 是直线AB 上的点，AD BC ．（1）如图1，过点A 作AF AB ，并截取AF BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断CDF △的形状并证明；（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、DC 相交于点D ，45APD ，求证：BD CE．【答案】见解析【答案】（1）CDF △是等腰直角三角形．证明：∵90ABC ，AF AB ，∴FAD DBC ．∵AD BC ，AF BD ，∴FAD DBC △△．∴FD DC ．12 ．∵1390 ，∴2390 ．即90CDF ．∴CDF △是等腰直角三角形．（2）过点A 作AF AB ，并截取AF BD ，连接DF 、CF ．∵90ABC ，AF AB ，∴FAD DBC ．∵AD BC ，AF BD ，∴FAD DBC △△．∴FD DC ，12 ．∵1390 ，∴2390 ．即90CDF ．∴CDF △是等腰直角三角形．∴45FCD APD ．∴FC AE ∥．∵90ABC ，AF AB ，∴AF CE ∥．∴四边形AFCE 是平行四边形．∴AF CE ．∴BD CE ．【变式训练4】如图1，已知菱形ABCD 的边长为，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（-，3），抛物线y ＝ax 2+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE ⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t＜3）①是否存在这样的t ，使△ADF 与△DEF 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）【答案】（1）y＝－x 2＋3；（2）①存在t ＝1，使△ADF 与△DEF 相似，②t 2【解析】（1）由题意得AB 的中点坐标为（－3，0），CD 的中点坐标为（0，3），分别代入y ＝ax 2+b ，得 2 3a+b=0b 3 ，解得，a=1b 3，∴这条抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋3；（2）①存在，如图2所示，在Rt△BCE 中，∠BEC ＝90°，BE ＝3，BC ＝，∴BE sinC BC，∴∠C ＝60°，∠CBE ＝30°，∴EC ＝12BC ，DE ，又∵AD ∥BC ，∴∠ADC+∠C ＝180°，∴∠ADC ＝180°-60°＝120°要使△ADF 与△DEF 相似，则△ADF 中必有一个角为直角，（I ）若∠ADF ＝90°，∠EDF ＝120°－90°＝30°，在Rt △DEF 中，DE EF ＝1，DF ＝2，又∵E （t ，3），F （t ，－t 2+3），∴EF ＝3－（－t 2＋3）＝t 2，∴t 2＝1，∵t ＞0，∴t ＝1，此时AD DF 22=2DE EF 1 ，，∴AD DF =DE EF ，又∵∠ADF ＝∠DEF ，∴△ADF ∽△DEF ，（II ）若∠DFA ＝90°，可证得△DEF ∽△FBA ，则DE EF FB BA，设EF ＝m ，则FB ＝3－m ，∴m 3 ，即m 2－3m ＋6＝0，此方程无实数根，∴此时t 不存在，（III ）由题意得，∠DAF ＜∠DAB ＝60°，∴∠DAF≠90°，此时t 不存在，综上所述，存在t ＝1，使△ADF 与△DEF 相似，t.课后训练1.如图，在△ABC 中，∠AVB ＝90º，AB ＝8，D 是AB 的中点，现将△BCD 沿BA 方向平移1个单位，得到△EFG ，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于．【解答】3【解析】∵在△ABC 中，∠ACB ＝90º，AB ＝8，点D 是AB 的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝AB ＝4，又∵△EFG 由△BCD 沿BA 方向平移1个单位得到的，∴GH ∥CD ，GD ＝1，∴△AGH ∽△ADC ，，即，解得GH ＝3.2.如图，把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为．【解答】272【解析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，设PQ 交x 轴于点N ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x ＝﹣3，∴平移后的二次函数解析式为：y ＝12（x+3）2+h ，将（﹣6，0）代入得出：0＝12（﹣6+3）2+h，解得：h＝﹣92，∴点P的坐标是（3，﹣92），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝927 3=22 .3.如图，∠APB=30º，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为cm.【解答】1或5【解析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切，当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900，∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2，∵OP=3，∴OO1=1，当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900，∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2，∵OP=3，∴OO1=5，综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5cm.4.如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3，，则BB1＝．【答案】1【解析】由等边△ABC中BC＝3可求得高为，面积为，由平移的性质，得△ABC∽△PB1C，∴，即，得B1C＝2，∴BB1＝BC－B1C=1.5.如图，∠APB=30º，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为cm.【解答】1或5【解析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切，当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900，∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2，∵OP=3，∴OO1=1，当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900，∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2，∵OP=3，∴OO1=5，综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5cm.6.如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3，，则BB1＝．【解答】1【解析】由等边△ABC 中BC ＝3可求得高为，面积为，由平移的性质，得△ABC ∽△PB 1C，∴，即，得B 1C ＝2，∴BB 1＝BC －B 1C=1.7.在ABC △中，AB AC ，30A ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BD ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上．（1）如图1，直接写出ABD 和CFE 的度数；（2）在图1中，证明：AE CF ；（3）如图2，连接CE ，判断CEF △的形状并加以证明．图1B图2B【答案】（1）15ABD ，45CFE ．（2）证明：连结CD 、DF ．∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BD ，∴BD BC ，60CBD ．∴BCD △是等边三角形．∴CD BD ．∵线段BD 平移到EF ，∴EF BD ∥，EF BD ．∴四边形BDFE 是平行四边形，EF CD ．∵AB AC ，30A ，∴75ABC ACB ．∴15ABD ABC CBD ACD∴15DFE ABD ，15AEF ABD ．∴15AEF ACD ．∵301545CFE A AEF ，∴451530CFD CFE DFE ．∴30A CFD ．∴AEF FCD △△．∴AE CF ．（3）解：CEF △是等腰直角三角形．证明：过点E 作EG CF 于G ，∵45CFE ，∴45FEG ．∴EG FG ．∵30A ，90AGE ，∴12EG AE．∵AE CF ，∴12EG CF ．∴12FG CF ．∴G 为CF 的中点．∴EG 为CF 的垂直平分线．∴EF EC ．∴290CEF FEG ．∴CEF △是等腰直角三角形．8.如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3)如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠A BO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．【答案】（1）y ＝x 2－3x ；（2）D 点坐标为(2，－2)；（3）点P 或(4532，38)【解析】(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．＋3b ＝0＋4b ＝4，＝1＝－3，∴抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ；(2)设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B(4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，∴直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ，∵点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴可设D(x ，x 2－3x)，又点D 在直线y ＝x －m 上，∴x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0，∵抛物线与直线只有一个公共点，△＝16－4m ＝0，解得：m ＝4，此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2，∴D 点坐标为(2，－2)；(3)∵直线OB 的解析式为y ＝x ，且A(3，0)，∴点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)，设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B(4，4)，∴4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14，∴直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3，∵∠NBO ＝∠ABO ，∴点N 在直线A'B 上，∴设点N(n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴14n ＋3＝n 2－3n ，解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)，∴点N 的坐标为(－34，4516)，如图，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上，∵△P 1OD ∽△NOB ，∴△P 1OD ∽△N 1OB 1，∴OP 1ON 1＝OD OB 1＝12，∴点P 1将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)，综上所述，点P 或(4532，38).。
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图形的旋转
一、知识要点 1.旋转 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
旋转不改变图形的大小和形状。
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。
在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。
因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。
例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB ，它绕O
点按顺时针方向旋转得到△OEF ，在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A 、B 分别移动到什么位置？
解：（1）旋转中心是O ，∠AOE 、∠BOF 等都是旋转角．
（2）经过旋转，点A 和点B 分别移动到点E 和点F 的置。
2．旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等；
（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。
二、 巩固练习
1. 如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O 点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF 。
在这个旋转过程中 （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A 、B 分别移到什么位置？ （3）AO 与DO 的长有什么关系？BO 与EO 呢？
（4）∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系？
2.在正方形ABCD 中，∠1＝∠2＝30°， 试把ΔADE 绕点A 顺时针旋转90°， 观察整个图形中角与角之间，线段 与线段之间，存在哪些相等的关系？
探索DE ，BF ，AF 之间的关系。
O
4.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。
故此若将线段AB向右平移3cm，得
到线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________
5.下列关于旋转和平移的说法正确的是（）
A旋转使图形的形状发生改变
B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小
D对应点到旋转中心距离相等
6.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转
中心为______点，旋转角度依次为________，________，________。
7．下列现象哪些是平移，哪些是旋转。
5．会变的头像
左图中的头像，是一个顽皮的小孩，正在嬉皮笑脸地开玩笑。
倒过头来仔细看看，再说一说这是个什么人？他是什么样的表情？
三、归纳小结
●旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向；
●旋转图形的性质。
简单的旋转作图
如图，在方格上作出“小旗子”绕O 点按顺时针方向旋转90 度后的图案，并简述理由。
一、知识要点
简单图形的旋转作图
两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。
作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；
②顺次连接各点得到旋转后的图形。
例1．如图，△ABC 绕C 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．
分析：绕C 点旋转，A 点的对应点是D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB ′=∠ACD ，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定B ′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD
（2）以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE 上截取CB ′=CB 则B ′即为所求的B 的对应点． （4）连结DB ′
则△DB ′C 就是△ABC 绕C 点旋转后的图形。
例2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=，
△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？
三 巩固练习
1
4
O
1．平面图形的旋转一般情况下改变图形的（ ） A 位置 B 大小 C 形状 D 性质
2．9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（ ） A 30° B 45° C 60° D 90° 3．将平行四边形ABCD 旋转到平行四边形A ′B ′C ′D ′的位置，下列结论错误的是（ ） A ．AB=A ′B ′ B ．AB ∥A ′B ′ C ．∠A=∠A ′ D ．△ABC ≌△A ′B ′C ′ 4．做一做
在图1中，将大写字母A 绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案．
图1
5．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______。
6．菱形ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形D C B A ''''，则四边形D C B A ''''是__________。
7．△ABC 绕一点旋转到△A ′B ′C ′，则△ABC 和△A ′B ′C ′的关系是_______。
8．钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度。
9．图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______。
10．在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案。
11．将一个等腰直角三角形ABC （如图2∠A 是直角）绕着它的一个顶点B 逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。
（1）45° （2）90° （3）135° （4）180°
图2
8．将下面的图案绕点O顺时针方向旋转90度，作出旋转后的图形。
图3
对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?。