专题01 导数与函数的最(极)值(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题

用思维导图突破导数压轴题
解答数学题的“思维导图”：
逛公园顺道看景，好风光驻足留影. 把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.
这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的.
这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。

中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。

专题01 导数与函数的最（极）值问题
利用导数求函数f (x )极值、最值的基本方法是先求f (x )的导数f 'x （），再求f 'x （）的零点i x ，
i N ∈，根据f 'x （
）在i x 两边的符号判断的单调性，最后确定i f x （）是极大值或极小值，再确定最值。

先求导数 再定零点 考查单调
极值来了
思路点拨
第（1）只要直接计算即可。

第（2）题先求出()f x 和()f x '的含参数零点（用a 、b 表示），
再根据零点均在集合{3-，1，3}中确定a 、b 的值。

第（3）题求出()f x '的零点12,x x （设12x x <），
根据单调性确定极大值为321111()(1)=-++f x x b x bx ，这里含有两个变量，最容易想到的方法就是转化为一元变量，但恒等变形能力要求较高，也可以挖掘隐含条件利用基本不等式整体消元。

第（3）解题思维导图如下：
.
（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--， 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =.
又2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---，令()0f x '=，解得x b =，或
23
a b
x +=
. 因为()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，所以
3a =-，1b =，则2615
333a b A +-+==-∉，舍去； 1a =，3b =-，则2231
333a b A +-==-∉，舍去； 3a =-，3b =，则263
133a b A +-+==-∉，舍去； 3a =，3b =-，则263
133a b A +-==∈； 3a =，1b =，则2617
333a b A ++==∉，舍去； 1a =，3b =，则25
33
a b A +=∉，舍去.
因此3a =，3b =-，
213
a b
A +=∈，从而2()(3)(3)f x x x =-+，()3[(3)](1)f x x x '=---， 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：
从而可知，()f x 的单调递增区间为(−∞,−3]和[1,+∞),单调递减区间为[−3,1]，由此可知当1x =时，函数()f x 取得极小值，2(1)2432f =-⨯=-.
（3）证明：0a =，01b <„，1c =，()()(1)f x x x b x =--，则
2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++.
因为△22
214(1)124444()332
b b b b b =+-=-+=-+…
，所以()0f x '=有两实根12,x x ，设12x x <，则()f x 单调递增区间为(−∞,1x ]和[2
x ,+∞),单调递减区间为12[,]x x ，于是()f x 取得
极大值为1111()()(1)M f x x x b x ==--。

这里有两个变量，随着把二元变量转化为一元变量有两种方法，这对恒等变形能力要求较高，也可以根据b 的范围确定x 1的范围，利用基本不等式整体消元，这样比较简单。

解1 利用求根公式由b 表示1x ，消1x
由2111()3(22)0f x x b x b '=-++=得 2
111[(22)]3
x b x b =+-，从而
1111()()(1)M f x x x b x ==--2111111(22)()()()(
)3
b x b
x b x x x b x +-=--=--
222111[(21)2]3b x b x b =--+2211(22)1
[(21)2]33b x b b b x b +-=-⋅-+ 2211
[(222)]9
b b x b b =-+-++。

由于2
2132222()022b b b -+-=---<，且11(0,]3
x =，所以
M 在11(0]3∈x ，，上单调递减，22
21222524
(
)932727b b b b M b b -+-+-++=剟. 即427
M „. 还可以这样消去x 1：
因为2111'()32(1)0=-++=f x x b x b ，所以
12==
x x
所以321111()(1)=-++f x x b x bx
()()221
111211(1)32(1)3
999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪
⎝⎭ 211112(1)(1)
'()()3999x b b b b b f x x +-++=--+
23(1)2(1)(1)2
272727
+-+=-+b b b b ，
由于1<≤b 0，2202727≤
++上式427≤，即4
27
≤M 。

这两种恒等变形是不是有不会想到啊！ 解2 利用
()f 'x =0消去b
由2
11
1()3(22)0f x x b x b '=-++=得 211132(0,1]21x x b x -=
∈-，解得1112
0133
x x <≤<≤或， 又1122(1)4233b x x x +<+=
≤，所以123x <，从而11
03
x <≤，于是 223211111
1
11(21)
()(1)21
x x x M f x x b x bx x -+-==-++=-。

22(21)
()21
x x x g x x -+-=-令，22
2(1)(331)'()0(21)x x x x g x x ---+=>-则，()g x 在1(0,]3单调递增， 所以114
()()327f x g ≤=，即427
M …
. 解 3 利用不等关系01b <≤消b
因为(0,1]∈b ，所以1(0,)∈x b ，
110,10.∴-<-<x b x 2111111()()(1)(1)f x x x b x x x ∴=--≤-。

令2()(1)g x x x =-，(0,1)x ∈，则1
'()3()(1)3g x x x =--，令'()0g x =，则13
x =
，列表如下：
所以当13x =
时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327
g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤
，因此4
27
M ≤． 解4 利用均值不等式消x 1
因为(0,1]∈b ，所以1(0,)∈x b ，由均值不等
式
(0,0,0)3
a b c
a b c ++≤
>>>，则1111()()(1)f x x x b x =--11112()(1)2x b x x =
⋅--3114()2327
b +≤⋅≤ 所以4
27
≤M 。

思路点拨
第(1)题求出
'()f x 的零点0，
3
a
，分0,0,0a a a =><三种情况，讨论'()f x 的符号，从而确定其单调性。

第（2）题根据（1）在[0，1]的单调性，求出值M 和m ，再求M m -的取
值范围。

满分解答
（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=解得 0x =或3a
x =. 若0a =，2()60f x x '=…，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
若0a >，则当(x ∈-∞，(,0)(,)3
a -∞+∞U 时，()0f x '>；当(0,)3
a x ∈时，()0f x '<. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(,)3a +∞，单调递减区间为(0,)3
a ；
若0a <，则当(,)(0,)3a -∞+∞U 时，()0f x '>；当(3
a x ∈，0)时，()0f x '<. 故()f x 的单调递增区间为(,)3a -∞，(0,)+∞，单调递减区间为(3
a ，0)。

（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在(0,)3a 上单调递减，在(3
a ，1)上单调递增，
所以()f x 在区间[0，1]的最小值为3
()2327
a a f =-
+，最大值为(0)2f =或(1)4f a =-. 于是，3+227a m =-，4,022,23a a M a -<<⎧=⎨<⎩，，„从而3
3
2,0227
,2 3.
27
a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪<⎪⎩，„ 当02a <<时，记3()227a g a a =-+，则可知2'()109a g a =-<，因此3
()227a g a a =-+在
(0,2)单调递减，M m -的取值范围是8
(,2)27
；
当23a <„时，3
27
a
单调递增，M m -的取值范围是8[27，1)
.
综上，M m -的取值范围8
[
27
，2).
思路点拨
（1）讨论()f x 的单调性，就是要比较
)('x f 与0的大小。

因为
)1(111)(222'+--=+--
=ax x x x a x x f ，2
1
x -恒小于0，所求问题转化为函数
1)(2+-=ax x x h 在定义域),0(+∞上函数值与0的大小关系。

)(x h 是一个过定点)1,0(开口
向上的抛物线，对称轴为2
a
x =。

分类讨论的标准：（1）0≤a ，即对称轴在y 轴左侧或为y 轴；（2）0>a ，
即对称轴在y 轴右侧；这时又需要进一步讨论：0)(≤∆i ，即20≤<a ；0)(>∆ii ，即2>a 。

解（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，)1(111)(2
2
2'
+--=+--
=ax x x x a x x f 令1)(2+-=
ax x x h ，这是一个过定点)1,0(开口向上的抛物线，对称轴为2
a
x =。

（i ）当
02
≤a
时，即0≤a 时，)(x h 在),0(+∞恒大于0，0)('<x f ，此时)(x f 在),0(+∞上是减函数。

（ii ）当
02
>a
时，即0>a 时，令42-=∆a ， 当0≤∆，即20≤<a 时，
0)('≤x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞上是减函数。

当0>∆，即2>a 时，0)(=x h 的两根为242
-±a a ，
作出)(x h 的草图，由图可知，
当(0,()22
a a x ∈+∞U 时，()0f x '<；
当x ∈时，()0f x '>．
)(x f 在),24(),24,0(22+∞-+--a a a a 上是减函数；在)
2
4,24(2
2-+--a a a a 是
增函数。

综上所述，当2≤a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递减；
当2>a 时，)(x f 在),2
4(),24,0(2
2+∞-+--a a a a 上单调递减；在
)
2
4,24(22-+--a a a a 上单调递增。

（2）因为
)(x f 存在两个极值点21,x x ，所以由（1）得2>a .
不妨设21x x <，因为21,x x 为方程012
=+-ax x 的两个实根，所以121=x x ，
)ln (ln )()()(21212
11
221x x a x x x x x x x f x f -+---=
-=)ln (ln )(22121x x a x x -+-- 所以21212121)ln (ln 2)()(x x x x a x x x f x f --+-=--，要证
2)
()(2
121-<--a x x x f x f ，只要证1)ln (ln 2121<--x x x x ，因为21x x <且121=x x ，只要证1
1ln 222
2
<--x x x ，即证
0ln 21222<+-x x x 。

由（1）得函数
x x x
x g ln 21
)(+-=
在),0(+∞上单调递减，而12>x ，因此0)1(ln 21
)(222
2=<+-=
g x x x x g ，得证！ 附注
12
12
ln ln 1x x x x -<-可以有多种证法。

1212ln ln 1x x x x -<-,即1212ln ln x x x x ->-，亦即111
1
2ln x x x >-在(0,1)上恒成立，
设1()2ln h x x x x =-+，01x <<，则222
21(1)'()10x h x x x x
-=--=-<，所以 ()h x 在1()2ln h x x x x =-+
在(0,1)单调递减，所以()(1)0h x h >=，从而12ln 0x x x
-+>，
即12ln x x x >-，所以
2)()(2
121-<--a x x x f x f 。

思路点拨
解答(1)要先求函数的导数，再解不等式，从而确定单调区间；（2）左端可利用（1），右端把x 换成1
x
；（3）把要证的不等式左边移到右边，构造函数，利用单调性证明不等式. 满分解答
(1)函数
()f x 的定义域为(0,)+∞，'1
()=1f x x
-，令'()=0f x 得1x =.
当01x <<时，'
()0f x >，()f x 单调递增；
当1x >时，'
()0f x <，()f x 单调递减.
（2）由（1）知，()f x 在x =1处取得最大值，且最大值为(1)=0f .
当1x ≠时，
()0f x <，即ln 10x x -+<，所以 ln 1x x <-；
(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，由ln 1x x <-得1
1ln x x
-<。

再以当x 代
1x
得 11ln
1x x <-，即1ln x x x -<，即1
ln x x x
-<，所以. （3）设()1(1)x
g x c x c =+--，则'
()1ln x
g x c c c =--.
令'
()0g x =，因为1c >，所以
11
ln
ln ln c c
x c
-=. 11ln x x x -<<
当1x x <时，1,ln c c >>0，1
''1()1ln 1ln ()0x x g x c e c c e c g x =-->--==，即
'()0g x >，只要()g x 在1(,)x x 上单调递增；
当1x x >时，同理可得'
()0g x <，()g x 单调递减.
由（2）得1
1ln ln c c c
-<<，故101x <<. 又(0)1=0g g =
（），故当01x <<时， ()0g x >.
所以当(0,1)x ∈时，.
思路点拨
（1） 先对()f x 求导，再判断的单调性，根据()f x 在(0,)+∞上的单调性，比较()
f x 与
(0)f 的大小关系证明不等式；（2）对()g x 求导判断单调区间，求出最小值
h (a ),再求h (a )的
值域. 满分解答
（1）证明：()2e 2
x x f x x -=+，()()()2221)(2)(2)e e 22x x x x x x f x x x -+--'=⋅=++（.
当x ∈()()22,-∞--+∞U ，
时，()0f x '>，所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增.
又当0x >时，
()2e 0=12
x
x f x ->-+，所以()2e 2x x x ->--，()2e 20x x x -++>. ⑵ ()
()()24
e 2e x
x a x x ax a g x x
----'=
()
4
e 2e 2x x x x ax a x -++=
()()()33
22e 2()2=.x x x a x f x a x x x -⎛⎫
+⋅+
⎪+++⎝⎭=
1(1)x
c x c +->
由(1)知，当0x >时，()f x a +单调递增，所以对[)01a ∈，
，()010f a a +=-<，(2)0f a a +=≥.因此，存在唯一(0,2]t ∈，使
()0f t a +=，即'(=0g t ）.
当0x t <<时， '
()0,()0f t a g x +<<，(g x ）单调递减； 当x t >时，'
()0,()0f t g x +>>，(g x ）单调递增.
因此，(g x ）在x=t 是取得最小值，最小值为
()()()
2
2
e 1e ()1t t a t
f t t h a t t -+++=
=
=
()
22e 1e
e 2.
2
t t
t t t t t t -++⋅+=+ 记()e 2t
k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2
e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增， ()()21e 24h a k t ⎛⎤
=∈ ⎥⎝⎦
，．
思路点拨 （1）
()2sin sin sin f x x a x b =-+，所以()()sin 2sin cos f x x a x ¢轾=-臌
， 因为22
x p p
-
<<，所以cos 0,22sin 2x x >-<<. ①当2a ?
时，函数在⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2ππ上单调递增，无极值；
11 ②当2a ³时，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上单调递减，无极值； ③对于22a -<<，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内存在唯一的0x 使得02sin x a =． 当0]2
x x （，?p 时，函数单调递减； 当02
x x （，）Îp 时，函数单调递增，因此，22a -<<时，函数在0x 处有极小值()20sin 24
a a f x f
b 骣÷ç==-÷ç÷ç桫． (2) 22
x p p -＃时，()()()000sin sin sin f x f x a a x b b -=-+- ()000
0sin ||.a a x b b a a b b ?+-?+- 当()()000a a b b --?时，取2
x p =，等号成立； 当()()000a a b b --<时，取2
x p =-，等号成立. 由此可知，()()x f x f sin sin 0-在上的最大值为00
D a a b b =-+-. （3）解1 1≤D 即为1a b +?，此时201,11a b ＃-＃，从而2
14
a z
b =-?． 取0,1a b ==，则1a b +?，且214a z b =-=，可知，42
a b z -=满足条件1≤D 时最大值为1．
解2 1≤D 即为1a b +?，在平面直接坐标系aOb 中，对应
的平面区域如图所示，而24a z b =-，亦即2
4
a b z =+，对 应曲线是开口向上的抛物线2
4
a b =向上平移z 个单位所得，其在b 上的最大值是1.。