《大学物理教程》郭振平主编第十一章-流体运动基础知识点及答案

第十一章 流体运动基础
一、基本知识点
流体的可压缩性：流体的体积会随着压强的不同而改变的性质。

流体的黏性：内摩擦力作用导致相邻流体层速度不同的性质。

理想流体：绝对不可压缩且完全没有黏性的流体。

稳定流动：空间各点的流速不随时间变化的流体流动。

流线：在流体空间设想的一系列曲线，其上任意一点的切线方向都与流体通过该点时速度方向一致。

任何两条流线不能相交。

流管：在稳定流动的流体中的一个由流线围成的管状微元。

稳定流动的连续性方程：单位时间内通过任一截面的流体质量都相等，即
S ρυ=恒量
也称为质量流量守恒定律。

理想流体稳定流动的连续性方程：单位时间内通过任一截面的流体体积都相等，即
S υ=恒量
也称为体积流量守恒定律。

理想流体的伯努利方程：理想流体作稳定流动时，单位体积的势能、动能及该点压强之和是一恒量，即
21
2
P gh ρρυ++=恒量
牛顿黏滞定律：黏性力f 的大小与两速度不同的流体层的接触面积S 及接触处的速度梯度
d dx
υ
成正比，即 d f S
dx
υη= 式中比例系数η称为流体的黏滞系数或黏度。

η值的大小取决于流体本身的性质，并和温度有关，单位是2
N s m -⋅⋅或Pa s ⋅。

表11-1 几种流体的黏度
流体 温度()C ︒
η()Pa s ⋅
流体 温度()C ︒
η()Pa s ⋅
水
0 20 37 100 31.7910-⨯ 31.00510-⨯ 30.69110-⨯ 30.28410-⨯ 空气
0 20 100
617.110-⨯ 618.110-⨯ 621.810-⨯
蓖麻油
7.5
20 50 60
112.2510-⨯ 19.8610-⨯ 1
1.2210-⨯ 10.8010-⨯ 氢气
-1 251
68.310-⨯ 61310-⨯
血液 37
3(2.5~3.5)10-⨯
二氧 化碳
0 300
61410-⨯ 62710-⨯
雷诺数: 判断黏性流体的流动状态的一个无量纲的数
e r
R ρυη
=
式中，υ为流速，ρ为流体密度，η为黏度，r 为流管半径。

层流：1000e R <
过渡流动：10001500e R << 湍流：1500e R > 黏性流体的伯努利方程：
2
211122
21122
P gh P gh E ρρυρρυ++=+++∆ 黏性流体在均匀水平管中稳定流动方程：
12P P E =+∆
只有水平管两端存在压强差，黏性流体才能稳定流动。

黏性流体在开放的粗细均匀管道中稳定流动方程：
12gh gh E ρρ-=∆
只有存在高度差，流体才能在管道中稳定流动。

泊肃叶定律：流量Q 与管道两端的压强差成正比，与流阻f R 成反比。

即
12
f
P P Q R -=
48f R L R ηπ=
斯托克斯定律：球形物体在黏性流体中运动受到的黏滞阻力为
6f vR πη=
式中，η是流体的黏滞系数，v 是球体相对流体的速度，R 是球体半径。

内聚力：液体分子间的相互吸引力。

表面层：液体和气体的接触面。

附着层：液体和固体的接触面。

表面张力：液体表面层内具有促使表面收缩的力称为表面张力。

作用在分界线L 上的表面张力F ，其大小与分界线长度L 成正比，即
F L α=
式中α为液体的表面张力系数，在数值上等
于单位长度线段两侧液面相互作用的表面张力，单位是1
N m -⋅。

表11-2 几种液体与空气接触时的表面张力系数
液体
温度
()C ︒
α()N m
液体
温度
()C ︒
α()N m
水 0 0.0756 甘油 20 0.0634 水 20 0.0728 氯仿 20 0.0271 水 60 0.0671 苯 20 0.0228 水 100 0.0589 甲醇 20 0.0226 血浆 20 0.060 丙酮 20 0.0237 尿液
20
0.066
酒精
20
0.022
肥皂液 20 0.025 牛奶 20 0.050 溴化钠
熔点
0.103
水银
20
0.470
液体的表面能：表面层下面的分子对液体内部分子的引力势能。

凸液面附加压强：液面下液体的附加压强与液体的表面张力系数成正比，与液面的曲率半径成反比。

即
02s P P P R
α
=-=
凹液面附加压强：
02s P P P R
α=-=-
润湿：水滴在玻璃板表面延展分布的现象称为润湿，或称浸润。

不润湿：水银滴在水平的玻璃板上会聚成一个球立在玻璃板上的现象。

接触角：在固、液、气三者共同相互接触点处分别作液体表面切线与固体表面的切线(该切线指向固-液接触面这一侧)，两切线通过液体内部所成的夹角θ。

液体润湿固体：0<θ<π/2 完全润湿：θ=0 不润湿：π/2<θ<π 完全不润湿：θ=π 毛细管：内径很细的管。

毛细现象：将毛细管插入液体内，管内外的液面将出现高度差的现象。

气体栓塞：当毛细管中部有气泡时，液体在毛细管中流动时发生阻塞的现象。

二、典型习题解题指导
11-1文特利管常用于测量液体的流量或流速。

如图11-1所示，在变截面管的下方，装有U 型管， 内装水银。

测量水平管道内的流速时，可将流量计 串联于管道内，根据水银表面的高度差，即可求出 流量或流速。

已知管道横截面为S 1和S 2 ，水银
与液体的密度各为g ρ和y ρ，水银面高度差为h ，
求液体流量。

设管道中理想流体做定常流动。

图11-1
解：设水平流线上两处流速分别为v 1和v 2，则根据连续性方程 1122v S v S =
再根据伯努力方程
12221111222211
22
P gh v P gh v ρρρρ++=++ 有
()12221221221111
22
v v P P g h h ρρρρ-=-+- 联立两个方程得
()22
2
22122212211211122
v S v P P g h h S ρρρρ-=-+-
考虑21h h =，21ρρ=，而用U 形管测量1、2两点压强差 ()
12g y P P gh ρρ-=- 求得流速
1v S =
2v S =
流量
11221Q v S v S S S ===
11-2 皮托管常用来测量气体的流速。

如图11-2所示，开口1与气体流动的方向 平行，开口2则垂直于气体流动的方向。

两开口分别通向U 型管压强计的两端，根 据液体的高度差便可求出气体的流速。

已 知气体密度为r ，液体密度为 r 1 ，管
内液面高度差为h ，求气体流速。

气体沿 水平方向，皮托管亦水平放置。

空气视为
理想流体，并相对于飞机做稳定流动。

图11-2
解：在一条水平流线上两点应用伯努力方程：
12
2212
1122P v P v ρρ+=+ 用U 形管测量1、2两点压强差
()12g y P P gh ρρ-=-
考虑10v =，得
2v = 11-3 水库放水，水塔经管道向城市输水以及挂瓶为病人输液等，其共同特点是液体自大容器经小孔出流。

由此得下面研究的理想模型：大容器下部有一小孔。

小孔的线度与容器内液体自由表面至小孔处的高度h 相比很小。

求在重力场中液体从小孔流出的速度。

液体视为理想流体。

解：设液面和小孔流速分别为v 1和v 2，液面面积和小孔截面积分别为S 1和S 2，则根据连续性方程
1122v S v S =
再设水深为h 1，小孔高度为h 2，根据伯努力方程 1222112211
22
P gh v P gh v ρρρρ++
=++ 考虑近似条件12S S >>，21v v >>，10v ≈ 联立上述各式解得小孔处的流速为
2v =
=
11-4 一个由旋转对称表面组成的水壶，其对称轴沿竖直方向，壶底开有一个半径为r 的小孔，为使液体从底部小孔流出的过程中壶内液面下降的速率保持不变，壶应做成什么形状？
解：取竖直方向为z 轴，水平方向为x 轴，小孔处为坐标原点。

水壶的开头由壶的水平截面半径与z 的关系决定。

设当液面与底部的距离为z 时，液面所呈现的圆的半径为x ，此
时液体从小孔中流出的速率为v ，液面以恒定速度u 下降。

由伯努力方程有
22
1122
v u gz ρρρ=+ 其中，ρ为液体密度。

由连续性方程可写出 2
2
u x v r ππ⋅=⋅ 其中，r 为小孔的半径。

联立上两式可解得
42
412x u gz r ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
上式可改写为
()2444
2u x r z gr
-=
由于r x <<（定常流动的条件），上式又可简化为
24
4
2u x z gr =
11-5 设人体主动脉的内半径为0.01m ，血液的流速、黏度、密度分别为1
0.25m s v -=⋅，
33.010Pa s η-=⨯⋅,3-31.0510kg m ρ=⨯⋅,求雷诺数并判断血液以何种状态流动。

解：雷诺数为
33
1.05100.250.01
8753.010e vr R ρη-⨯⨯⨯===⨯ 这一数值小于1000，所以血液在主动脉中为层流。

11-6 成人主动脉的半径约为2
1.310m -⨯,问在一段0.2m 距离内的流阻f R 和压强降落
P ∆是多少？设血流量为43-11.0010m s -⨯⋅，黏度为33.010Pa s η-=⨯⋅。

解： ()
3
442341035.5103.114.32.0100.388---⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==m s Pa R L R f πη Pa Q R P f 35.510
0.11035.54
4
=⨯⨯⨯==∆-
11-7 如图11-3所示，一滴管滴下50滴液体的总质量为 1.65g ，滴管的管口内径为1.35mm ，试求此液体的表面张力。

解：滴管中的液体滴出时，在管口处先形成一球形的小
液滴。

液体的表面张力作用在管口上，其反作用力则用于支 撑液滴的重量。

当液滴增大至快要脱落时，其上端颈部的直 径等于滴官的口径d 。

设液滴的质量为m ，由静力平衡条件
可得 图11-3
d mg πγ=
()3
2
3
1.65109.8/507.63103.14 1.3510
mg d γπ---⨯⨯===⨯⨯⨯ N/m 11-8 用毛细管上升法测定某液体表面张力。

已知液体密度为790kg·m -3，在半径2.46×10-4m 的玻璃毛细管中上升高度2.50×10-2m ，假设该液体能很好地润湿玻璃。

求此液体的表面张力。

解: 2447909.8 2.510 2.4610 2.381022
ghR
ρσ---⨯⨯⨯⨯⨯=
==⨯ N/m
11-9 两块平行且竖直放置的玻璃板，部分地浸入水中，使两板间保持距离0.1mm d =。

试求每块玻璃板内外两侧所受压力的合力。

已知板宽15cm l =，水的水的表面张力系数为0.07 N/m ，接触角0θ=︒。

解：对高度为h 的液面，其压强P 满足
0P P gh ρ=-
在h 处，dF PdS =内,因此
()()2
000
12
H
H
F P gh dS P gh ldh PlH glH ρρρ=-=-=-⎰
⎰
内 由
0F P lH =外
2/2
gH d d
α
α
ρ=
=
得
()
222
22342215100.07151.0109.8 1.010l F F F gd αρ--⨯⨯⨯=-=-=-=⨯⨯⨯⨯外合内 N 11-10 如所示的U 形玻璃管，两臂的内直径分别为1.0 mm 和3.0 mm 。

若水与管壁完全润湿，求两臂的水面高度差。

解： 以P A 表示细管内凹状水面下的压强，以P B 表示 粗管内凹状水面下的压强。

压强P B 应等于细管中与B 同深度 的C 点的压强P C ，设液面上方的气压为P 0，应有
B C A P P P gh ρ==+ 即
0022B A
P P gh r r αα
ρ-=-+ 式中r A 和r B 分别为细管和粗管的内半径。

代入数值得 图11-4
32333211272.81011 2.0101.0109.80.510 1.510A B h g r r αρ----⎛⎫⨯⨯⎛⎫
=-=-=⨯ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
⎝⎭ m 11-11吹成一个直径为10cm 的肥皂泡，设皂液的表面张力系数为40×10-3N/m ，需要做多少功？ 解：
11-12 已知液体的表面张力系数为 a ，用此液体吹成半径为 R 的液泡，求液泡内压强。

（大气压为P 0
）
解: 设液泡外压强为P 0，液泡内压强为P 2
如图11-5所示，液泡内壁和外壁之间的压强为 10S P P P =+=2S P P -
2
2223244108(510)2.5110A S R J
ααππ---∆=∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯≈⨯A S
α∆=
∆
所以 210042S S P P P P P P R
α
=+=+=+
图11-5
11-13 如图11-6所示，玻璃毛细管直径为1mm, 水在毛细管里上升了30mm ，如果管子慢慢地竖直下降，直到管子顶端离烧杯里的水面20mm 时，求此时管中 液面的曲率半径。

解: 302cos h gr
αθ
ρ=
00202P P gh R
α
ρ=-
+ 302h r g α
ρ=⋅ 302020
20.75mm h
R r gh h αρ=
=⋅= 图11-6 11-14 将一个半径为 R 的球型液珠分散成8个半径相同的小液滴需做多少功？（设表面张力系数为α）
解： 由A S
α∆=
∆ 作功 ()()
222284448A S r R r R ααπππα∆=⋅∆=⋅⋅-=⋅-
由于
3344833
R r ππ=⋅ 有 1
2
r R =
因此 ()
222424A R R R παπα∆=⋅-=
11-15 试求当半径r=2×10-3
mm 的许多小水滴融合成一个半径R=2mm 的大水滴时，所减少的表面能。

解：设有n 个小水滴，则
334433
R n r ππ=⋅ ()
33
93
33210210R n r -===⨯ 表面能
(
)()22
2
2444E S n r R
nr
R ααπππα∆=⋅∆=⋅⋅-=⋅-
整理
. 代入数值得
()()22296334 3.147.31010210210 3.6710E J ----⎡⎤∆=⨯⨯⨯⋅⨯⨯-⨯≈⨯⎢⎥⎣⎦
11-16 一个肥皂泡的直径为圆形水珠的2倍，设肥皂泡的 a 是水的3倍，求水滴和肥皂泡的内外压强差之比。

解： 2/11124/2233
R R P P R R αααα∆==⋅=⋅⋅=∆水水水肥肥肥肥肥水。