2013年河南省中招考试数学试题及答案

1 2013年河南省中招考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．-2的相反数是（ ）
（A ）2 （B ）-|-2| （C ）12 （D ）12-
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
3．方程(x-2)(x+3)=0的解是（ ）
（A ）x=2 （B ）x=-3 （C ）12x =-，23x = （D ）12x =，23x =- 4．在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则这8人体育成绩的中位数是（ ）
（A ）47 （B ）48 （C ）48.5 （D ）49 5．如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个
数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是
（ ）
（A ）1 （B ）4 （C ）5 （D ）6 6．不等式组221x x ≤⎧⎨
+>⎩的最小整数解为（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2
7．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点G ，直线
EF 与⊙O 相切于点D ，则下列结论中不一定正确的是
（ ）
（A ）AG=BG
（B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）∠ABC=∠ADC
8．在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随着x 的增大而增大，则x 的取值范围是（ ） （A ）x ＜1 （B ）x ＞1 （C ）x ＜-1 （D ）x ＞-1
2 二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算34--=__________． 10．将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置（其中
∠A=60°，∠F=45°），使点E 落在AC 边上，且ED ∥BC ，
则CEF 的度数为=__________．
11．化简：11(1)x x x --=__________．
12．已知扇形的半径为4cm ，圆心角为120°，则此扇形的弧长是__________cm ． 13．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1，-2，3，4，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这四张卡片上的数字之积为负数的概率是__________．
14．如图，抛物线的顶点为P （-2，2），与y 轴交于点
A （0，3），若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P'
（2，-2），点A 的对应点为A'，则抛物线上PA 段扫过
的区域（阴影部分）的面积为__________．
15．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC
边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处
，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分为75分）
16．（8分）先化简，再求值：2(2)(21)(21)4(1)x x x x x +++--+，其中2x =-．
17．（9分）从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气，某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表．
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m=__________，n=__________.扇形统计图中E组所占的百分比为__________%；
（2）若该市人中约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？
18．（9分）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm
，射线AC∥BC，点E从点A出发沿射线AC以1cm/s
的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s
的速度运动，设运动时间为t(s)．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①当t为__________s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为__________s时，以A、F、C、E、为顶点的四边形是直角梯形.
19．（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截
3
4 面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角∠BAC=68°。

新坝体的高为DE ，背水坡坡角∠DCE=60°。

求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC （结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.503=1.73）．
20．（9分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x
轴和y 轴上，点B 的坐标为（2，3），双曲线(0)k y x x
=> 的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE 。

（1）求k 的值及点E 的坐标；
（2）若点F 是OC 边上的一点，且△FBC ∽△DEB ，
求直线FB 的解析式．
21．（10分）某文具商店销售功能相同的A 、B 两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元。

5 （1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两对计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x 个A 品牌的计算器需要1y 元，购买x 个B 品牌的计算器需要2y 元，分别求出1y ，2y 关于x 的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
22．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC5重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°。

（1）操作发现
如图2、固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，
当点D 恰好落在AB 边上时，填空：
①线段DE 与AC 的位置关系是_________； ②设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是__________；
（2）猜想论证
当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）
中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△
AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=4,
DE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请直接写出．．．．
相应的BF 的长．
6
23．（11分）如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122
y x =+交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为（3，
72
），点P 是y 轴右侧的抛物线上的一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，
以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平形四边形？
请说明理由．
（3）若存在点P ，使∠PCF=45°，请直接写．．．
出．
相应的点P 的坐标．
7 2013年河南省中招考试数学试卷（答案）
一、选择题（每题3分，共24分）
二、填空题（每题3分，共21分）
三、解答题（共8题，共75分）
16.（8分）
原式=222444144x x x x x +++---=23x +，∴当x ==2(35+=
17.（9分） （1）40，100，15；
（2）持D 组“观点”的市民人数约为；120
10030804010012060⨯
=++++（万人）；
（3）持C 组“观点”的概率为1001
4004=
18.（9分）
（1）证明：∵D 为中点，∴AD=DC
∵AG ∥BC ，∴∠EAC=∠ACF ，∠AEF=∠EFC ，∴△ADE ≌△CDF
（2）①6；②3
2
19.（9分）
在Rt △BAE 中，∠BAE=68°，BE=162米，∴AE=162
64.80tan 2.50BE
BAE ≈=∠（米）；
在Rt △DCE 中，∠DCE=60°，DE=176.6米，∴CE=102.08tan DE
DCE =≈∠（米）；
∴AC=CE-AE=102.08-64.80=37.28=37.3（米）
即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC 约为37.3米.
8 【说明：AC 的计算结果在37.0至37.6之间均可】
20.（9分）
（1）在矩形OABC 中，∵B 点坐标为（2，3），∴BC 边中点D 的坐标为（1，3） 又∵双曲线k y x =经过点D （1，3），∴31
k =，∴k=3 ∵E 点在AB 上，∴E 点的横坐标为2 又∵3y x =
经过点E ， ∴E 点纵坐标为32，∴E 点坐标为（2，32
） （2）由（1）得BD=1，BE=32
，CB=2 ∵△FBC ∽△DEB ，∴BD BE CF CB =，即3
122
CF =，∴CF=43，∴OF=53，即点F （0，53） 设直线FB 的解析式为1y k x b =+，而直线FB 经过B （2，3），F （0，53） ∴13253k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴123k =，53b =，∴直线FB 的解析式为2533y x =+ 21.（10分）
（1）设A 品牌计算器的单价为x 元，B 品牌计算器的单价为y 元。

则有
231563122x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3032
x y =⎧⎨=⎩， 即A 、B 两种品牌计算器的单价分别为30元和32元。

（2）根据题意得：10.830y x =⨯，即124y x =
当05x ≤≤时，232y x =；当5x >时，232532(5)0.7y x =⨯+-⨯，即222.448y x =+
【说明：若把“05x ≤≤”写成“5x ≤”，不扣分】
（2）当购买数量超过5个时，222.448y x =+
①当12y y <时，2422.448x x <+，∴30x <
即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A 品牌的计算器更合算；
②当12y y =时，2422.448x x =+，∴30x =
即当购买数量为30个时，购买A 品牌与B 品牌的计算器花费相同；
③当12y y >时，2422.448x x >+，∴30x >
9 即当购买数量超过30个时，购买B 品牌的计算器更合算.
22.（10分）
（1）①DE ∥AC ；②12S S =
（2）证明：∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCM+∠ACE=180°
又∵∠ACN+∠ACE=180°，∴∠ACN=∠DCM
又∵∠CNA=∠CMD=90°，AC=CD ，∴△ANC ≌△DMC ，
∴AN=DM ，又∵CE=CB ，∴12S S =
（3）433或833
， 【提示】如图所示，作1DF ∥BC 交BA 于点1F ，作2DF ⊥BD 交BA 于点2F ，12BF BF 、即为所求
23.（11分）
（1）∵直线122
y x =
+经过C ，∴C 点坐标为（0，2） ∵抛物线2y x bx c =-++经过C （0，2）和D （3，72） ∴227332c b c =⎧⎪⎨=++⎪⎩，∴272
c b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线的解析式为2722y x x =-++ （2）∵P 点横坐标为m ，∴P （m ，2722m m -++），F （m ，122
m +） ∵PF ∥CO ，∴ 当PF=CO 时，以O 、C 、P 、F 为定点的四边形为平行四边形 ①当03m <<时，22712(2)322
PF m m m m m =-++-+=-+ ∴232m m -+=，解得：11m =，22m =， 即当12m =或时，OCPF 为平行四边形. ②当3m ≥时，221
7(2)(2)322
PF m m m m m =+--++=- ∴232m m -=，解得：1317m +=2317m -=（舍去） 即当317m +=OCPF 为平行四边形. （3）点P 的坐标为（12，72）或（236，1318
） ①当03m <<时，点P 在CD 上方且∠PCF=45°，
10 作PM ⊥CD 于M ，CN ⊥PF 于N ，则： △PMF ∽△CNF ，从而212
PM CN m MF FN m ===，∴PM=CM=2CF ， ∴PF=5555=52CN =52m 又∵PF=23m m -+，∴2532m m m -+=
， 解得：112m =，20m =（舍去），∴P 的坐标为（12，72
） ②当3m >时，点P 在CD 下方且∠FCP=45°，作PM ⊥CD 于M ，CN ⊥PF 于N ，则： △PMF ∽△CNF ，从而212
MP CN m FM FN m ===，∴FM=55FP ∵∠MCP=45°，∴CM=MP=55FP ，∴FC=FM+MC=355
FP 又∵55， ∴355=，56
FP m = 又∵2217(2)(2)322FP m m m m m =+--+
+=-，∴2536m m m =-
解得：1236m =，20m =（舍去）
∴P 的坐标为（236，1318
）。