高中数学导数的定义及几何意义课件
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高中数学导数的概念及其意义
高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。
2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。
3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。
二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。
2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。
3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
北师大版高中数学选择性必修第二册2.2 导数的概念及其几何意义【课件】
点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
全国高中青年数学教师优质课大赛一等奖《导数的概念及几何意义》教学课件
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f (2)和 f (6).
根据导数的定义,
所以,
求导数的步骤：
(1)求平均变化率
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
(2)取极限得导数
f
(
x0
)
lim
x0
y x
牛顿
莱布尼茨
导数的几何意义
f
(x0
x) x
f
(x0 )
马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时 期称为“神秘的微积分”时期，并有这样的评论：“于 是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法 肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几 何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了， 对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更 加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学 界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然 的。”恩格斯早就指出：“一个民族想要站在科学的最 高峰，就一刻也不能没有理论思维。”
x
我们称它为函数y f (x)在x x0处的导数，
记作f (x0 )或y xx0
即：f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
如图,函数y= f(x)的图象上有任意一点P(x0,y0),Q为 P在曲线C上邻近的一点,Q(x0+∆x,y0+∆y)
根据导数的定义,
所以,
求导数的步骤：
(1)求平均变化率
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
(2)取极限得导数
f
(
x0
)
lim
x0
y x
牛顿
莱布尼茨
导数的几何意义
f
(x0
x) x
f
(x0 )
马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时 期称为“神秘的微积分”时期，并有这样的评论：“于 是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法 肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几 何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了， 对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更 加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学 界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然 的。”恩格斯早就指出：“一个民族想要站在科学的最 高峰，就一刻也不能没有理论思维。”
x
我们称它为函数y f (x)在x x0处的导数，
记作f (x0 )或y xx0
即：f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
如图,函数y= f(x)的图象上有任意一点P(x0,y0),Q为 P在曲线C上邻近的一点,Q(x0+∆x,y0+∆y)
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件
－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义【课件】
问题的答案也有一样的表示形式.
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
新知导入
平均速度
平均变化率
缩短时间间隔
缩短时间间隔
瞬时速度 0
瞬时变化率
新知讲解
平均变化率
函数 y=f(x)，从 到 的平均变化率：
（1）自变量的改变量：∆ = −
（2）函数值的改变量：∆ = ( ) − ( )
在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3 ℃/ℎ 与 5 ℃/ℎ .
说明在第2h附近，原油温度大约以3 ℃/ℎ的速率下降，在第6h附近，原油温度
大约以5 ℃/ℎ的速率上升.
一般地，′ ( ≤ ≤ )反映了原油温度在时刻 附近的变化情况.
合作探究
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 t s时汽车的速度（单位：m/s）
数值有关，与∆无关．
(2)
′
限接近．
0 是一个常数，即当∆ → 0时，存在一个常数与
+∆ −( )
∆
无
合作探究
例1 设 =
，求′
解：
′
+ ∆ −
=
∆→
∆
−
+
∆
=
= −
= −
∆→
∆→
∆
+ ∆
合作探究
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = − + ( ≤ ≤ ) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义【教学课件】
1 ． 曲 线 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 在 点 A( － 1,6) 处 的 切 线 方 程 是
________________．
4x＋y－2＝0 解析：由导数的定义知 y′|x＝－1
＝ lim Δx→0
－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－－12＋2×－1－3 Δx
＝－4，
∴所求切线方程为 y－6＝－4(x＋1)，
(2)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0，
即 k0＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
3．导数的概念
当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函
数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝
得 f′(1)＝lim Δx→0
1＋ΔΔxx－1＝Δlixm→0
1＋1Δx＋1＝12，
∴f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝21(x－1)．
即 x－2y＋1＝0.
探究题 2 抛物线 y＝x2在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
求点 P 的坐标及切线方程．
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)，
4．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)，则 f′(2)的几何意义是
函数 f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg 3)处切线的斜率． 5．曲线 y＝3x2－4x 在点(1，－1)处的切线方程为________．
y＝2x－3
解析：k＝f′(1)＝ lim Δx→0
31＋Δx2－41＋Δx－3×12－4×1 Δx
[(Δx)2－3Δx＋3]＝3，
所以切线的斜率为 3.
由点斜式可得切线方程为 y－1＝3(x＋1)，即 3x－y＋4＝0.
高中数学第五章导数的概念及其几何意义第2课时导数的几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册
()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
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பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
人教版高中数学选修二5.1.2导数的概念及其几何意义课件
成本增加的速度为 1 050
元/m2.
问题探究
我们知道，导数 ′ 0 表示函数y = 在 = 0 处的瞬时变化率，反映了
函数y = 在 = 0 附近的变化情况，那么导数 ′ 0 的几何意义是什么？
观察思考
观察函数 = 的图像 ，
平均变化率
∆ 0 +∆ −(0 )
(
)
解析： (1)根据导数的几何意义知正确．
(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．
(3)根据导函数的定义知正确．
(4)若 f ′(x0)＝0 说明曲线在 x＝x0 处切线平行于 x 轴，不能说不存在．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
f1＋Δx－f1
2．已知函数 y＝f (x)是可导函数，且 f ′(1)＝2，则lim
人教2019 A版 选择性必修二
第五章 一元函数的导数及其应
5.1.2导数的概念及其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
引言
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬
时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不
(1)函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的导数即为在该点处的斜率，也就是 k＝
f ′(x0)．
(
)
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在 x＝x1 处比在 x＝x2 处瞬时变化率较大．
(
)
(3)f ′(x0)就是导函数 y＝f ′(x)在 x0 处的函数值．
(
)
(4)若 f ′(x0)＝0，则曲线在 x＝x0 处切线不存在．
元/m2.
问题探究
我们知道，导数 ′ 0 表示函数y = 在 = 0 处的瞬时变化率，反映了
函数y = 在 = 0 附近的变化情况，那么导数 ′ 0 的几何意义是什么？
观察思考
观察函数 = 的图像 ，
平均变化率
∆ 0 +∆ −(0 )
(
)
解析： (1)根据导数的几何意义知正确．
(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．
(3)根据导函数的定义知正确．
(4)若 f ′(x0)＝0 说明曲线在 x＝x0 处切线平行于 x 轴，不能说不存在．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
f1＋Δx－f1
2．已知函数 y＝f (x)是可导函数，且 f ′(1)＝2，则lim
人教2019 A版 选择性必修二
第五章 一元函数的导数及其应
5.1.2导数的概念及其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
引言
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬
时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不
(1)函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的导数即为在该点处的斜率，也就是 k＝
f ′(x0)．
(
)
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在 x＝x1 处比在 x＝x2 处瞬时变化率较大．
(
)
(3)f ′(x0)就是导函数 y＝f ′(x)在 x0 处的函数值．
(
)
(4)若 f ′(x0)＝0，则曲线在 x＝x0 处切线不存在．
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高中数学人教A版选择性必修第二册
s
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
高中数学5-1-2导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念课件新人教A版选择性必修第二册
【解题探究】利用导数的定义求解．
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)； (3)求极限Δlxim→0ΔΔyx.
导数的定义的变形形式 Δlxi→m0f(x0－－ΔxΔ)－x f(x0)＝Δlxi→m0f(x0＋nnΔΔxx)－f(x0)＝Δlxi→m0f(x0＋Δx)2－Δxf(x0－Δx) ＝f′(x0)．
3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为 ( )
A．Δx＋2
B．Δx＋3
C．2Δx＋(Δx)2
D．3Δx＋(Δx)2
【答案】B 【解析】Δy＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－12－1＝(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔyx＝
(Δx)2Δ＋x 3Δx＝Δx＋3.
导数的概念(瞬时变化率)
函数 f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋Δx3(Δx)2＝6x0＋ 3Δx.
【解题探究】直接利用概念求解．
求平均变化率的策略 (1)求 Δy 时，要把 f(Δx＋x)和 f(x)表示出来，再作差． (2)求平均变化率时，先计算自变量和函数值的改变量 Δx＝x1－x0，Δy ＝f(x1)－f(x0)，再利用公式ΔΔyx＝f(xx1)1－ －fx(0x0)求出平均变化率．
lim (6＋3Δx)＝6.
Δx→0
2．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________. 【答案】1 【解析】Δlxim→0a(－1＋Δx)3＋Δ2－x [a·(－1)3＋2]＝Δlxi→ m0(aΔx2－3aΔx＋3a) ＝3a＝3，∴a＝1.
课堂互动
题型1 求函数的平均变化率
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.1.2《导数的概念及其几何意义》课件PPT
作业设计
课本P70.
习题5.1： 1、2、3、4、5、6、7.
在PPT软件中双击图标ห้องสมุดไป่ตู้开配套教案
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
目 录
01
学习目标
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课程小结
第一部分
学习目标
学习目标
1. 理解函数在0处的瞬时变化率即导数的概念并会求其值.
2.理解导数的几何意义，并会应用之求切线方程.
3.感受新概念的定义、运动变化的数学思想方法，从而
温馨提示：直接利用概念求平均变化率，先求出表达
式，再直接代入数据就可以得出相应的导
数的值.
跟踪练习
解析：当自变量从0变化到0＋Δ时，函数的平均变化
Δ+0 − 0
△
率为 ＝
△
Δ
＝
= 30 2 +30 △ + △
2
0 +△ 3 −0 3
Δ
当0＝1，Δ → 0时,
1
∆
2
1
∆)=1−2
2
1
2
× 22 )
课堂互动
∴物体在时刻t=2处的瞬时速度是1−2 .
课堂互动
3.已知 ＝2－3，则 在 = 0处的切线的方程
(
3 + = 0
解析： ′(0)＝
)
Δ
高中数学导数的几何意义新定稿优秀课件
x
ｘ
其几何意义是 表示曲线上两点连线〔就是曲线 的割线〕的斜率。
我们知道,导数f ' x0表示函数f x
在x x0 处的瞬时变化率,反映了函
数 f x 在x x0附近的变化情况. 那 么,导数f ' x0 的几何意义是什么呢?
观 察 如图
1 . 1 2 ,当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
4
处的切线的
斜率均大于 0，所以在两 h
点附近曲线上升，即函
数在两点附近单调递增 。
o t 3t 4
t
但是 t3处切线的倾斜t程 4处度 切大 线于 的倾斜 这说明曲t3附 线近 在比 t4附 在近上升的快速
结论：根据导数的几何意义，
当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线 是上升的，即函数在这点附近是单调递增；
解 ： yx xx x x xx
y
1
x xx x
ylim ylim 1 1. x 0 x x 0 x xx 2x
练习一下
1.求函y数 x在x1处的导数。
2.
我们来做题吧！看看你能不能举 一反三？GO!
5 6
图象 . 根 据图象 , 请描 O
述、比较曲线 h t 在 t0 ,
t1 , t2附近的变化情况
.
l0 l1
t0
t1
t2
图1.13
t
l2
利 用 曲 线 在 动 点 ,刻的 画切 曲线 线 在 动 点 附
的 变 化 情 . 况
解我们用 hx曲 在 t0线 ,t1,t2处的,切 刻线 画曲 线 ht在上述三个时 变刻 化.附 情近 况的
h
1当t t0时,曲线ht在
5.1.2 导数的概念及其几何意义课件ppt
值
y
y
,即
x
x
=
f(x 0 +x)-f(x 0 )
x
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(x0+Δx)-x0
名师点析 (1)Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,
而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)
Δ
所以 =-Δx-2x+3.故函数的导数
Δ
Δ
f'(x)= lim
Δ→0 Δ
= (-Δx-2x+3)=-2x+3.
Δ→0
反思感悟 (1)利用定义求函数 y=f(x)的导数的步骤
①求函数值的变化量 Δy=f(x+Δx)-f(x);
Δ
②求函数的平均变化率
Δ
③取极限,得
=
(+Δ)-()
(2)若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区
间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?
提示 不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明
f(x0+Δx)=f(x0).
(3)函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?
它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函
数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无
关.
微练习
求函数 y=f(x)= x的导数.
解 函数的导数为
y
y
,即
x
x
=
f(x 0 +x)-f(x 0 )
x
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(x0+Δx)-x0
名师点析 (1)Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,
而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)
Δ
所以 =-Δx-2x+3.故函数的导数
Δ
Δ
f'(x)= lim
Δ→0 Δ
= (-Δx-2x+3)=-2x+3.
Δ→0
反思感悟 (1)利用定义求函数 y=f(x)的导数的步骤
①求函数值的变化量 Δy=f(x+Δx)-f(x);
Δ
②求函数的平均变化率
Δ
③取极限,得
=
(+Δ)-()
(2)若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区
间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?
提示 不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明
f(x0+Δx)=f(x0).
(3)函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?
它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函
数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无
关.
微练习
求函数 y=f(x)= x的导数.
解 函数的导数为
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北师大版高中数学选修2-2第二章 《变化率与导数》
1
一、教学目标：理解导数的概念，会 利用导数的几何意义求曲线上某点处的 切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线 斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题 中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
12
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x－1，则 P 点坐标为____. (2,8)或(－2,－4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值范围为______.
∴在点 P 处的切线方程
是
y
9
9
(
x
3 )
,
84 2
即 9x 4 y 12 0 .
8
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
解:
设切点为
p( x0 ,
1 3
x03 )
,则切线的斜率为
k
f ( x0 )
x02
∴切线方程为
y
1 3
x03
x02 ( x
x0 )
可以从它的几何意义和物理意义来认识这一概念的实 质.
2.求导数值的三个步骤:
⑴求函数值的增量:y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
⑵求平均变化率: y f ( x 0 x) f ( x0 ) 并化简;
x
x
⑶求
lim
△x0
△y △x
得导数
f
( x0 ) .
这也是我们自己推导一些导函数的解析式的过程.
3
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 ⑶ y x2 2x 3 3
解:⑴ y x x x
x
x x x
y
1
x x x x
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
4
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 ⑶ y x2 2x 3 3
11
2.已知曲线 C : y x2 2x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在
曲线 C 上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求
出最短距离.
解：设 P( x0 , y0 ) ,
∵ f ( x) 2x 2 , ∴ 2x0 2 1 ,
解得 x0
3 2
,∴
y0
9 4
∴P
又∵切线过点
A(1,0)
∴
0
1 3
x03
x02 (1
x0
)
化简得
2 3
x03
x02
0
解得
x0
0
或
x0
3 2
①当 x0 0 时，所求的切线方程为：y=0;
②当
x0
3 2
时，所求的切线方程为：
y
9
9
(
x
3 )
,
84 2
即 9x 4 y 12 0
注:过一点的切线与一点处的切线是有区别的
9
能力练习:
单位：s), 则物体在 t 2 s 时的瞬时速度是2___m_./s
⑵直线运动的物体位移 s 与时间 t 的关系是
C s t2 2t 3, 则它的初速度为（ ）
(A)0 (B)3 (C) 2
(D)1
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,求点
. 3
28
P 处的切线方程. 9x 4 y 12 0
x2 2x △x (△x)2 2x 2△x 3 x2 2x 3
= 2x △x (△x)2 2△x
△y △x
2x △x
(△x)2 △x
2△x
2x
2 △x
.
∴ y lim y lim (2x 2 △x) 2x 2
x x0
x 0
6
练习 2.
⑴物体的运动方程是 s t 2 2t 3 (s 的单位：m．t 的
解:⑵
y
1
x3 ,
y
lim
y
lim
1(x 3
x)3
1 3
x3
3
x x0
x0
x
1 3x2x 3x(x)2 (x)3
lim
3 x0
x
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] 3 x0x2. Nhomakorabea5
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 3
⑶ y x2 2x 3
解:⑶ △y ( x △x)2 2( x △x) 3 ( x2 2x 3)
上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求出最短距离.
19 2
8
3 3.已知
f ( x0 )
0,
f ( x0 )
1 2
,则 lim △x0
f ( x0 3△x) △x
___ .
2
10
1.过点 (1,0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
9x 4 y 12 0 或 y 0
7
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,
3
28
求点 P 处的切线方程.
解:∵
y
x2
,∴
y
|
x
3
2
9 4
.
即点 P 处的切线的斜率等于 9 . 4
解析：设 (x1, y1) 为作抛物线 y x2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
1.过点 (1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线，则其中一条切线
为（ D ）
（A） 2x y 2 0
（B） 3x y 3 0
（C） x y 1 0
（D） x y 1 0
2.已知曲线 C : y x2 2x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在曲线 C
1
一、教学目标：理解导数的概念，会 利用导数的几何意义求曲线上某点处的 切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线 斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题 中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
12
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x－1，则 P 点坐标为____. (2,8)或(－2,－4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值范围为______.
∴在点 P 处的切线方程
是
y
9
9
(
x
3 )
,
84 2
即 9x 4 y 12 0 .
8
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
解:
设切点为
p( x0 ,
1 3
x03 )
,则切线的斜率为
k
f ( x0 )
x02
∴切线方程为
y
1 3
x03
x02 ( x
x0 )
可以从它的几何意义和物理意义来认识这一概念的实 质.
2.求导数值的三个步骤:
⑴求函数值的增量:y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
⑵求平均变化率: y f ( x 0 x) f ( x0 ) 并化简;
x
x
⑶求
lim
△x0
△y △x
得导数
f
( x0 ) .
这也是我们自己推导一些导函数的解析式的过程.
3
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 ⑶ y x2 2x 3 3
解:⑴ y x x x
x
x x x
y
1
x x x x
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
4
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 ⑶ y x2 2x 3 3
11
2.已知曲线 C : y x2 2x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在
曲线 C 上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求
出最短距离.
解：设 P( x0 , y0 ) ,
∵ f ( x) 2x 2 , ∴ 2x0 2 1 ,
解得 x0
3 2
,∴
y0
9 4
∴P
又∵切线过点
A(1,0)
∴
0
1 3
x03
x02 (1
x0
)
化简得
2 3
x03
x02
0
解得
x0
0
或
x0
3 2
①当 x0 0 时，所求的切线方程为：y=0;
②当
x0
3 2
时，所求的切线方程为：
y
9
9
(
x
3 )
,
84 2
即 9x 4 y 12 0
注:过一点的切线与一点处的切线是有区别的
9
能力练习:
单位：s), 则物体在 t 2 s 时的瞬时速度是2___m_./s
⑵直线运动的物体位移 s 与时间 t 的关系是
C s t2 2t 3, 则它的初速度为（ ）
(A)0 (B)3 (C) 2
(D)1
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,求点
. 3
28
P 处的切线方程. 9x 4 y 12 0
x2 2x △x (△x)2 2x 2△x 3 x2 2x 3
= 2x △x (△x)2 2△x
△y △x
2x △x
(△x)2 △x
2△x
2x
2 △x
.
∴ y lim y lim (2x 2 △x) 2x 2
x x0
x 0
6
练习 2.
⑴物体的运动方程是 s t 2 2t 3 (s 的单位：m．t 的
解:⑵
y
1
x3 ,
y
lim
y
lim
1(x 3
x)3
1 3
x3
3
x x0
x0
x
1 3x2x 3x(x)2 (x)3
lim
3 x0
x
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] 3 x0x2. Nhomakorabea5
练习 1.求下列函数的导函数
⑴y x
⑵ y 1 x3 3
⑶ y x2 2x 3
解:⑶ △y ( x △x)2 2( x △x) 3 ( x2 2x 3)
上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求出最短距离.
19 2
8
3 3.已知
f ( x0 )
0,
f ( x0 )
1 2
,则 lim △x0
f ( x0 3△x) △x
___ .
2
10
1.过点 (1,0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
9x 4 y 12 0 或 y 0
7
练习 3.⑴如图已知曲线 y 1 x3 上的一点 P( 3 , 9) ,
3
28
求点 P 处的切线方程.
解:∵
y
x2
,∴
y
|
x
3
2
9 4
.
即点 P 处的切线的斜率等于 9 . 4
解析：设 (x1, y1) 为作抛物线 y x2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
1.过点 (1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线，则其中一条切线
为（ D ）
（A） 2x y 2 0
（B） 3x y 3 0
（C） x y 1 0
（D） x y 1 0
2.已知曲线 C : y x2 2x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在曲线 C