高中数学必修一 函数应用题的解题策略

函数应用题的解题策略

应用性问题是历年高考数学命题必不可少的题型，也是考生失分较多的一种题型.从近几年的高考试卷看，函数应用题一直是高考命题的重点和热点.尽管目前概率应用题的势头被看好，但命题者也在揣摩备考者的心理，函数应用题必定会成为应用题命题的主要目标.这类试题大多以函数知识为背景，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数以及形如b y ax x

=+的函数等.解答时一般都从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建成函数、不等式的数学模型，在题目给出的实际定义域内进行求解.

一、考点聚焦

高考函数应用题的命题思路主要有以下特点：

1.建构适合的函数模型是解题的关键

解答函数应用题，一般应先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答.这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用(如借助不等式、导数等工具加以解决). 例1 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=x 吨.

分析 建立正确的目标函数是前提，可用直译法列式，再运用均值不等式进行求解.

解 每年购买的次数为

x 400次，则总费用x x 44400+⋅=≥16064002=.当且仅当x x

41600=，即20=x 时等号成立.故20=x 吨. 评析 本题主要考查的是均值不等式的应用.

例2 有三个新兴城镇，分别位于A 、B 、C 三点处，且AB =AC =

13 cm ，BC=10 cm.今计划合建一个中心医院.为同时方便三镇，准备建

在BC 的垂直平分线上的P 点处.(建立坐标系如图1所示)

(1)若希望点P 到三镇距离的平方和最小，点P 应位于何处？

(2)若希望点P 到三镇的最远距离最小，点P 应位于何处？

分析 本题以函数和不等式等基本知识为背景，考查运用数学知识

分析问题和解决问题的能力.

解 (1)设点P 的坐标为(0，y )，则P 到三镇距离的平方和为222()2(25)(12)3(4)146f y y y y =++-=-+. 所以，当4y =时，函数)(y f 取得最小值，此时点P 的坐标是(0,4).

(2)(解法一)点P

到三镇的最远距离为|12|,()|12|,|12|.

y g x y y -=--⎪⎩

|12|y -，解得11924y ≥.

故119,24()119|12|,.24

y g x y y ≥=⎨⎪-<⎪⎩当当 因为225y +在119[,)24+∞上是增函数，而119|12|(-,]24y -∞在上是减函数，所以当11924

y =时，函数)(y g 取得最小值，此时点P 的坐标是119(0,)24

. (解法二)因为在△ABC 中，AB=AC=13，且

125,,4

OC ACB π=>=∠=如图(b)所示.所以，△ABC 的外心M 在 线段AO 上，其坐标为119(0,)24

，且AM =BM =CM .当P 在射线MA 上，记P 为 P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2.这时P 到A 、B 、C 三点的最远

距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C≥MC，P 2A≥MA，所以当点P 与外心M 重合时，P 到三

镇的最远距离最小.此时点P 的坐标是119(0,)24

. 评析 本题需要把实际问题抽象为数学问题，较之单纯的数学问题，它把鲜明的客观背景告诉考生，让考生站在决策者的位置上去认识和思考问题，借此可考查考生对外来信息的接受、领悟和提炼能力. 2.b y ax x

=+

型函数成为应用题的亮点 形如b y ax x =+的函数，处理的方法和技巧很多.特别是应用题，由于取值范围的限制，有些时候可以用基本不等式求解，有时则要借助函数的单调性来处理.

例3 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1()

-污物质量物体质量含污物)为8.0，要求洗完后的清洁度是99.0.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81x x ++(1x a >-)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a ++，其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.

(1)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少.

(2)若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

分析 审清题意，明确清洁度的定义及计算公式，建立函数关系式，通过变形求最小值.

解 (1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有

99.01

8.0=++x x .解得19=x . 由95.0=c 得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程99.095.0=++a

y a y ，解得a y 4=.故34+=a z ，即两种方案的用水量分别为19与34+a .

因为当1≤a ≤3时，0)4(4>-=-a z x ，即z x >，故方案乙的用水量较少.

(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x 和y ，类似(1)得，)

1(545c c x --=，)10099(c a y -=. (*) 于是1)1(100)1(51)10099()1(545---+-=-+--=+a c a c c a c c y x . 当a 为定值时，y x +≥1541)1(100)

1(512

-+-=---⨯-a a a c a c .当且仅当)1(100)1(51c a c -=-时等号成立，此时a c 51011+=(不合题意，舍去)或8.0(51011∈-=a

c ，)99.0. 将a

c 51011-=代入(*)式得，1152->-=a a x ，a a y -=52. 故a c 51011-=时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152-a 与a a -52，最少

总用水量2()119T a a =-+=-+.

因此，当1≤a ≤3时，)(a T 是增函数.这说明，随着a 的值的增加，最少总用水量增加.

评析 本题主要考查的是函数的应用、函数的最值、分类讨论思想、均值不等式、运算能力、逻辑思维能力以及化归转化意识.该题可认为是由上海市2001年高考试卷中“用水清洗蔬菜上的农药”的考题进行推陈出新、变形衍生而成的.

例4 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2，画面的宽与高的比为(1)λλ<.画面的上、下各留