电路的拉普拉斯变换分析法

s
1
j
s2
2
Lsint t
s2 2
3、余弦函数 cos t t
故有
cost 1 ej t e- j t 2
Lcost t
L 12
e j t
e - j t
t
1 2
s
1
- j
s
1
j
s2
s
2
Lcost t s
s2 2
4、衰减正弦函数 e- t sin t
故有
e- t
7.2.1 线性特性
若 f1(t) L
F1(s) f2(t) L
F2(s)
则 a1 f1(t) a2 f2(t) L
a1F1(s) a2F2 (s)
a1，a2为任意常数
证明
0-
a1 f1(t) a2 f2 (t)
e-stdt
0-
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a1
f1
(t
)e-st
dt
0-
a2
f2
(t
)e-st
第7章 电路的拉普拉斯变换分析法
7.1 拉普拉斯变换的定义 7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯反变换 7.4 复频域电路 7.5 电路的拉普拉斯变换分析法
7.1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性 微分方程的工具。
拉氏正变换
设一个变量t的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条 件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件）
工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1) t的指数函 数；(2) t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正 弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。
下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换
7.1.1 指数函数et t (为常数)
由定义可得 et t 的拉普拉斯变换为
F(s) 1
sin t
1 2j
e- - j t
-
e- j t
L[e-at sint] 1 [
1
-
1
]
2 j (s a) - j (s a) j
(s
a)2
2
L[e- at sin t]
(s a)2 2
5、衰减余弦函数 e- t cos t
与衰减正 弦函数相 类似可得
L
e-t cost t
证明
L[ f (at)]
f (at)e-st dt
f
- s at
(at)e a
dat
0
0
a
令x=at
L[ f (at)] 1
依次类推，则得
L tn t n Lt n-1 t s
L tn t n L t n-1 t n n -1 L t n-2 t
s
ss
n n -1n -2 ss s
2 s
1 s
1 s
n! s n 1
当n=1时，有
1
L[t (t)]
s2
7.1.3 冲激函数 A d（t）
冲激函数的定义
d -
t <0 f (t) 0
t 0
0
f
(t )e- st dt
为有限值
F(s) f (t)e-st dt 0-
S j
拉氏正 变换
0
积分下线 0- 后面讨论中写成0
f(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。
例 用定义求f(t)象函数。其中a为实数，且a>0。
f (t) eat (t)
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
拉氏变换法的优点：
（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐 次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对 于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；
（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些超 越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。
7.2 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便 地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质 可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线 性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。
dt
a1F1(s) a2 F2 (s)
例 求函数的象函数 f (t) ea1t bea2t
解 L[ f (t)] L[ea1t bea2t ] 1 b s - a1 s - a2
7.2.2 尺度变换
若 f (t) L 则 f1(at) L
F (s) 1 F(s) aa
a为大于零的实数
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
L tn t tne-stdt 0
则
t ne-stdt
udv
0
0
uv 0 - 0 udv
设 u tn, dv e-st dt 亦即
- tn
e - st
n
t n-1e-st dt
s 0 s0
L tn t n L t n-1 t s
n t n-1e-st dt s0
s
s
2
2
6、双曲线正弦函数 sh bt t
sh bt 1 eb t - e-b t 2
故有
L shb t
t
s2
b -b
2
7、双曲线余弦函数 ch bt t
与双曲线正弦函数相类似可得
Lch
b t
t
s2
s -
b
2
7.1.2 t的正幂函数tn t (n为正整数
由定义可得 tn t 的拉普拉斯变换为
s -
由此可导出一些常用函数的变换 ：
1、单位阶跃函数 t
(t)
1 0
t 0 t<0
F(s) 1
0
s -
L t 1
s
2、正弦函数 sin t t
sin t 1 ej t - e- j t 2j 故有
Lsintt
L 21j
e j t
- e - j t
t
1 2j
s
1
- j
-
解 根据拉氏变换的定义
F (s)
0-
f
(t)e-st dt
e e dt e dt e at -st
-( s-a )t
-( s-a )t
0-
0-
- (s - a) 0-
1 [1- lime-(s-a)t ] 因为s j
s-a
t
lim e e -( -a)t - jt
t
1 s-a