指数式和对数式不等式的解法

亲尊式的解法

侖理弍、檸弍刁:等弍的餡法

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L./X-^) v c^c^)]

2

侖理式、幣式彳等式的餌注 ---------- 复习

4.

不欝占（兀一2）（— 1） > o

（JC — 4）（兀一3）

5.

7/w >巩兀）o

/ g > o

£(兀)二

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./ (^) A [&(兀)]2

⑴华⑴•塔⑴>0

（5）

y

\W ）»^W>0

E(x) > o

\(*) > o

亦数式、対数弍刁:等式的超怯一基本垄型

原不等式可以化为：

⑴皿心> a gW

(2)・log/(%)>log“g(x)

(3\A(a x f+Ba+C>G

(4) .A(log u x)2 + 51og u x + C>0

薦毅式、対数式刁^等弍的餡:主----- 拓例1

. c 1、2-1）

例 1 •解不等式2" -“-3 V —

（2丿

解：原不等式可以化为

3 _3（乂_1）

乂2_2乂_

因为上不等式中所含的以2为底的指数函数是增函数, 所以以上不等式成立，当且仅当

— 2«x — 3 v —3（兀一1）力比、/. 解这个不等式，得

{x\-3

所以原不等式的解为{xl-3

鳥数式、对数式不等式的餡•:主

a fM < a8(x)

。当a > lHt： f(x)

当Ova vl时：f (x) > g(x)

北数弍、对数弍4等弍的餌怯------- 毘例2

例2.解不等式log I (x2 -3x-4)-log i (2x + 10) >0

33

解：原不等式可以化为

log 1 (x2— 3% — 4) > log i (2x + 10)

3 3

因为上不等式中所含的以丄为底的对数函数是减函数，

3

所以以上不等式成立，当且仅当［/_3兀_4>0

< 2x + 10 >0 成立.

解这个不等式组，得x2-3x-4<2x + 10

兀1兀<一1或兀〉4}1 {x\x> -5}I {兀|一2<兀<7} = {兀1一2

所以原不等式的解为{x\—2

北数式、对毅弍不等弍的餌怯----- 盖型2 log°/(x)

当a > 1时:

/(x)>0

g(x) > 0

/(x) V g(x)

/(x) > 0

当0 < a < 1 时:< g (x) > 0

/(兀)> &(乂)

亦数弍、对毅弍不等弍的超袪 ------- 炫例3例3.解不等式4" -3・2川-16 > 0 解：原不等式可以化为

(2A)2-6*2r-16>0

分解因式，得

(2x-8)(2x + 2)>0

2% + 2>2>0

2"-8>0

2X>23

解这个不等式, 得{x I x > 3}

所以原不等式的解为& |兀> 3}

角软弍、对软弍4筝弍的餡怯------ 盖理3

4(/)2 +册+ c>0

令％ =/得：Au1 +Bu + C > 0

求使这个一元二次不弑成立的正角觀的范围, 使/在这个范围險的值的集合就是原不等式的解集。

角软式、对毅弍彳等弍的鋼怙 ----- 范例4

例4•解不等式 J4_log3；v

log 3 x < 4 log 3 x > 2

log 3 x < 0或 log 3 x > 3 3

log 3 27 < log 3 x < log 3 81

27 < % < 8

4 — log 3 x > 0

log 3 x — 2 > 0

4 — log 3 x < (log 3 JV — 2)2

log 3 x < 4 v log 3 x > 2 (logs 兀)2 -31og 3 x 解这个不等式组，得 >0 也就是 所以

所以原不等式的解为（xl27

觴数弍、対数弍4等弍的館:主龛理4

4(loga %)2+ Blog a x + C > 0 = log" X得：Au1 + Bu + C > 0 求使这个一元二次不弑成立的%的范

围, 使log。％在这个范围的r的值的集合就是原不等式的解集。

北毅式、对毅式“等式的餌怯 角军十容季二 X 三 JC 2 —1 4 亏 Q (log 2 Q (log 2 o (log 2 < ］、2(兀一1) (log 2 K o / _ 1 s 2(x -1) u> {兀 | 兀二 北) X )2 —1 > 2(2 + log 屁 x) 兀)2 — 2 log JC — 5 > 0 丸)2 —4 log 2 乂 一 5 > 0 —1或 log 2 乂 > 5 <=> log 2 X < <=> log 2 X <=> x v 丄或丸 > 32 u> {x I 2 V log 2 3 或 log 2 X

> log 2 32 兀V 丄或JV > 32} 2