(优选)线性规划的基本概念与基本定理
线性规划的基本定理-最优化方法
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
第一章线性规划的基本概念
Pj = (a1 j , a2 j ,⋯, amj ) , j = 1,2,⋯, n
T
三线性规划的标准形式
• LP的标准型： LP的标准型 的标准型： • 1、LP标准型的概念 LP标准型的概念 • （1）什麽是LP的标准型？ 什麽是LP的标准型 的标准型？ • （2）LP标准型的特点 LP标准型的特点 • 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min） 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; • 约束条件均用等式表示; • 决策变量限于取非负值; 决策变量限于取非负值; • 右端常数均为非负值 ;
（3）数学表达式: 数学表达式:
有几种形式? 有几种形式? 如何书写? 如何书写?
2、LP问题的标准化 LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化 Z’=Z’=-Z
MinZ=CX
MaxZ’=MaxZ’=-CX
目 标 函 数 标 准 化 示 意 图
y’ = -f (x) -3 1 0 -1 2 5 x y 3 y=f (x)
第一步－ 建立平面直角坐标系； 第一步－－建立平面直角坐标系； 第二步－－ －－根据约束条件和非负条件画出 第二步 －－ 根据约束条件和非负条件画出 可行域。 可行域。 第三步－－ 作出目标函数等值线（ －－作出目标函数等值线 第三步 －－ 作出目标函数等值线 （ 至少两 结合目标函数优化要求， 条）， 结合目标函数优化要求，平移目 标函数等值线求出最优解。 标函数等值线求出最优解。
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
做这个题目
• 一个生产家具的公司计划生产两种产品－ 椅子和桌子，其可用资源包括400板英尺的 红木板和450个工时。已知生产每把椅子需 用红木板5板英尺，10个工时，其利润为45 美元，而生产每张桌子需要红木板20板英 尺和15个工时，其利润为80美元，问题是 要确定，在资源约束范围内，公司生产多 少把椅子和多少张桌子，其总利润最大？
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1，c2，...，cn为系数，x1，x2，...，xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列约束条件，通常是一组线性等式或不等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的变量值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式具有以下特点：1. 目标函数为最小化形式：minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式：Ax = b3. 变量的非负性约束：x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量，直到找到最优解。
1. 初始化：选择一个初始可行解。
2. 进行迭代：根据当前解，确定一个非基变量进入基变量集合，并确定一个基变量离开基变量集合，以改进目标函数值。
3. 改进解：通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
4. 终止条件：当无法找到更优解时，算法终止。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 生产计划：确定如何分配有限的资源以最大化产量。
2. 运输问题：确定如何分配货物以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定如何分配有限的资源以最大化效益。
4. 投资组合：确定如何分配资金以最大化投资回报率。
5. 作业调度：确定如何安排作业以最小化总工时。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示，可以是利润、成本等。
2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线性不等式或等式表示。
例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。
3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2等表示。
决策变量的取值决定了问题的解。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
以下是一个简单的线性规划模型示例：假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。
已知每单位A产品的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。
同时，公司有两个限制条件：1）每天生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。
现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。
决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。
目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。
约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。
四、求解方法线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法等。
以下是单纯形法的基本步骤：1. 初等行变换：将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构造初始可行解：通过人工选取初始可行解，使得目标函数值为0。
3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使得目标函数值增加最快。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的决策变量表示问题中需要优化的量，可以是实数、整数或布尔值。
2. 目标函数：线性规划的目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式，通常表示为求解最小值或最大值。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值范围的线性等式或不等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值组合称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最小值或最大值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划的建模过程包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件。
1. 决策变量的确定：根据问题的实际情况，确定需要优化的变量及其取值范围。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，将需要最小化或最大化的目标转化为线性表达式。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
四、求解方法线性规划可以使用多种方法求解，常见的有单纯形法和内点法。
1. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，通过不断移动顶点来逼近最优解。
它从一个可行解开始，通过交换变量的值来改进目标函数的值，直到找到最优解。
2. 内点法：内点法是一种基于迭代的方法，通过在可行域内寻找最优解。
它通过将可行域内的点逐渐移向最优解，直到找到最优解。
五、应用案例线性规划在实际应用中具有广泛的应用场景，以下是一个简单的应用案例：假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个车间可供生产，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A每单位需要1小时的生产时间，产品B每单位需要2小时的生产时间。
车间1每天最多可生产100单位产品A或80单位产品B，车间2每天最多可生产80单位产品A或60单位产品B。
公司希望确定每天的生产计划，以最大化利润。
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法和应用进行详细阐述。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，用于表示需要最大化或者最小化的目标。
1.2 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，用于限制变量的取值范围。
1.3 可行解与最优解：线性规划问题存在无穷多个可行解，但惟独一个最优解，即使满足所有约束条件且使目标函数取得最大（或者最小）值的解。
二、线性规划模型构建2.1 决策变量：线性规划模型中的决策变量是需要优化的变量，可以是实数、整数或者二进制数。
2.2 目标函数的构建：根据问题的具体要求，将目标转化为线性函数的形式，并确定是最大化还是最小化。
2.3 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式的形式，并确定约束条件的数学表达式。
三、线性规划的求解方法3.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解点。
3.2 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法进行求解。
该方法将线性规划问题转化为整数规划问题，并采用分支定界等算法求解最优解。
四、线性规划的应用4.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化产量或者最小化成本。
4.2 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如确定最佳的人力资源配置、物资采购策略等。
4.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，如确定最佳的货物运输路线和运输量，以降低运输成本。
4.4 金融投资：线性规划可以用于优化金融投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
运筹学—104线性规划的基本定理
0
1
信息系刘康泽
由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且 | B |≠0。当 矩阵B的行列式等式零，即 | B |＝0 时就不是基。
例如：B10
5 10
1
2
,
B10
0 , B10不是基。
2、基向量: 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应
的列向量称为 基向量，其余列向量称为非基向量。
m
n
或
Pj x j b Pj x j
j 1
i m1
m
令非基变量为0，则
Pj x j b
j 1
利用克莱姆法则可得一个基解：x (x1, x2, , xm,0, ,0)T
这个解的非零分量的个数不大于方程个数 m.
x1
特别的: 若
x2
a1m1xm1 a2m1xm1
xm amm1xm1
【注3】若K，L都是凸集，则 K L 也是凸集。
K L { x | x , K , L}
【注4】若K，L都是凸集，则 K L 不一定是凸集。
K
不是凸集
L
信息系刘康泽
2、凸组合：设 x , x(1) , x(2) , , x(K ) 是 Rn 中的点，若
K
存在1，2， K ，且 i 1 ，i 0，使得： i 1 K x i xi 1x1 2 x2 K xK i 1
(它不超过 Cnm个)，
【推论1】 若LP问题的可行解集非空且有界，则最 优解一定可以在可行解域的极点达到。
若可行解集无界，则LP问题可能有最优解，也可能 没有最优解。
【推论2】若LP问题的最优解在可行解域的 t 个极点 达到，则在这些极点的凸组合上也达到最优解。
信息系刘康泽
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性模型的最优解。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
2. 决策变量：表示问题中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：线性规划问题必须满足一定的约束条件，这些约束条件可以是等式或不等式。
例如，Ax ≤ b 或 Ax = b。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制约束条件的图形，然后找到目标函数的等高线，最后确定最优解的位置。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。
3. 整数规划：当问题的决策变量需要取整数值时，称为整数规划。
整数规划问题的求解相对更复杂，可以使用分支定界法等方法进行求解。
三、线性规划的应用1. 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，例如确定每个产品的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，例如确定货物从不同地点到达目的地的最佳路径和运输量。
3. 投资组合：线性规划可以用于优化投资组合，例如确定不同资产的投资比例，以最大化收益或最小化风险。
4. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链管理，例如确定不同供应商的采购量和价格，以最小化总成本。
5. 能源优化：线性规划可以用于能源优化，例如确定不同能源来源的使用量，以最大化能源效率。
四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划基于线性假设，即目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
线性规划的基本定理
01
最优极点 观察上例，最优解在极点(15,2.5)达到，我们 现在来证明这一事实:线性规划若存在最优解, 则最优解一定可在某极点上达到.
பைடு நூலகம்02
3.线性规划的基本性质
3.线性规划的基本性质
根据表示定理，任意可行点x可表示为
考察线性规划的标准形式(3. 2)
3.线性规划的基本性质
把x的表达式代入(3. 2),得等价的线性规划:
3.线性规划的基本性质
称为一组可行基.
B b>0,称基本可行解是非退化的,若
-
若
B b0,
-
且至少有一个分量为0,称基本可行解是退化的.
3.线性规划的基本性质
3.线性规划的基本性质
3.线性规划的基本性质
3.线性规划的基本性质
容易知道,基矩阵的个数是有限的,因此基本解从而基本可行解的个数也是有限的, 不超过
3.线性规划的基本性质
证明: (提纲) 设x是K的极点,则x是Ax=b,x0的基本可行解. 设x是Ax=b,x0的基本可行解,则x是K的极点.
定理3. 3 令K={x| Ax=b,x0},A是m×n矩阵,r(A)=m 则K的极点集与Ax=b,x0的基本可行解集合等价.
3.线性规划的基本性质
,先证极点x的正分量所对应的A的列线性无关.
3.线性规划的基本性质
于是,问题简化成
在(3.6)中令
1
显然,当
2
时目标函数取极小值.
3
3.线性规划的基本性质
3.线性规划的基本性质
(p)
x
因此极点
是问题(3.2)的最优解.
即(3.5)和(3.8)是(3.4)的最优解,此时
3.线性规划的基本性质
线性规划
Q1（25，0） O（0，0） 10
1 - 17
20
30
40
x1
x2 50 40 30
20 可行域 10
目标函数是以S作为 参数的一组平行线
x2 = S/30-（5/3）x1
10
1 - 18
20
30
40
x1
x2 50 40 30
当S值不断增加时，该直线
x2 = S/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移 动。
1 - 26
线性规划
解：1.转化成数学模型
max S = 6x1 + 4x2 s.t. 2x1+3x2 100 4x1+2x2 120 x1,x2 0
1 - 27
线性规划
解：2.引进松弛变量x3,x4 0 数学模型标准形式：
max S = 6x1 + 4x2 s.t. 2x1+3x2 +x3 = 100 4x1+2x2 +x4 = 120 x1 , x2 , x3 , x4 0
3.若约束条件是“”不等式
a
n
ij
x j z j bi
1-8
线性规划
例二：将下列问题化成标准型:
Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7
x1-x2+x3 2
-3x1+x2+2x3 = 5 x1,x2 ,x3 0
1-9
线性规划
标准形式：
Max S` = x1-2x2+3x3 s.t. x1+x2+x3 +x4 =7 x1-x2+ x3 -x5=2 -3x1+x2+2x3 =5
线性规划的基本概念与解法
线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。
它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。
这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。
例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。
通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解存在于约束条件所定义的空间中。
4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。
最优解可以是唯一的，也可以有多个。
二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。
通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。
该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。
3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。
该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。
三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。
3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。
4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。
§1.3 线性规划的基本概念和基本定理
6. 基变量 —— 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 ——与非基向量相对应的变量,ห้องสมุดไป่ตู้共有n-m个.
p16-1
§3 线性规划的基本概念与基本定理
一、线性规划问题的基与解
设有标准型:
AX b X O min z CX (1 1 ) (1 2 ) (1 3 )
运筹学
运筹学
1. 可行解 —— 满足约束条件(1-1)(1-2)的解. 2. 最优解 —— 满足(1-3)式的可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称
B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 —— 基B的每一列向量, 共有m个.
5. 非基向量 ——A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个.
min z x 1 x 2 x 3 s .t . x 1 3 x 2 x 3 4 x2 x3 x4 8 x j 0 , j 1, ,4
p16-3
运筹学
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解. 例 找出所有基本解, 并指出其 中的基本可行解和最优解.
2.1 线性规划的定义
目标函数值为：z=15
x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x6、x2、x3，非基变量x4、x5、x1
3x2 3x2 -x2
+x3 -x3 +x3
+x6
=15 =18 =3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，11/2，-3/2，0，0，10） 是基础解但不是可行解。
x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x5、x2、x3，非基变量x1、x4、x6
3x2 3x2 -x2
+x3 -x3 +x3
+x5
=15 =18 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，3，6，0，15，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
B N
B 1b X 0
为基B下的基本解。
三、线性规划的基本概念
• 7、基本可行解：符合非负性要求的基本解， 称为基本可行解。 • 8、可行基：基本可行解对应的基，称为可行 基。 • 9、基本最优解：满足目标函数要求的基本解， 称为基本最优解。
三、线性规划的基本概念
max Z CB B 1b (CN CB B 1 N ) X N s.t. X B B 1b B 1 NX N (1.5) XB, X N 0
=
(1.4)
=
结论：
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在诸多领域中都有广泛的应用，如生产计划、物流调度、投资组合等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法和应用进行详细总结。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
它通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为常数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值组合称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型建立1. 决策变量的确定：根据实际问题，确定需要优化的决策变量及其取值范围。
2. 目标函数的建立：根据问题要求，将目标转化为线性函数，并确定系数。
3. 约束条件的建立：根据问题中给出的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式，并确定系数。
4. 模型的完整表达：将目标函数和约束条件整合在一起，形成线性规划模型。
三、解法1. 图形法：对于二维或者三维的线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来找到最优解。
2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断挪移顶点来寻觅最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更难求解，可以使用分支定界法等算法进行求解。
四、应用1. 生产计划：线性规划可以匡助企业确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 物流调度：线性规划可以优化物流调度方案，使得运输成本最低或者配送时间最短。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
线性规划广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域，可以帮助优化资源分配和决策制定。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量表示需要优化的决策变量，可以是实数或非负数。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
3. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，这些等式或不等式称为约束条件。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过标准形式来表示，其形式如下：最小化：C^T * X约束条件：A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的常数向量。
四、常见解法1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，并找到最优解所在的顶点。
2. 单纯形法：适用于高维的线性规划问题，通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。
3. 整数线性规划：当变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解，如分支定界法、割平面法等。
五、常见应用1. 生产计划：线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以最大化产量或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以优化资源的分配，如确定最佳的人力、物力和财力分配方案。
4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、注意事项1. 线性假设：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题，不适用于非线性问题。
2. 敏感性分析：线性规划的解对目标函数系数和约束条件右端常数的变化具有一定的敏感性，需要进行敏感性分析。
线性规划的基本概念与应用知识点总结
线性规划的基本概念与应用知识点总结线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹学中一种常见的数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的基本概念和应用知识点涉及到数学模型的建立、目标函数的设定以及约束条件的制定等方面。
本文将对线性规划的基本概念和应用进行总结。
一、基本概念1. 数学模型的建立线性规划首先需要建立数学模型，将实际问题转化为数学形式。
一般情况下，线性规划模型可以表示为：Max/Min Z = C^T * XSubject to: A * X ≤ B; X ≥ 0其中，Z表示目标函数，C为目标函数系数向量，X是决策变量向量，A为约束条件的系数矩阵，B为约束条件的限制值。
2. 目标函数的设定线性规划的目标是通过优化目标函数来达到最佳解。
目标函数可以是最大化或最小化某个特定指标，如利润最大化、成本最小化等。
目标函数的设定需要根据具体问题来决定，优化目标必须是线性函数。
3. 约束条件的制定线性规划的约束条件可以是等式约束或不等式约束。
等式约束表示各种资源的使用总量必须等于某个固定值，而不等式约束表示各种资源的使用总量必须小于等于某个限制值。
约束条件的制定需要考虑问题的实际情况和限制条件，确保模型的可行性。
二、应用知识点1. 单目标线性规划单目标线性规划是指在一个目标函数下，满足一系列线性约束条件的优化问题。
求解单目标线性规划可以使用常见的线性规划求解方法，如单纯形法、内点法等。
2. 多目标线性规划多目标线性规划是指在多个目标函数下，满足一系列线性约束条件的优化问题。
多目标线性规划的求解方法包括权重法、边界法、Tschebyshev法等，可以通过确定权重系数或设定目标函数的权重范围来获得一组最优解。
3. 整数线性规划整数线性规划是指在线性规划的基础上，限制决策变量为整数的优化问题。
求解整数线性规划可以使用分支定界法、割平面法、混合整数线性规划解法等。
4. 网络流问题与线性规划的等价性网络流问题可以通过线性规划的方法进行求解。
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1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是一组基。而
1 1
•
p1
1, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
• 这是因为，按照定义，基本解中的 n-m个非基变量必须取0值只有 m个基变量取值才可能不等于0。但可以取负值。因此基本解不一定 满足SLP的非负要求。
• 定义9：对应于基B的基本解，若基变量取非负值，即xB=B-1b>=0，
则称它为满足约束 Ax=b, x>=o的基本可行解。
• 对应地称B为可行基，因SLP中具有此约束条件。也通常 称为SLP 的基本可行解。
三. 基、基本可行解
定义6：对于约束条件Ax=b，设A是秩m的mｘn矩阵，用(Pj, j=1 ~n) 表示A的第j列向量。即A=( p1.... pn )。由A的m个列向量构成 的m阶方阵 B=( p j1 , p j2 ... p jm )
• 若B是非奇异的，即detB‡0，则称B为一个基或称为一个基矩阵。
上面我们讲到基本解中有n-m个分量必须取零值，而 只有m个基变量取非零值。而基本可行解，它一方面是基本 解，另一方面又是可行解，因为它是基本解，所以n-m个非 基变量取0值；它是可行解，则m个基变量取非负值，从而 基本可行解正分量是个数不超过m.
那么满足Ax=b, x 0的正分量个数不超过m的可行解 （Rank(Amn)=m）是否一定是基本可行解呢？ •我们举例说明这个问题。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
• 因为SLP问题中含有约束条件Ax=b，因此也通常称B为线性规划SLP 的一个基。
•由上面定义可知，B中m个列向量是线性无关的，并且它是 A的列向量组的一个最大无关组。
•按定义，A中m个列向量，只要是线性无关的就可以构成一
个基。
• 定义7：若变量x j 对应A中列向量p j包含在基B中，则称x j为
x1 x2 x3 4 例5.已知约束条件为： 2x1 2x2 x4 8
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0
它有正分量个数等于m(m=2)的可行解:x1=3,x2=1,x3=0,x4=0 但它不是基本可行解。
证：（反证法）假设可行解x=(3,1,0,0)T是上面约束的基本 可行解。因为基本可行解中非基变量取0值，基变量取非 负值。
• B 的基变量；若变量xk对应A中的列向量pk 不包含在基B中，
x • 则称 k为B中的非基变量。 x1 x2 x3 5
例3.求x1----x5 满足
x1 x2 x4 2 6x1 2x2 x5 21
使min f= 2x1 x2
xi 0, i 1 ~ 5
•解：A=
1 1
1 1
•现在我们把例4中松弛
x2
变量x3, x4去掉，约束变
为 x1 x2 4
(3,1)
•定义8 ：设Ax=b, x 0一个基B
p
j
...
1
p
j
m
，其对应的基变
量构成的m维列向量记为xB (x j1...x jm )T
这时若全非基
• 变量等于0，则 Ax=bBxB=b,得唯一解xB=B-1b.记为
于是得到方程组BAx1b=b的(b一1 ..个.bm解)T： 非基变量 x j 0,( j 1,2....n,i j1, jm
在这个可行解中x1,x2非零正值，因此x1,x2不可能是非基变 量，只能是基变量。
按定义，基变量对应的系数矩阵中的列向量p1,p2应构成一 个基矩阵B.但这里p1,p2 是线性相关的（p1=p2), 这与B是基 矩阵矛盾。故知x=(2,1,0,0)T不是基可行解。
•由此例可见，虽然可行解（3，1，0，0）T 正分量 个数不超过m，但它的正分量对应的列向量不是线 性无关的，不能与一基矩阵相联系，所以它不是一 个基本可行解。
域上目标函数值无下界。那么，有无界解的线性规划问题一定
没有最优解。
例1.考虑线性规划问题：
max x1 x2
1 , 1 x2 x1 x2 1 2 2
x1 x2 1
s.t x1 x2 1
x1 0, x2 0
解：问题的可行域是上图 x1 x2 l1 0 所示的 无界 凸多边形区
x )
j1
b1,
称之为对应于基B的基本解。这个定义也告诉我们怎样找一个
基本解）
• 如：上面例2中， 非基变量 x1=x2=0.则可得x3=5,x4=-2,x5=21.所以 x0=(0,0,5,-2,21)是对应于基B的一个基本解，但由于x4=-2<0.不能满足 约束条件，所以这个基本解不是原问题的可行解。（为什么？）
（优选）线性规划的基本概念 与基本定理
定义5：对于极大化目标函数的标准线性规划问题，定义其无 界解如下：对于任何给定的正数M，存在可行解 X 满足 AX = b，X ≥0，使 cX >M。那么称该线性规划问题有无界解。
由定义可知，无界解的 意思 是：若是极大化目标函数，则在
可行域上目标函数值无上界；若是极小化目标函数，则在可行
x1 x2 1 x1 x2 l
x1
域，在此无界可行域上，
目标函数值无上界，所以这个线性规划问题有无界解。
例2. max f=x1 x2 s.t
x1 x2 1 x1 x2 1 x1 0, x2 0
• 解：此问题的可行域如上图，是一个无界的 多边形。但 极大化目标函数却以1为上界。因此这个线性规划问题没有无 界解，而且事实上，此问题目标函数最优值max f=1在可行域 射线 x1 x2 1 上均可达到。