小学数学数论讲解及练习题整数分拆之最值与应用真题

整数分拆之最值与应用

一、拆分的基础知识

整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、

平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。

二、拆分基本方法

1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后

乘积最大”原则。

2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大

应将数列拆分成：a234…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：

⑴当多0时，将a拆成a234… (n-1)n；

⑵当多1时，将a拆成a345… (n-1)( n-1)；

⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。

例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？

234567835

比30大5，故将5去掉

30被拆成234678

【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？

【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？

【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。

【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。

【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？

【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。

这三块中哪一块地最大？面积是多少？

【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？

这个最大的乘积是多少？

【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。

【例6】把72拆分成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽可能大，如何拆分？

【巩固】把1993拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？

〖答案〗

【例1】将15进行拆分，并计算乘积

15114 11414

15213 21326

15312 31236

15411 41144

15510 51050

1569 6954

1578 7856

15拆分成7和8的和，乘积最大，是56

【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时

有110，29，38，47，56五种方法

它们的乘积分别是：11010，2918，3824，4728，5630

显然，把11拆分成56时

有最大的积5630

【巩固2】把14拆分成两个自然数之和，共有7种不同的方式

若想乘积最大

1477，7749

因此，当把14拆分为两个7之和的时候，乘积(7749)最大

【例2】⑴由例1的说明对于两个数可知，假设n a b (a≥b)且a b＞1时，乘积a b不是最大的。

换句话说，若n a b (a≥b)，当a、b两数相等或差为1时，乘积a b取最大值。

⑵那么对于三个数呢？

假设n a b c (a≥b≥c)且a c＞1时，乘积a b c不是最大的。

若n a b c(a≥b≥c)，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a b c取最大值。

因为14342，

由分析可知：当a b5且c4时

乘积a b c554100为最大值

【巩固】利用上面的结论可知，若n a b c (a≥b≥c)

当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a b c取最大值

由分析可知：当a b6且c7时

乘积a b c667252为最大值

【例3】反复使用上述结论，可知要使拆分成的8个自然数的乘积最大

必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1

因为1999÷8249…7，199982497

由上述分析，拆法应是1个249，7个250

其乘积2492507为最大

【巩固】利用例题3的结论：可知要使拆分成的6个自然数的乘积最大

必须使这6个数中的任意两数相等或差数为 1

因为15536258 5

由上述分析，拆法应是1个258，5个259

其乘积2582595为最大

【例4】36种，当长与宽都是36厘米时,面积最大

【巩固】边长是25的正方形的地面积最大，是625平方米

【例5】根据上面的讨论结果，我们应该把14拆分成四个3与一个2之和

即143333 2

这五数的积有最大值33332162

【巩固】⑴∵2001667 3

∴2001拆分成(667个3的和)时，其积最大

⑵∵19946643 2

∴1994拆分成(664个3的和)2时，其积最大

⑶∵19936643 1

33322时，其积最大

∴1993拆分成

663个3

【例6】为使所有加数的乘积最大，显然要使加数的个数尽可能多，每个加数尽可能小，但又不能是1，所以应将72拆分成从2开始的若干个连续自然数。

因为：234…1165＜72

234…1277＞72

77725，所以从加数中去掉5

即：482346789101112

最多可以拆成10项

【巩固】 23...212324 (63)