类比思想在中学数学中的应用

交 对边 于 点 A ,B ,C , 则
OA AA
OB BB
OC CC
OD DD
1.
OA OB OC 1.
AA BB CC
,则
3. 平面几何与立体几何的类比：
立体几何与平面几何是前后衔接的两门相近科学， 不少相关定理既有联系又
有区别，立体几何的某些定理又可以溯源于
C
平面几何中的某些定理因此立体几何的教 学中可以由平面几何的知识类比引入的例
三角形
四面体
在Δ ABC中， A 的平分线 在四面体 A-BCD中，二面角 C-AB-D的平分面交棱 CD于
AB 交 BC于 D，则 AC
S BCE BD DC ． 点 E，则， S BDE
S ABC S ABD ．
设Δ ABC 的三边长分别为 设四面体 A-BCD的四个侧面的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ，
图6
为 V，其内切求的半径为 r ，球心为 O，则有
P
1
V r (s1 s2 s3 s)
3
。（如图 6）
BD E
A
图7
C
B N
F L
M
(5) 平面上，点 A、C 为射线 PM P
上的两点，点 B、D 为射线 PN 上的两
BD
s PAB PA? PB
A
N
点，则有 s PCD PC ? PD ；（如图 7）
古语云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要 学方法。类比思想是富于创造性的一种方法 ,它既是一种逻辑方法，也是一种科学
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研究的方法， 是最重要的数学思想方法之一， 在中学学数学中有着广泛的应用。 4 下面我将分四部分：第一部分总结了类比思想在数学概念中体现；第二部分归纳 了类比思想在数学公式中体现；第三部分阐述了类比思想在数学性质中体现；第 四部分结合例题分析了类比思想在数学解题中体现。接下来将具体论述这四个部 分。
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质，重要结论有许多可类比的地方。
（一）类比思想在中学几何公式中的体现
1. 面积公式的类比：
三角形面积公式： S 三棱锥体积公式： V 梯形的面积公式： S 棱台的体积公式： V
1 ah ， 2
1 Sh ； 3
1 (a b)h ； 2
1 3
(
S1
S1S2
S2 )h ；
2. 平面内的一般三角形与空间中的四面体公式类比：
除此之外，类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有 了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根 据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找 到具有创新性的解题方法。 2
伟大的德国古典哲学家康德也曾经说过：每当理智缺乏可靠论证的思路时， 类比，这个方法往往能指引我们前进在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥 梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识掌握新知识；而且是一种 理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象 化。 3
面 PAC、面 PBC、面 ABC的面积分别为 s1 、 s2 、 s3 、 s ，三个面与底面所成的二面 角分别为 、 、 则有 s1 cos s2 cos s3 cos s 。（如图 2）
（ 2）平面上，在直角 ABC 中,
角 C 900 ，角 A、B、C 所对的边分
别为 a 、b、c，边 c 上的高为 h，则
一、类比思想在中学数学概念中的体现
数学教育家波利亚说： “类比就是一种相似。 ”把两个数学对象进行比较，找 出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方， 这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。
（一） 类比思想在中学几何概念中的体现
数学中的许多概念之间有类似的地方 , 在新概念的提出、 新知识的讲授过程中 , 运用类比方法 , 一方面可以让学生更好地理解新概念的内涵与外延 , 使学生更容易 接受新知识 , 其次也有利于掌握新旧知识间的区别和联系 , 有利于知识的迁移 , 更为重要的是可以让学生体会和学习类比思想方法 , 培养学生的创新能力。 5 众 所周知， 平面几何的基本构成元素是点和直线， 而立体几何的基本构成元素是点、 直线和平面。通过建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平 面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直 线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。
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(4) 平面上，在中 ABC , 角 A、 B、 C所对的边分别为 a 、 b、c， ABC 的内
心为点 O，内切圆的半径为 r ， ABC 的面积为
P
1
s r (a b c)
S, 则有 2
；（如图 5）
A
空间中，四面体 P ABC , 面 PAB、面 PAC、面
O
r
C
PBC、面 ABC的面积分别为 s1 、 s2 、 s3 、 s ，体积
a 、 b 、 c ，Δ ABC的面积 S4 ，内切球的半径为 r ，外接球的半径为 R ，则
为 S ，内切圆半径为 r ， r
外接圆半径为 R ，则
（1）
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3V S1 S2 S3 S4 ；
r
2S
（ 1） a b c ；
（2） R 3r ．
（ 2） R 2r ．
在Δ ABC中，
在四面体 A-BCD中，棱 AB与面 ACD、BCD的夹角分别 ，
定理 )
其中 , , 分别为 S1 面与 S2 , S3, S4 面所成二面角的大
其 中 a,b, c 分 别 为 角 小．
A, B,C 的对边．
在Δ ABC中， a2 b2 c2 2bc cos A
在四面体 A-BCD中， S12 S22 S32 S42 2S2S3 cos
2S3S4 cos
2 S2S4 cos .
1. 平面几何与立体几何在概念上的类比如： （1） 平面角是由一个交点与两条直线组成； 二面角是由一条直线与两个平面组成。 （2） 平面上，到直线 l 的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的两条直
线 l1,l 2 ；
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空间中，到直线 l 的距离相等的点的集合是直的圆形曲面； 空间中，到平面 的距离相等的点的集合是与平面 平行的两个平面 , 。 （3） 平面上，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的 点的集合是椭圆；空间中，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的 距离）的点的集合是椭圆面； 平面上，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的 集合是双曲线；空间中，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距 离）的点的集合是双曲面； 在平面，到定直线与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一条抛物 线；空间中，到定平面与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一个抛物 线面。
a
b
c
sin A sin B sinC （ 正
S BCD ，则 sin
S ACD sin ．
弦定理）．
在Δ ABC中，
在四面体 A-BCD中，四个侧面的面积分别为 S1 ，S2 ，S3 ，
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a bgcosC cgcosB ( 射影 S4 ，则 S1 S2 cos S3 cos S4 cos
正四面体的内切球与外接球的球
心重合即正四面体的中心，半径比为
3
3
6
6
r
a, R
a.
r
a, R
a.
１：２， 6
3 内切圆切于 １：３， 12
4 内切球切于
三边的中点。
四个面的中心。
正三角形的三边的中点的连线仍
正四面体的四个面的中心的连线
a 构成正三角形，边长为 2 。
a 仍构成正四面体，棱长为 3 。
个（非零）常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
二、类比思想在中学公式中的体现
在数学教学中，我们还看到，存在着并列关系的两个数学对象，它们之间无 论是教学内容和教材处理都很相似，如等差数列和等比数列在内容上是完全平行 的，包括定义 性质 通项公式等，两个数的等差（等比）中项 两种数列在函数角 度下的解释等，因此在等比数列的教学中，采用类比的方法，对等差数列的概念 公式和性质进行探索，归纳，类比，促进学生主动获得等比数列的知识它们的性
数学专业毕业论文
类比思想在中学数学中的应用
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类比思想在中学数学中的应用
前言
大数学家拉普拉斯曾经说过： “在数学的王国里， 发现真理的主要工具就是归 纳和类比。”1 所谓类比法， 是通过对两个研究对象的比较， 根据它们某些方面 （属 性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相 同或相类似的一种推理方法。 类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、 分析联想以至形成猜想来完成的， 是一种由特殊到特殊的推理方法． 利用类比法， 可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。
（二）类比思想在中学数列公式中的体现
1. 等差数列有关公式 6 ： 等差数列通式： an a1 (n 1)d 其中 a1 为首项， an 为第 n 项的通项公式， d 为公差 等差数列前 n 项和公式为： sn na1 n(n 1)d / 2 sn (a1 an) n / 2
2. 等比数列有关公式 6 ： 等比数列的通项公式是：
中学数学中的概念，公式，性质以及在解题中类比思想无处不在，通过类比 可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。 由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领 域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学 生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。
( 余弦定理 ) ．
其中 , , 分别为 S2 面与 S3 面， S3 面与 S4 面， S2 面与
S4 面所成的二面角．
设 O 是Δ ABC内任意一点， 设 O 是四面体 A-BCD内任意一点，连结 AO , BO, CO , DO
连 结 AO, BO,CO 并 延 长 并 延 长 交 对 面 于 点 A , B ,C , D
（二） 类比思想在中学数列概念中的体现
1. 数列中的等差和等比的概念也是类比关系 : (1) 等差数列， 如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差； (2) 等比数列， 如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一
正三角形的高
2 周长
h 6 a,
正四面体 的高
3 表面积
l 3a, 面积 S
3 a2 . 4
正三角形内任意一点到三边的距 离和为定值即正三角形的高。
正三角形的内切圆与外接圆的圆
心重合即正三角形的中心，半径比为
S
3a2, 体积 V
2 a3. 12
正四面体内任意一点到四个面的 距离和为定值即正四面体的高。
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an a1 qn 1 等比数列前 n 项之和公式为： （ 1）当 q≠ 1 时， Sn a1(1 qn ) / (1 q)或 Sn (a1 an q) (1 q) （ 2）当 q=1 时， Sn na1( q 1) 其中首项 a1 与公比 q 都不为零。
a
b
子很多例如： B
（ 1）平面上，在中 ABC , 角 A、B、C
A 图1 c
所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c 则 a cos B b cos A c 。 如 图 ：
a cos B bcos A c ；（如图 1）
P
空间中，四面体 P ABC , 面 PAB、 A 图2
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C B
1 11
A
2
2
2
有 h a b ；，
空间中，四面体
P ABC PA PB 、 PA PC 、
PB PC ， PD AB 、 PE BC 、
P
H D 图3
PF AC ，点 H 为点 P 在面 ABC内的射影，
1
1
1
1
则有 PH 2 PD 2 PE 2 PF 2 。（如图 3）
A
F
E B
P
图4
C
C
（ 3 ） 平 面 上 ， 在 直 角 ABC 中 , 角
B
C 900 ，角 A、B、C 所对的边分别
C
为 a 、 b、 c, 则有 a2 b2 c2 ；
图5
rO
A
B
空 间 中 ， 四 面 体 P ABC ，
PA PB 、 PA PC 、 PB PC ，面 PAB、面 PAC、面 PBC、面 ABC的面积分别为 s1 、 s2、 s3 、 s，则有 s12 s22 s32 s2 。（如图 4）
图8
C
空间中，点 A、C 为射线 PM上的
M
两点，点 B、D 为射线 PN 上的两点，
VP ABE 点 E、F 为射线 PL 上的两点，则有 VP CDF
PA ? PB ? PE PC ? PD ? PF 。（如图 8）
（ 6） 平面内的正三角形与空间中的正四面体公式类比： 7 / 17
h 3 a,