函数单调性的判别法
大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法全文
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值．
例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
函数单调性的判定法
单调区间求法
问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调. 但在各个部分区间上单调. 定义: 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 则该区间称为函数的单调区间 单调区间. 的,则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 导数等于零的点和不可导点, 的分界点. 的分界点. 方法: 方法: 用方程 f ′( x ) = 0的根及 f ′( x ) 不存在的点
第六章
微分学的应用
第一节
一元函数的几何性态
单调性的判别法
y
y = f ( x)
A
B
y
A y = f ( x) B
o
a
f ′( x ) ≥ 0
b
x
o a
f ′( x ) ≤ 0
b x
定理 设函数 y = f ( x )在[a, b]上连续,在 ( a, b )内可 上连续, . 如果在( a, b )内f ′( x ) > 0,那末函数 y = f ( x ) 导(1) 上单调增加; 在[a, b]上单调增加; ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ′( x ) < 0, 那末函数 y = f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
在( ∞ ,0)内, y′ < 0,
∴函数单调减少; 函数单调减少;
在(0,+∞ )内, y′ > 0,
∴函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 注意:函数的单调性是一个区间上的性质, 导数在这一区间上的符号来判定, 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性. 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.
4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点
例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!
函数单调性与曲线凹凸性的判别法
二、曲线的凹凸性及判别法
考察右图中的曲线, 注意到 曲线是向下凸的, 即任取曲线 上两点, 那么连接这两点的弦 总位于这两点间的弧段的上方. 即设点 A x1 , f x1 与点
y
f x1 f x2 2
y f x
x x f 1 2 2
1 1 1 x x x2 x2 F x 1 x 0, 1 x 1 x 1 x
所以 F x 在 0, 上单调增加, 从而
2
F x F 0 0 x 0 . 1 2 由此即得 ln 1 x x x x 0 . 2
在定义域内
是上凸的.
f x ex
1
f x ln x
3
4
5
6
-2
-1
1
2
2 例8 设函数 f x 2 x 5 x , 求曲线的凹凸区间. 3
解
当 x 0 时,
10 x 1 10 2 x 1 x f x , f , 3 3x 9 x3 x 1 当 x 时 f x 0, 而当 x 0 时, 二阶导数不存 2
y 0 x 2k ,
所以, 函数 y 在任何一个有限区间仅有有限个驻点, 由 上面的定理知函数是单调增加的.
水平切线
Y 12 10 8 6 4 2
y x sin x
p p
3p
2
4
p
X
例3 讨论函数 y 解
e x 1 的单调性.
x
x 因 y e 1. 所以当 x ,0 , y 0,
x1 x2 f x0 f . 2
6.4知识资料函数的单调性与曲线的凹凸性
所以 函数在[0, )单调增加.
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、函数单调区间的求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调.
若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间 的分界点．
证 设f ( x) 1 x2 ex sin x 且f (0) 0 2 定不出符号
f ( x) x ex cos x 且f (0) 0
f ( x) 1 ex sin x 0
0 x 1, f ( x) 0, f ( x) C[0,1].
所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ( x) 1 x2 ex sin x 2
f ( x) x ex cos x
f ( x)在[0,1]上单调增加
当0 x 1时,有f ( x) f (0) 0. 0 x 1, f ( x) 0, f ( x)C[0,1].
所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
(上)方, 称为凹(凸) 弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f (x)的切线斜率是单增的, 即f ( x)是单增的, 而凸 弧的切线斜率是单减的, 即f ( x) 是单减的.
利用二阶导数判断曲线的凹凸性
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
2. 凹凸性的判别法
y
B y f (x)
A
y
B y f (x)
证 任取x0 (a, b), 泰勒公式
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
函数的单调性
函数的单调性一、 函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数(0)y kx k =≠：○1当0k >时，函数y kx =在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx =在定义域R 上是减函数.(2)反比例函数(0)k y k x =≠： ○1当0k >时，函数k y x=的单调递减区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间；○2当0k <时，函数k y x=的单调递增区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间.(3)一次函数(0)y kx b k =+≠：○1当0k >时，函数y kx b =+在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx b =+在定义域R 上是减函数.（4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠：○1当0a >时，函数2y ax bx c =++的图像开口向上，单调递减区间是(,]2b a -∞-，单调递增区间是[,)2b a-+∞；○2当0a <时，函数2y ax bx c =++的图像开口向下，单调递增区间是(,]2b a -∞-，单调递减区间是[,)2b a-+∞. 注意：3()y f x x ==在定义域R 上是增函数，其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数()()f x af x 与，当0a >时有相同的单调性，当0a <时有相反的单调性；如函数()f x x =与3()3f x x -=-的单调性相反，函数()f x x =与3()3f x x =的单调性相同；（2）当函数()f x 恒为正（或恒为负）时()f x 与1()f x 有相反的单调性，如：函数1()0f x x =->((,0))x ∈-∞是递增函数，则111()x f x x==--在区间(,0)-∞是递减函数；（3）若()0f x ≥，则()f x与如：函数2()234f x x x =++，在定义域R 上，()0f x >，且()f x 是3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数，所以函数=3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数；（4）若()f x ，()g x 的单调性相同，则()()f x g x +的单调性与()f x ，()g x 的单调性相同.如211()x F x x x x -+==-+，令1(),()f x x g x x=-=，即 ()()()F x f x g x =+，因为函数()f x 在R 上单调递减，()g x 的单调递减区间是(,0),(0,-∞+∞），所以函数211()x F x x x x-+==-+的单调递减区间是 (,0),-∞(0,+∞）； (5) 若()f x ，()g x 的单调性相反，则()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.因为()g x -与()f x 的单调性相同，所以()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例1 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意,(0,)x y ∈+∞，恒有()()()f xy f x f y =+，且当01x <<时()0f x >，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性. 解 设,(0,),0x x h h +∈+∞>，则()()()[()]x f x h f x f x h f x h x h+-=+-⋅++ ()[()()]()x x f x h f f x h f x h x h =+-++=-++.01,()0,()0x x x f f x h x h x h<<∴>∴-<+++，()()0f x h f x ∴+-<，所以函数 ()f x 在(0,)+∞上的单调递减.二、 复合函数单调性的判定方法求复合函数(())y f g x =的单调性的步骤：（1） 求出函数的定义域；（2） 明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:(),()y f u u g x ==;（3） 确定简单函数的单调性；（4） 若这两个函数同增或同减（单调性相同），则(())y f g x =为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则(())y f g x =为减函数简记为“同增异减”.实例2 求函数()f x =解：由解析式得2340x x +-≥，即函数的定义域为{|41}x x x ≤-≥或.令234t x x =+-，则y =y t =是增函数，而234t x x =+-在(,4]-∞上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，∴函数()f x =[1,)+∞，递减区间为(,4]-∞.三、 单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数()y f x =在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值12,x x 且 12x x <，则12()()f x f x <.减函数也有类似的性质.示例3 已知函数()y f x =在[0,)+∞上是减函数，试比较3()4f 与2(1)f a a -+的大小.解：221331()244a a a -+=-+≥，34∴与21a a -+都在区间[0,)+∞内.又()y f x =在区间[0,)+∞上是减函数，23()(1).4f f a a ∴≥-+ 注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例4 已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，求x 的取值范围.解()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，∴可得不等式组111,1131,113,x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩即02,20,31.2x x x ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪<⎪⎩解得102x ≤<，所以所求1[0,)2x ∈. 2. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1） 若()f x 在定义域[,]a b 是增函数，则当x a =时，()f x 取得最小值()f a 当x b =，()f x 取得最大值()f b 如图2.（2） 若()f x 在定义域[,]a b 是减函数，则当x a =时，()f x 取得最大值()f a ，当x b =，()f x 取得最小值()f b 如图3.（3）已知函数(),[,],y f x x a b a c b =∈<<，如果()f x 在[,]a c 上是单调递增（减）函数，在[,]c b 上是单调递减（增）函数，则()f x 在x c =时取得最大（小）值，在x a =或x b =时取得最小（大）值，如下图4,5.示例5 求函数32y x =--.解：令()32f x x =-，()g x =()()y f x g x =-.由题意得函数的定义域为(,2]-∞.()32f x x =-在(,2]-∞上递增，()g x =在(,2]-∞上递减，但()g x -=(,2]-∞上递增，∴32y x =-(,2]-∞上为递增函数，∴当2x =时，y 有最大值4.注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本40页例34.解含“f ”的不等式根据函数()y f x =在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为增函数，若12()(),f x f x <则12x x <；若已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为减函数，若12()(),f x f x <则12x x >，就是增（减）函数定义的逆应用.示例6 已知函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，求实数x 的取值范围. 解：函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，2356x x ∴-<+，(3,)x ∴∈-+∞.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数(())y f g x =的定义域，是函数()g x 的定义域中，使中间变量()u g x =属于函数()f u 的定义域全体.示例1 若函数()f x 的定义域为[1,4]，求函数(4)f x +的定义域. 解：函数()f x 的定义域为[1,4]，∴使得(4)f x +有意义的条件是144x ≤+≤,即30x -≤≤，则(4)f x +的定义域为[3,0]-.注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”. 示例2 已知(3)f x +的定义域为[0,3]，求函数()f x 的定义域. 解题分析：函数(3)f x +和()f x 中的x 并不是同一个量，若设3u x =+，则(3)f x +变成()f u ，那么u 的取值范围才是函数()f x 的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.解：(3)f x +的定义域为[0,3]，03x ∴≤≤，则336x ∴≤+≤，所以 函数()f x 的定义域为[3,6].二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本初等函数，形如ax b y cx d +=+（0c ≠且分式不可约）的值域为{|}a y y c≠. 示例3 求函数311x y x -=+的值域 解：函数311x y x -=+，∴331y ≠≠，∴311x y x -=+的值域为{|3}y y ≠.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如225((,2])y x x x =--∈-∞的图像如右图所示，所以值域为[6,)-+∞.3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”x 或通过变形能化成只出现“一个”x 的函数，如1||,y x =-由||0x ≥，则1||1x -≤，可得(,1]y ∈-∞；又如2211172()24y x x x ==-+-+，因为2177()244x -+≥，所以2140177()24x <≤-+，所以4(0,]7y ∈. 示例4求函数23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域 解：232(1)55()2111x x f x x x x -+-===-+++，由221x x -≤≤≠-且，得 11310x x -≤+≤+≠且.令1t x =+，则130t t -≤≤≠且.结合反比例函数5y t=-的图像可知，当 130t t -≤≤≠且，即[1,0)(0,3]t ∈-时，55553t t-≤--≥或. ∴5555131x x -≤--≥++或.515()2()27131f x f x x x =-≤=-≥++或. ∴23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域为1-][7,)3∞+∞（，. 4.换元法：适用于无理式中含自变量的函. 示例5求函数y x =+.解：函数的定义域是{|1}x x ≤.t =，则[0,)t ∈+∞，2+1x t =-， 22212(21)2(1)2y t t t t t ∴=-++=--++=--+，0t ≥，结合二次函数的图像2y ∴≤，∴原函数的值域为∞（-，2].注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t 的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.5.判别式法：适用于形如22(,)ax bx c y a d dx ex f++=++不全为零且分式不可约的函数. 示例6 求函数2224723x x y x x +-=++的值域.解：由2224723x x y x x +-=++得2(2)2(2)370y x y x y -+-++=，当2y =时，方程无解；当2y ≠时，要使关于x 的方程有解，必须24(2)4(2)(37)0y y y ∆=---+≥， 解得9 2.2y -≤< ∴原函数的值域为92[-，2). 6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x 的解析式的函数.示例7 求函数2211x y x -=+的值域解：由2211x y x-=+得2(1)10y x y ++-=，当1y =-时，方程无解：当1y ≠-时，要使关于x 的方程有解，必须04(1)(1)0y y ∆=-+-≥，解得11y -≤≤.∴原函数的值域为[-1，1].示例7：求函数311x y x -=+的值域. 解：由311x y x -=+得1(1)31(3)103y y x x y x y x y ++=-⇒-++=⇒=--， 只要30,3y y -≠≠即，就有13y x y +=--.∴原函数的值域为{y |3}y ≠.。
函数的单调性及曲线的凹凸性
定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3
函数的单调性与曲线的凹凸性
§3。
4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法 定理1 设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增(减)的充要条件是)()('00≤≥x f .证 若f为增函数,则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有()()000≥--x x x f x f 。
令0x x →,即得00≥)('x f 。
反之,若)(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ,则对任意I x x ∈21,（设21x x <）,应用拉格朗日定理，存在，使得()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。
由此证得f 在I 上为增函数。
定理2 若函数f 在),(b a 内可导，则f 在),(b a 内严格递增（递减)的充要条件是：（1）),(b a x ∈∀有)()('00≤≥x f ；（2） 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f .推论 设函数在区间I 上可微，若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格）递增（递减）.注1 若函数f 在),(b a 内(严格)递增(递减)，且在点a 右连续，则f在),[b a 上亦为（严格)递增（递减）， 对右端点b 可类似讨论。
注2 如果函数)(x f 在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续,那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证)('x f 在各个部分区间保持固定符号,因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。
注意：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0>)('x f (或0<)('x f ），那么由于连续性,)(x f 在区间],[b a 上仍然是单调增加(或单调减少）的。
函数单调性极值最值与凹凸性拐点1
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f (x) 0的根;导数不存在的点
(3)这些点将定义域分成若 干区间并判断 f '(x)符号 (4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
利用泰勒公式]
练习题答案
一、1、(,1],[3,)单调增加,[1,3] 单调减少； 2、增加,(,1],[1,) 3、(,1],[1,) ；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].
二、1、在(,0),(0, 1],[1,) 内单调减少, 2
在[1 ,1]上单调增加； 2
2、在(, 2 a],[a,)内单调增加, 3
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
高数函数的单调性课件
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) a lim , x x
b lim[ f ( x ) ax].
17
x1 x2 . 证:任取 x1 , x2 [a, b], x1 x2 ,记 x0 2 利用拉格朗日中值定理, ( x2 x0 ) ( x0 x1 )
f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x0 ) [ f ( x2 ) f ( x0 )] [ f ( x0 ) f ( x1 )] f (2 )( x2 x0 ) f (1 )( x0 x1 ) x1 1 x0 2 x2 [ f (2 ) f (1 )]( x2 x0 ) f ( )(2 1 )( x2 x0 ) 1 2
第四节 函数单调性与曲线的 凹凸性
一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸性与பைடு நூலகம்点 三、小结
1
一、单调性的判别法
y
y=f(x) f (x)>0
y
y =f(x)
f (x)<0
o
a
b
x
o
a
b
x
2
定理
内可导
设函数 y= f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b)
(1) 如果在 (a, b)内 f
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
28
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
函数单调性的判别法
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曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x1, x2, 恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 如果恒有
x1 x2 > f (x1) f ( x2 ) , f( ) 2 2
x1 x2 < f (x1) f (x2 ) , f( ) 2 2
拐点
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拐点 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的 拐点. •讨论 如何确定曲线y=f(x)的拐点？ 如果(x0, f(x0))是拐点且f (x0)存在, 问f (x0)=？ 如何找可能的拐点？ •提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点. 在拐点(x0, f(x0))处f (x0)=0或f (x0)不存在. 只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点.
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•只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点. •如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点.
例9 求曲线y=(x1)4ex的拐点. 解 y=4(x1)3ex, y=12(x1)2ex . 因为在(, )内, y>0, 所以曲线y=(x1)4ex的在(, )内是凹的, 无拐点.
那么称f(x)在I上的图形是凸的.
•观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹 凸性的关系. >>>
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函数单调性判断方法
函数单调性判断方法
㈠作差法。
根据增函数、减函数的定义，利用作差法证明函数的单调性。
其步骤有：⑴取值，⑵作差，⑶变形，⑷判号，⑸定性。
其中，变形一步是难点，常用技巧有：
整式型---因式分解、配方法，还有六项公式法。
分式型---通分合并，化为商式。
二次根式型---分子有理化。
㈡图像法。
利用函数图像的连续上升或下降的特点判别函数的单调性。
㈢导数法。
利用导函数的符号判别函数的单调性。
㈣运算法。
利用已知函数的单调性判别和差型函数的单调性。
这种方法的根据有如下四种：
⑴增+增=增⑵增-减=增
⑶减+减=减⑷减-增=减
㈤复合函数法。
对于复合函数的单调性，可以根据各层函数单调性去判别。
其规律是：如果各层函数中，减函数的个数是偶数，则原复合函数是增函数；如果各层函数中，减函数的个数是奇数，则原复合函数是减函数。
当是最简单的两层复合函数时，通常根据所谓的‘同增异减’判别法。
即，内外层函数的单调性相同时，原函数是增函数；内外层函数的单调性不相同时，原函数是减函数。
㈥奇偶性法。
如果函数具有奇偶性，则单调性可以简便判别。
一般先用作差法判别定义域大于0时的单调性，再根据图像的对称性得出定义域小于0时的单调性。
正所谓‘巧借奇偶性，减半判单性’就是这个道理。
3-4函数的单调性与凹凸性
函数单调性的判别法： 设函数y = f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导 （）若在 1 (a, b)内f '( x) > 0，则f ( x)在[a, b]上单调增加
lijuan
（2）若在(a, b)内f '( x) < 0，则f ( x)在[a, b]上单调减少 （3）若在(a, b)内f '( x) ≡ 0，则f ( x)在[a, b]上为常数， 即f ( x) = c, (c为常数）
若f ( x )在I 上具有二阶导数，则可利用二阶 导数的符号来判定其凹凸性
25
定理： 设函数f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内具有一阶、 二阶导数，则： （） 1 若在( a, b)内f ''( x) > 0，则f ( x)在[a, b]上的图
形是凹的。记为： ∪
lijuan
（2）若在(a, b)内f ''( x ) < 0，则f ( x )在[a, b]上的图 形是凸的。记为： ∩
4
说 1、上述定理对下列区间同样适用， 明 (-∞,+∞),(-∞,a ),[a, +∞), (a, b)ect.
lijuan
（所谓个别点 2、定理允许在个别点导数为0， 也可为有限个点）但这些点不构成区间
例、讨论函数f ( x) = x − sin x的单调性
解：f '( x) = 1 − cos x ≥ 0
f '( x ) > f '(ξ ) = 0
lijuan
∴ f '( x) > 0 ⇒ f ( x)递增
y ξ
a
⇒ f ( x) < f (b) = A ⇒ f ( x) < A
大一高等数学第三章第四节函数单调性的判定法
y
y
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导（1） . 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x 3 , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
3 2
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
例9 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
点击图片任意处播放\暂停
解 (1)建立敌我相距函数关系 设 t 为我军从B处发起
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
13函数的单调性、凹凸性、极值2
1 3
x f ′′( x) f ( x)
(−∞, 4) +
凹的
4 不存在 (4, 2)
(4, +∞) −
凸的
凸区间为(4, +∞)；凹区间为 (−∞， 4) 拐点是(4, 2)
二、函数的最大值与最小值
设函数f ( x)在 D 上有定义， x0 ∈ D 。任意x ∈ D ， 恒有 f ( x0 ) > f ( x)，则称 f ( x0 )为 f ( x) 在 D 上的最大值； 恒有 f ( x0 ) < f ( x)，则称 f ( x0 )为 f ( x) 在 D 上的最小值。 步骤： （1）求驻点和不可导点； （2）求区间端点、驻点及不可导点的函数值，比较 大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就 是最小值。
f ( x)在 x = 15 处取得最小值， f (15) = 380
例4 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓可全部租出去。当月租金每增加10元时， 就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费。试问房租定位多少可获得最大收入？ x − 180 ) 解：设房租为每月 x 元，则租出去的房子为50 − ( 10 每月的总收入为 x − 180 x R( x) = ( x − 20)(50 − )= ( x − 20)(68 − ), 10 10 x x 1 由 R′( x) = (68 − ) + ( x − 20)(− ) = 70 − , 10 10 5 解方程 R′( x) = 0 ，得唯一驻点 x = 350 。所以每月每套 租金为350元时收入最大。 最大收入为R (350) = 10890 （元）。
( x2 , f ( x2 ))
第六章微分中值定理及应用(4)
令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = −4,
∵ f ′′( x ) = 6 x + 6,
∵ f ′′( −4) = − 18 < 0,
f ′′( 2) = 18 > 0,
故极大值 f (−4) = 60, − 故极小值 f ( 2) = −48.
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20 图形如下
M
m
注意: f ′′( x0 ) = 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 , 注意:
仍用定理 2.
注意:函数的不可导点 也可能是函数的极值点 也可能是函数的极值点. 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点 例3 解
求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
− 2 f ′( x ) = − ( x − 2 ) 3 3 1
所以， 处取得极大值．同理可证(2). 所以，函数 f ( x )在 x0 处取得极大值．同理可证
例2 求出函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20 的极值 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3( x + 4)( x − 2)
x 2 = 2.
1 f ′( 0) = lim (1 + 2 ⋅ ∆x ⋅ sin ) = 1 > 0 ∆x → 0 ∆x
1 1 但 f ′( x ) = 1 + 4 x sin − 2 cos , x x
x≠0
当 x=
1
0.075
1 ( 2 k + )π 2 4 f ′( x ) = 1 + >0 1 ( 2 k + )π 2
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?定理1(函数单调性的判定法 ) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f ?(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 ? (2)如果在(a, b)内f ?(x)<0, 则f(x))内任取两点 x1, x2(x1<x2), 由拉格朗日中值公式 , 有
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例3 讨论函数 y = 3 x2 的单调性. 解 函数的定义域为 (??, ?? ).
y?=
2 33 x
(x? 0),
函数在 x=0 处不可导.
因为x<0时, y?<0, 所以函数在 (??, 0] 上单调减少 ?
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?定理1(函数单调性的判定法 ) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f ?(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 ? (2)如果在(a, b)内f ?(x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少 .
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?定理1(函数单调性的判定法 ) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f ?(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 ? (2)如果在(a, b)内f ?(x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少 .
说明： 判定法中的开区间可换成其他各种区间 .
在每个小区间上都是单调的？
?确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 ? (2)求出导数f ?(x)? (3)求出f ?(x)全部零点和不可导点 ? (4)判断或列表判断 ? (5) 综合结论 .
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例4 确定函数f(x)=2x3? 9x2? 12x? 3的单调区间.
例1 判定函数y=x+cos x 在[p, 2p]上的单调性 . 解 因为在(p, 2p)内
y?=1? sin x >0,
所以函数 y=x? sin x 在[p, 2p]上的单调增加 .
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?定理1(函数单调性的判定法 ) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f ?(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 ? (2)如果在(a, b)内f ?(x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少 .
例2 讨论函数 y=ex ? x+2的单调性. 解 函数y=ex? x+2的定义域为 (??, ? ).
y?=ex? 1.
因为在(??, 0)内y?<0, 所以函数 y=ex? x? 1在(??, 0]上 单调减少?
因为在(0, ?? )内y?>0, 所以函数 y=ex? x? 1在[0, ?? )上 单调增加.
因为x>0时, y?>0, 所以函数在 [0, ?? )上单调增加 .
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?讨论 1. 设函数y=f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, x1, x2
是 f ?(x)的两个相邻的零点 , 问f(x)在[x1, x2]上是否单调？ 2. 如何把区间 [a, b]划分成一些小区间 , 使函数 f(x)
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
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一、函数单调性的判定法
函数y=f(x)的图象有时上升 , 有时下降. 如何判断函 数的图象在什么范围内是上升的 , 在什么范围内是下降 的呢？
f(x2)? f(x1)=f ?(x)(x2? x1) (x1<x<x2).
因为f ?(x)>0, x2? x1>0, 所以
f(x2)? f(x1)=f ?(x)(x2? x1)>0,
即
f(x1)<f(x2) ,
这就证明了函数 f(x)在(a, b)内单调增加.
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说明： 一般地, 如果 f ?(x)在某区间内
的有限个点处为零 , 在其余各点处 均为正(或负)时, 那么f(x)在该区间 上仍旧是单调增加 (或减少)的.
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?观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？
?观察结果 函数单调增加时导数大于零 , 函数单调减少时导数
小于零.
f ?(x)>0
f ?(x)<0
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单调增加, 在区间[1, 2]上单调减少 .
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例5 讨论函数y=x3的单调性. 解 函数的定义域为 (??, ?? ).
y ?=3x2 . 显然当x=0时, y?=0? 当x? 0时, y?>0. 因此函数 y=x3在区间(??, 0]及[0, ?? )内都是单调增 加的. 从而函数在整个定义域 (??, ?? )内是单调增加的 .
解 这个函数的定义域为 (??, ?? ).
f ?(x)=6x2? 18x? 12=6(x? 1)(x? 2),
导数为零的点为 x1=1、x2=2. 列表分析 ?
y=2x3? 9x2? 12x? 3
x (??, 1) (1, 2) (2, ?? )
f ?(x)
＋
－
＋
f (x)
↗
↘
↗
函数f(x)在区间(??, 1]和[2, ?? )内