(完整版)导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)

）
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。

如
1
()
f x x
x
=+的极大值为2-，极小值为2。

注意：当x=x0时，函数有极值⇒f/(x0)＝0。

但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。

题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题）
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数（看正负）原函数（看升降增减）
'()
f x的符号()
f x单调性
'()
f x与x轴的交点且交点两侧异号()
f x极值
'()
f x的增减性()
f x的每一点的切线斜率的变化趋势（()
f x的图象的增减幅度）
'()
f x增()
f x的每一点的切线斜率增大（()
f x的图象的变化幅度快）
'()
f x减()
f x的每一点的切线斜率减小（()
f x的图象的变化幅度慢）
【题型针对训练】
1. 已知f(x)=e x-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？
若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，
若x=
3
2时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. （请你欣赏）3.当0
>
x，证明不等式x
x
x
x
<
+
<
+
)
1
ln(
1
.
证明：
x
x
x
x
f
+
-
+
=
1
)1
ln(
)
(，x
x
x
g-
+
=)1
ln(
)
(，则
2
)
1(
)
(
x
x
x
f
+
=
'，
当0
>
x时。

)
(x
f
∴在()
+∞
,0内是增函数，)0(
)
(f
x
f>
∴，即0
1
)
1
ln(>
+
-
+
x
x
x，
又
x
x
x
g
+
-
=
'
1
)
(，当0
>
x时，0
)
(<
'x
g，)(x
g
∴在()
+∞
,0内是减函数，)0(
)
(g
x
g<
∴，即0
)
1
ln(<
-
+x
x，因此，当0
>
x时，不等式x
x
x
x
<
+
<
+
)
1
ln(
1
成立.
点评：由题意构造出两个函数
x
x
x
x
f
+
-
+
=
1
)1
ln(
)
(，x
x
x
g-
+
=)1
ln(
)
(.
利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.
（请你欣赏）4、已知函数32
f(x)ax bx(c3a2b)x d (a0)
=++--+>的图象如图所示。

（Ⅰ）求c d
、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y110
+-=，
求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若
x5,
=方程f(x)8a
=有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：2
f(x)3ax2bx+c-3a-2b
'=+
（Ⅰ）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1
f'= 0
得
3
32c320
d
a b a b
=
⎧
⎨
++--=
⎩
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
3
c
d
（Ⅱ）依题意()2
f'= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323
846435
a b a b
a b a b
+--=-
⎧
⎨
+--+=
⎩
解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x3– 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意f ( x ) = ax3 + bx2– ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) ()x
f'= 3ax2 + 2bx– 3a– 2b
由()5
f'= 0⇒b = – 9a①若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由①②得– 25a + 3＜8a＜7a + 3⇒
11
1
＜a＜3 所以当
11
1
＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。

∴
2
1()(1)(41)04
f x x a x a '=
++++≥，在给定区间R 上恒成立（判别式法）
则22
1(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.
综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .
例题欣赏5、已知函数32
11()(2)(1)(0).32
f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

（子集思想） 解析：（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-
1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立 当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。

2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且 单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a --
（II ）当()[0,1],f x Q 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子集： 1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意
2、[]()0,11,a ⊆-+∞，10a ∴-≤ 1a ∴≤ 综上，a 的取值范围是[0，1]。

题型三：根的个数问题
类型一： 函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点⇔方程的根⇔函数的零点
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 例题欣赏6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3
1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意x k x x f )1()(2
+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数， ∴0)1()(2
>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法） 即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设3
12)1(3)()()(23
-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，
①当1=k 时，0)1()(2
≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意…
②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：
x ),(k -∞ k
)1,(k 1 ),1(+∞ )(x h ' + 0 — 0
+ )(x h
↗ 极大值3
12623-+-k k ↘ 极小值 21-k ↗ 由于02
1<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根， 故需031
2623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<0
2212k k k ，解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k
类型二：根的个数知道，部分根可求或已知。

例题欣赏7、已知函数321
()22
f x ax x x c =+-+
（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；
（2）若2
1()2
g x bx x d =
-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由；
解：（1）∵()f x 的图像过原点，则(0)00f c =⇒= 2()32f x ax x '=+-，
又∵1x =-是()f x 的极值点，则(1)31201f a a '-=--=⇒=-
a-1 -1 ()
f x '
2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=
3()(1)2f x f =-=
极大值 222
()()37
f x f ==-极小值 （2）设函数()
g x 的图像与函数()f x 的图像恒存在含1x =-的三个不同
交点，
等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：1
(1)(1)(1)2
f g d b -=-⇒=--
322111
2(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得：
即：32
11(1)(1)022
x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根
（计算难点来了：）3211
()(1)(1)022
h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根，
则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解，
3x 22x x +-211
(1)(1)022b x x b ---+-=
2
211(1)(1)(1)022x x b x x b ⎡⎤
+-++--=⎢⎥⎣⎦
2
21
(1)(1)2(1)02
x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎣⎦ 十字相乘法分解：[]()21
(1)(1)(1)102
x x b x b x +-+--+=
211(1)(1)(1)022x x b x b ⎡⎤
+-++-=⎢⎥⎣⎦
3211
(1)(1)022
x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根
等价于2
11(1)(1)022x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根。

2
211(1)4(1)04211(1)(1)(1)0
22
b b b b ⎧∆=+-⨯->⎪⎪⇒⎨⎪-+++-≠⎪⎩(,1)(1,3)(3,)b ⇒∈-∞-⋃-⋃+∞
类型三：切线的条数问题⇔以切点0x 为未知数的方程的根的个数
例题欣赏8例8、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取
值范围为(1,3)，求： （1）()f x 的解析式；
（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围． 解析：（1）由题意得：2
'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<
∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-
∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③
由①②③联立得：1
69a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，∴32
()69f x x x x =-+-
（2）设切点Q (,())t f t ，,
()()()y f t f t x t -=-
232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=
令2
2
'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨
<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩16
11
m m <⎧⇒⎨
>-⎩ 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-
类型四已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例题欣赏9例9、
解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝ 13x 3－7
2
x 2＋10x ，
()f x '＝x 2－7x ＋10，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <.
2
3
-1
()f x '
∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 1
2
a = ∴ 32
21()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪
'<⎨⎪'>⎩ 即
0220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-⎧⎨
=+⎩ ∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩
∴
20
220460x y x y x +>⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC, 易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ∆=
四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G , 则 0k >, 1S =四边形DEGF
由 220
y kx y x =⎧⎨
++=⎩ 得点F 的横坐标为: 2
21F x k =-+
由 460y kx y x =⎧⎨
++=⎩
得点G 的横坐标为: 6
41G x k =-+
∴
OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121
k k =⨯⨯
-⨯+⨯=+即 216250k k +-=
解得: 12k =
或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 1
2
y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或1
2
y x = .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪
'<⎨⎪'>⎩ 即
0220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-⎧⎨
=+⎩ ∴ 1
2a y b x =-⎧⎨=+⎩
∴
20
220460x y x y x +>⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC, 易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ∆=
四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 1
2
y x =
, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12
220
y x
y x ⎧
=⎪⎨⎪++=⎩ 得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ∆=, 111
2222
DEC S ∆=
⨯⨯=, 11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB
∴ 所求直线方程为: 0x = 或1
2
y x =
3、（根的个数问题）已知函数3
2
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。

（Ⅰ）求c d 、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。

解：由题知：2
f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =⎧⎨
++--=⎩⇒⎩⎨
⎧==0
3
c d
,
曲靖经开区一中2017届高三6、7班文科数学备考复习专题—《导数及应用》题型归纳（内部资料，仅供参考）主编：浦仕国 2016年6月对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第21页共22页◎【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第22页共22页。