数学建模作业

数学建模作业 The following text is amended on 12 November 2020.

四、模型建立

（显示模型函数的构造过程）

（1）为了大致地分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用表一的数据分别作出y 对1x 和

2x 的散点图

y 与x1的关系 程序代码：

x1=[ 0 0 ]; y=[ ]; A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go')

y 与x2的关系

x2=[ ]; y=[ ]; A=polyfit(x2,y,2) x3=::;

y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)

图1 y 对x1的散点图 图2 y 与x2的散点图

从图1 可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 011y x ββε=++ （1）

拟合的（其中ε是随机误差），而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增长的趋

势，图中的曲线是用二次函数模型 2

01122

y x x βββε=+++ （2） 拟合的。

综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型

2

0112232

y x x x ββββε=++++ (3) (3)式右端的1x 和2x 称为回归变量（自变量），2

0112232x x x ββββ+++是给定价格差

1x ，广告费用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系

数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果，模型选择的合适，ε应大致服从均值为0的正态分布。

五、模型求解

（2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 程序代码：

x4=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x4)

b =

bint =

stats =

得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信区间α=）、检验统计量22

R F p s的结果见表2

,,,

参数参数估计值参数置信区间

β[, ]

β[, ]

1

β[, ]

2

互作用，将模型（3）增加一项，得到：

2

0112232412y x x x x x βββββε=+++++ （5）

在这个模型中，y 的均值与2x 的二次关系为22232412x x x x βββ++，由系数2β，

3β，4β确定，并依赖与价格差1x 。

（3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）； 程序代码：

x5=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2,x1.*x2]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x5)

b = bint = stats =

优势会使销售量增加。

完全二次多项式模型

y =β

+β

11

x +β2

2

x +β3

1

x

2

x +β4

1

x2 +β5

2

x2+ε (10)

（4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。

程序代码：

x1=[;;;0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;0;;];

x2=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;];

xtu8=[x1,x2];

y=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;];

rstool(xtu8,y,'quadratic' )

从左下方的输出Export可以得到模型（10）的回归系数的估计值为

∧

β=(∧β0 ，∧β 1 ，∧β 2 ，∧β3，∧β 4 ，∧β5)

= ，，，，，

在图下方的窗口内输入，可改变

1

x和

2

x的数值，当

1

x=，

2

x=时，左边的窗口显示

∧

y=，预测区间为±与模型（5）相差不大。