三视图与表面展开图—知识讲解

三视图与表面展开图—知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1.了解平行投影和中心投影的基本概念及主要特征，会在简单情况下画出投影示意图；
2.了解三视图的概念，会画直棱柱、圆柱、圆锥等简单几何体的三视图，并会根据视图描述简单的几何体；
3.了解直棱柱、圆柱和圆锥的表面展开图，会计算直棱柱、圆柱和圆锥的侧面积和全面积，能根据展开图想象和制作实物模型；
4.了解直棱柱、圆柱和圆锥的三视图和表面展开图在现实生活中的应用.
【要点梳理】要点一、平行投影
1.基本概念
物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平
面叫做投影面.
由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. 例如，太阳光线、探照灯的光线都可以看成平行光线，由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2.物高与影长的关系
( 1)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同. 不同时刻，物体在太阳光下的影子的大
小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
(2)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：. 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 要点诠释：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的. 利用平行投影知识解题要分清不同
时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
要点二、中心投影由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源” . 生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等. 相应地，我们会得到两个结论：
(1) 等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源
远的物体它的影子长
越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点 在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置 要点诠释：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方 向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧 . 要点三、中心投影与平行投影的区别与联系
1. 联系：
(1)中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投 影，通常的平行光线有太阳光线、 月光等， 而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影， 通常状况下， 灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线 .
(2)在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中， 同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化 . 在中心投影中，固定物体的位置和方向， 改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化 .
2. 区别：
(1)太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的 影子与物体高度不一定成比例 .
(2)同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能 在不同方向 . 要点诠释：
在解决有关投影的问题时必须先判断准是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一 步解决问题 .
要点四、正投影
正投影的定义：
如图所示，图 (1) 中的投影线集中于一点，形成中心投影；图 (2)(3) 中，投影线互相平行，形成平 行投影；图 (2) 中，投影线斜着照射投影面；图 (3) 中投影线垂直照射投影面 ( 即投影线正对着投影面 )， 我们也称这种情形为投影线垂直于投影面 .像图(3) 这样，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称
为 正投影
.
(2) 等长的物体平行于地面放置时，如图
2 所示 . 般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源
(1) 线段的正投影分为三种情况： 如图所示 .
(2) 平面图形正投影也分三种情况，如图所示
Q 时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与 Q 时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会 Q 时，它的正投影是直线或直线的一部分 .
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投
影与平行于投影面且 过立体图形的最大截面全等 要点诠释：
(1) 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影 .
(2) 由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影 .
(3) 由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到 的图象之间是有
联系的 .
要点五、简单几何体的三视图
1. 三视图的概念
(1)视图 从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图 .
(2)正面、水平面和侧面 用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边 的面叫做侧面 .
(3)三视图
物体在正投影面上的正投影叫做 主视图 ；在水平投影面上的正投影叫做 俯视图 ；在侧投影面上的正 投影叫做 左视图 . 产生主视图的投射线方向也叫做主视方向 . 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视 图.
2. 三视图之间的关系
①线段 AB 平行于投影面
②线段 AB 倾斜于投影面
P 时，它的正投影是线段 P 时，它的正投影是线段
A 1
B 1，与线段 AB 的长相等； A 2B 2，长小于线段 AB 的长；
③线段 AB 垂直于投影面 P 时，它的正投影是一个点
①当平面图形平行于投影面 这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面 缩小，是类似图形但不一定相似
③当平面图形垂直于投影面
(3) 立体图形的正投影 .
1)位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(2)大小关系 三视图之间的大小是相互联系的， 遵循主视图与俯视图的 “长对正”，主视图与左视图的 “高平齐”， 左视图与俯视图的“宽相等”的原则 . 如图 (2) 所示 .
要点诠释：
物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放 . 三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到 各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和 宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础 .
3. 画几何体的三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1) 确定主视图的位置，画出主视图；
(2) 在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“ 长对正 ”；
(3) 在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“
高平齐 ”，与俯视图“ 宽相等 ” .
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线 .
要点诠释： 画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以， 首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线 表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图 的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图 . 要点六、由三视图描述几何体 由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几 何体的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的 尺寸 .
要点诠释：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析： (1) 根据主视图、俯 视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；
(2) 根据实线和虚线
想象几何体看得见和看不见的轮廓线； (3) 熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮 助； (4) 利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法 . 要点七、简单几何体的表面展开图
1. 表面展开图
将几何体沿着某些棱“剪开” ，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展 开图 .
示
.
(1) 所
2. 圆柱的表面展开图如下左图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（BC）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体.AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆.AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论旋转到哪个位置，都是圆柱的母线.
如果沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图. 一般地，一个底面半径为
r ，母线长为l 的圆柱的表面展开图如上右图所示.
由图可知，圆柱的侧面积公式为：S侧=2 rl . 全面积公式为：S全=2 r2+2 rl .
3.圆锥的表面展开图圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成
的一个几何体.直角边BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边AB旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边AB 不论旋转到哪一个位置，都叫做圆锥的母线.
一般地，一个底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长l ，弧长为底面圆周长2π r 的扇形，如图，由此我们可以得到圆锥的侧面积和全面积公式：
S侧= rl .
2
S全= r 2+ rl .
l
若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，则由0 2 r ，得到圆锥侧面展开图扇形的圆心角1800
度数的计算公式：
类型一、投影的作图问题
1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．
答案与解析】
(1) 如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．
(2) 如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心
投影，P 点即为光源位置．
总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光
源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别 与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．
举一反三：
【 变式】 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花 CD 和一棵树 AB ．晚上，幕墙反
射路灯，灯光形成那盆花的影子 DF ，树影 BE 是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光
源的位置吗 ?
思路点拨】
1）连结 AC ，过 D 点作 DG ∥AC 交 BC 于 G 点，则 GE 为所求； 2）先证明 Rt △ABC ∽△ RtDEG ，然后利用相似比计算
DE 的长．
答案与解析】 解：（ 1）影子 EG 如图所示；
2）∵DG ∥AC ，
∴∠ G=∠C ，
∴Rt △ABC ∽△RtDEG ，
= ，即 = ，解得 DE=
，
答案】 作法如下：
① 连结 FC 并延长交玻璃幕墙于 O 点； ② 过点 O 作直线 OG 垂直于玻璃幕墙面；
③ 在 OC 另一侧作∠ POG ＝∠ FOG 且交 EA 延长线于点 P 点即此时路灯光源位置，如图所示．
类型二、投影的应用
2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高
明落在地面上的影长为 BC=2.4m ．
1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子 EG ；
2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长
EG=16m ，请求出旗杆 DE 的高度．
P ．
类型三、由三视图描述几何体
位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．
思路点拨】由已知条件可知，主视图有3 列，每列小正方数形数目分别为每列小正方形数
目分别为1，3，2．据此可画出图形．
如图所示：
总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
类型四、三视图的有关计算
4．（2016春?潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．
1）说出这个立体图形的名称；
2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．
3．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该
2，2，3，左视图有3 列，∴旗杆的高度为m．
总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．
答案与解析】解：
【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；
（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．
【答案与解析】解：（1）这个立体图形是直三棱柱；
（2）表面积为：×3× 4× 2+15× 3+15× 4+15×5=192 ．
【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．
举一反三：
高清课程名称：投影与视图高清ID 号：398414 关联的位置名称（播放点名称）：课题学习】
变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图作每个密封罐所
需钢板的面积（单位：mm）．
（如图所示），请你按照三视图确定制
密封罐的高为50mm，底面正六边形的对角线为100mm，边长为50 mm，如图(2) 所示．由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
1
S＝6× 50×50+2×6× ×50×50×sin60 °
2
＝6× 50°× 1 3≈27990(mm2)．
2
类型五、简单几何体的表面展开图
5．小红为了迎接圣诞节而准备做一顶圣诞帽．如图所示，圆锥的母线长为26cm，高24cm，求它的
底面半径及做这样一顶帽子需要的布料面积(接缝忽略不计) ．
答案与解析】如图所示，在Rt △ SOA中，
r SA2 SO2262 242
cm 10cm ．
即圆锥底面半径为10cm，做这样的圣诞帽需布料πRr=260 πcm2．
点评】本题考查的是圆锥母线R，高h，底面半径r 三者的关系，及利用圆锥侧面积解决实际问题的方法．根据圆锥母线R，高h，底面半径r 的关系，可求r R2 h2，所需布料即为圆锥侧面积π Rr．。