数学与艺术浅论

42.数学与艺术浅论

（陕西省艺术师范学校 王凯成 王甲惠 710600）

2003年12月3日中国教育报报道：从2006年起艺术类高考考生在录取时数学成绩全部计入文化考试成绩总分. 这是时代的要求. 从历史的角度看，数学与艺术相互渗透，互相促进，艺术人才需要一定的数学素养. 所以“艺术类高考考生在录取时数学成绩全部计入文化考试成绩总分”是完全必要的.

早在古希腊时代，数学本身就被视为一门艺术. 毕达哥拉斯学派从研究数学与声学的实践中概括出“美是和谐的比例”. 那个时代，琴弦之间长度的比例关系就是依靠数学方法来确定的，而琴弦的长度直接影响声音的和谐. 毕达哥拉斯学派在研究中发现，两根绷得一样紧的弦，如果一根弦的长度是另一根弦长的2倍，那么两根弦弹奏时发出的音是同一个调，但相差八度.在此基础上，他们发展了关于音程的数学基础的学说，提出了关于音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由各种不同的音调按一定数量上的比例所组成. 毕达哥拉斯学派从音乐比例出发，建立了他们的乐律理论.

值得一提的是公元1584年，我国明代科学家朱载堉在其《律学新说》中提出了十二平均律的计算方法，从而创立了十二平均律，比德国的巴赫还要早一百多年. 所谓“十二平均律”，就是假定高低八度之间的12个音，每相邻两个音的频率之比都相等. 即就是将一个八度内的音分成十二个均等的半音的律制.如图：

设一个音阶中12个音的频率依次为01212a a a a ⋅⋅⋅、、、

、.那么：01212a a a a ⋅⋅⋅、、、、 组成了一个等比数列，即

1012111111090

a a a a q a a a a ===⋅⋅⋅==

公比q 是多少呢？朱载堉算得122q =这样1212121200022a a q a a ===（）. 设第 i 个音的弦长为 i T ,则11i i T T q +=( i =0，1，2，… ，12).这样1201201()2T T T q ==, 即12a 的弦长为0a 弦长的12

. 十二平均律解决了音量问题，对于转调极为方便. 现在使用的钢琴、电子琴、手风琴等键盘乐器，都是按照十二平均律的原理制作的. 十二平均律是中华民族的骄傲.

数学家欧拉、笛卡尔都有关于音乐理论的著作. 1650年笛卡尔出版了《音乐概要》一书，1731年欧拉写了一本以声乐为主题的著作《建立在确切的谐振原理基础上的音乐理论的新颖研究》. 在这两本书中，音乐与数学达到了水乳交融的地步.

对乐音的研究，19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰. 他证明了所有的乐音，不管是器乐还是声乐，都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦函数的和. 每种声音有三种品质：音调、音量和音色.傅立叶还发现音调与音乐曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关.

20世纪40年代初，美籍乌克兰作曲家希林格（1895----1948）在音乐理论上提出了一套新的创作原则. 他认为，一切艺术均可分解为其物理存在的形式，而形式是可以用数量来测量的. 按照这一观点，音乐形式与数学有关，在得出其中的数学规律后，创作就可以通过纯数学方法来完成，也就是说，可以用各种数学符号、方程或图式、表格来进行创作，将音高、时值、力度、速度、音色等方面都纳入数学计算的体系中. 希林格认为，作曲可以从音乐的任何要素出发，先肯定某个要素（主要成分）的设计，然后再将其他要素（次要成分）结合进去成为主题. 这种音乐体系就称之为数学作曲体系.现在随着计算机技术的发展，希林格的观点越来越受到艺术家的重视. 计算机音乐的出现就说明了这一点.

1952年12月在武汉召开的全国聂耳、冼星海作品研讨会上，武汉音乐学院院长童忠良宣读了一篇引人注目的论文，题目为《论义勇军进行曲的数列结构》，该文整个建立在数学理论基础上，先后讲述了黄金分割、华罗庚的0.618（优选法）、菲波那契数列，并据此分析了《义勇军进行曲》的曲式结构，从而提出了一种突破传统式结构理论的观点，就是其文所称的“长短型数列结构”体制.

1970年我国著名琵琶演奏家刘德海决心运用“优选法”，寻找在琵琶每根弦上能发出最

佳音色点，不久，华罗庚教授用数学方法帮助他解决了这一难题，在弦长的

1

12

处，弹出的

声音格外动听. 1980年5月在全国琵琶演奏会上，几十位演奏家听了“最佳点”的演奏后，都认为数学与音乐之间可能有一种深奥的内在联系.

以上事实充分说明了数学与音乐相互渗透，互相促进. 实际上，数学与美术更是相互渗透，互相促进.

在文艺复兴时期，艺术家布鲁内利希（1377----1446）把数学运用于绘画，他读了欧几里德等许多古希腊数学家的数学著作，还研究光学，并利用几何学和光学去研究透视法. 其后，阿尔贝蒂1435年完成了《绘画论》一书（1511年公开出版），提出了有关透视法的数学原则，这本书成为后来绘画艺术家运用透视法的基础理论. 最后，文艺复兴时期把透视法的数学原理较为完整地表示出来的是画家弗朗西斯卡（1410----1492），他的《透视绘画论》推进了阿尔贝蒂提出的有关透视学的理论. 弗朗西斯卡认为透视法是绘画艺术的科学基础，人们应该通过数学来修改和推广由经验获得的知识. 他也被认为是那个时期最好的几何学家.

就文艺复兴时期数学与艺术的结合而言，达·芬奇（1452----1519）的绘画最具有代表性. 达·芬奇通过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化学，为从事绘画作好了充分的准备.他对数学在绘画中的应用，尤其是有关透视法和比例的研究有独到的见解，他对人体结构比例的研究更为艺术创造提供了一种数学定量化的规范. 他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家.”达·芬奇创作了许多精美的透视学作品. 在《蒙娜丽莎》这幅画上，达·芬奇成功地运用了数学的透视方法，在蒙娜丽莎的背后画了岩石和流水这如梦幻般的景致. 达·芬奇还成功地运用了黄金分割法，使整幅画看上去更符合人的审美视觉. 我们还看到在画中蒙娜丽莎的右手轻轻地搭在左手上，姿势十分优雅，流露出她平和沉稳的心境，这个手臂和手的姿势使身体形成一个稳定的三角形构图，引导观众的目光，随着她的姿态而转动，显示出画面的动态感. 达·芬奇把数学思想融入绘画的方法深深的影响了那个时代.

数学对绘画艺术作出了贡献，绘画艺术也促进了数学的发展，诞生了一门数学新课程射影几何.

随着计算机的发展，计算机进入了美术，产生了计算机美术. 计算机美术是数字化的艺术，为了在计算机上产生图形，需要几何表示、代数编码和计算机算法之间的大量理论性的相互作用. 在这一领域，数学中的分形理论与方法发挥了极大的作用，它不仅使计算机完成的作品可以极为逼真地再现现实世界的各种景象，而且可以容易地构造出各种令人叹为观止的精彩构图.

以上事例说明了数学与艺术相互渗透，互相促进. 我国“艺术类高考考生在录取时数学成绩全部计入文化考试成绩总分”的措施必将促进我国艺术类人才的成长.

本文发表于陕西师范大学主办的《中学数学教学参考》2004年第1、2合刊.