新人教版八年级数学下册教案：正比例函数教案

19．2 一次函数

19.2.1 正比例函数

1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．

(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？

(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？

(3)这只燕鸥的行程y (单位：千米)与飞行时间x (单位：天)之间有什么关系？

二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数 下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x 2

D ．y

＝2x 解析：选项A ，y ＝2

x

，自变量次数不为

1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式，

错误；选项C ，y ＝x 2

，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D.

方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1.

【类型二】 确定正比例函数中字母的

值

若函数y ＝(m －3)x |m |－2

是正比例

函数，则m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．不

能确定 解析：由题意得|m |－2＝1，且m －3≠0，

解得m ＝－3.故选B. 方法总结：正比例函数自变量的指数为

1，系数不能为0.

探究点二：正比例函数的图象和性质

【类型一】 正比例函数的图象 在下列各图象中，表示函数y ＝－kx (k ＜0)的图象的是( ) 解析：∵k ＜0，∴－k ＞0，∴函数y ＝－kx (k ＜0)的值随自变量x 的增大而增大，

且函数为正比例函数．故选C.

方法总结：要知道正比例函数的图象是

过原点的直线，且当k ＞0时，图象过第一、三象限；当k ＜0时，图象过第二、四象限．

【类型二】 正比例函数的性质

关于函数y ＝1

3

x ，下列结论中，正

确的是( )

A ．函数图象经过点(1，3)

B ．不论x 为何值，总有y ＞0

C ．y 随x 的增大而减小

D ．函数图象经过第一、三象限

解析：A.当x ＝1时，y ＝1

3

，故A 选项

错误；B.只有当x ＞0时，y ＞0，故B 选项错误；C.∵k ＝1

3＞0，∴y 随x 的增大而增大，

故C 选项错误；D.∵k ＝1

3＞0，∴函数图象

经过第一、三象限，故D 选项正确．故选D.

方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．

【类型三】 正比例函数的图象与系数的关系

已知正比例函数y ＝(m －1)x 的图

象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( )

A ．m ＜1

B ．m ＞1

C ．m ＜2

D ．m ＞0

解析：根据题意，y 随x 的增大而减小，则m －1＜0，即m ＜1.故选A.

方法总结：直线y ＝kx 所在的位置与k 的符号有直接的关系：k ＞0时，直线必经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0时，直线必经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．

【类型四】 正比例函数图象上点的坐标特征

点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y

＝－x 上，则y 1与y 2的关系是( )

A ．y 1≥y 2

B ．y 1＝y 2

C ．y 1＜y 2

D ．y 1

＞y 2

解析：∵点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，∴y 1＝－5，y 2＝－2.∵－5＜－2，∴y 1＜y 2.故选C.

方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

探究点三：求正比例函数的解析式 【类型一】 用定义求正比例函数的解析式

已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，

y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝－1时，y ＝11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x ＝2时y 的值．

解析：设y 1＝kx 2

，y 2＝a (x －2)，得出y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，

y ＝11代入得出方程组，求出方程组的解即

可，把x ＝2代入函数解析式，即可得出答

案．

解：设y 1＝kx 2

，y 2＝a (x －2)，则y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y

＝11代入得⎩⎪⎨⎪⎧k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎪⎨

⎪⎧a ＝－3，

k ＝2，

∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝2x 2

－3(x

－2)．把x ＝2代入得y ＝2×22

－3×(2－2)＝8.

方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．

【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式

已知正比例函数y ＝kx 图象经过

点(3，－6)，求：

(1)这个函数的解析式； (2)判断点A (4，－2)是否在这个函数图象上；

(3)图象上两点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1，y 2的大小．

解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断．

解：(1)∵正比例函数y ＝kx 经过点(3，－6)，∴－6＝3·k ，解得k ＝－2，∴这个正比例函数的解析式为y ＝－2x ；

(2)将x ＝4代入y ＝－2x 得y ＝－8≠－2，∴点A (4，－2)不在这个函数图象上；

(3)∵k ＝－2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2.

方法总结：将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．

三、板书设计

1．正比例函数的图象 2．正比例函数的性质

3．正比例函数解析式的确定