现代数值计算方法公式总结

现代数值计算方法公式
一、插值法
1.拉格朗日（Lagrange）插值法
a)两点一次：
b)三点二次：
2.牛顿（Newton）插值
a)n次牛顿法多项式：
其中
一阶差
二阶差商三阶差商四阶差商
商
b)向前差分：
下减上c)向后差分：
上减下
3.三次埃米尔特（Hermite）插值
二、拟合曲线（最小二乘）
三、数值积分
1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）
复化梯形求积公式
辛普生求积公式（3节点）
复化辛普生求积公式
2.高斯（Gauss）公式
高斯-勒让德求积公式
1.先用勒让德公式求解x i
2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i
3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。

普通积分化标准形式：
积分区间[a,b]变换
3.代数精度
若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度
四、解线性代数方程组的直接方法
三角形分解法
求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解
五、解线性代数方程的迭代法
1.范数
向量范数
定义：
设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数
满足条件
1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立
2）其次行
3）三角不等式
称为域上的一个向量范数
常见范数：
矩阵范数
定义：
设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件
1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立
2）其次行
3）三角不等式
4）乘积性质
称为域上的一个矩阵范数
常见范数：
行范数
列范数
为的最大按模特征值
2.谱半径
3.雅可比迭代
向量：
用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：
矩阵：
对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

其中
4.高斯-塞德尔迭代
向量：
用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：
矩阵：
对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

其中
5.松弛迭代
雅可比松弛（JOR）：
注：当时，收敛
雅可比方法收敛时，收敛逐次超松弛（SOR）：
注：系数矩阵A对称正定，时收敛
六、方程求根
1.大范围收敛定理
a)ϕ(x)在[a,b]上连续；
b)当x∈[a,b]时，ϕ(x) ∈[a,b]；
c)ϕ’(x)存在，且对任意x∈[a,b]有
2.牛顿迭代法
牛顿下山法，其中
3.割线法
七、矩阵特征问题求解
1.规范化乘幂法
2.原点位移乘幂法
取一个λ0，用B=A-I*λ0替代A，则得到的特征值u i=λi-λ0，特征向量不变
八、常微分方程的数值解法
1.欧拉公式
2.向后欧拉公式
3.梯形公式
4.改进欧拉公式。