第2章 质点和质点系动力学题解

第2章 质点和质点系动力学

2.1 一斜面的倾角为α, 质量为m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为β时,

求物体从高为h 处由静止下滑到底部所需的时间.

解：设斜面得摩擦系数为μ。对m 分别处于倾角为α，β得斜面上，列出牛顿运动方程为

α角： 1sin 0f mg α-=

1cos 0N mg α-= 11f N μ=

β角：2sin 0f mg β-=

2cos 0N mg β-= 22f N μ= 联立解得

sin cos a g g tg ββα=- 又物体从高为h 的斜面下滑的运动方程为 21

sin 2

h at β= 解得

t =

=

2.2 用力f 推地面上的一个质量为m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成α角. 木

箱与地面之间的静摩擦系数为0μ, 动摩擦系数为k μ. 求：（1）要推动木箱, f 最小为多少？使木箱作匀速运动, f 为多少？（2）证明当α大于某值时, 无论f 为何值都不能推动木箱, 并求α值.

解：（1）当f 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即 ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin mg

f μαμα

≥

-

0min 0cos sin mg

f μαμα

=

-

使木箱做匀速运动，则

()cos sin k f mg f αμα=+

0cos sin k mg

f μαμα

=-

（2）当下式成立，则无论f 多大，都不能推动木箱，即 0cos sin f f αμα< 0

1

tg αμ>

， 0

1

arctg

αμ>

2.3 质量为5000kg 的直升飞机吊起1500kg 的物体, 以0.6m/s 2

的加速度上升, 求：（1）

空气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解：（1）对飞机物体整体进行受力分析，得 ()()f M m g M m a -+=+ 代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为 46.8910f N =⨯ （2）对物体m 进行受力分析，得 T mg ma -= 解得吊绳中的张力为

()4

150010.6 1.5910T m g a N =+=⨯=⨯

2.4 质量为m 汽车以速率0v 高速行驶, 受到2

kv f -=的阻力作用, k 为常数. 当汽车关

闭发动机后, 求：（1）速率v 随时间的变化关系. （2）路程x 随时间的变化关系. （3）证明速率v 与路程x 之间的函数关系为x m

k

e v v -

=0．（4）若200=v m/s, 经过15s 后, 速

率降为10=t v m/s, 则k 为多少？ 解：由题意得 2

dv

kv m dt

-= 当0t =时， 0v v = 两边分离变量

02

0v

t

v dv k dt v m

=-⎰⎰ 积分得

011k

t v v m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

即

00

001v mv v k m kv t v t m =

=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭

（2）由上式两边积分得 0

00

x

t

mv dx dt m kv t =+⎰

⎰

即 0ln m kv t m x k m +⎛⎫=

⎪⎝⎭ （3）由（1）中得 0

0mv kv t m v

=

- 代入（2）中的结果，得

00ln ln mv m m v m m v x k m k v ⎛⎫+- ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭

⎪⎝⎭

即

0k x m

v v e

-=

（4）020m v s =,15t s =,10t m v s

=代入（1）中得结果，解得

300

m k =

2.5 质量为m 的质点以初速度0v 竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与质点的速率成正比, 比例系数为0>k ．试求：（1）质点运动的速度随时间的变化规律. （2）质点上升的最大高度. 解：（1）对上升过程，列出牛顿方程，得 dv

mg kv m dt

--= 即 mdv

dt mg kv

-=+

积分得

00

t

v

v mdv

dt mg kv

-=+⎰

⎰

即

k mg e k mg v v t m k

-

⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=-0 对下降过程，列出牛顿方程，得 dv

mg kv m dt

-=

即 mdv

dt mg kv

=-

积分得 00

t

v

v mdv

dt mg kv

=-⎰

⎰

即

1k t m

mg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭

（2）由（1）中方程得 dv dv dy dy mg kv m m mv dt dy dt dt

--=== 即

()mg kv mg mvdv m dy dv mg kv k mg kv

+--==-++

积分得

()2020

ln m m g mg kv

y v v k k mg kv +=-++

当0v =时，有 20max

02ln mg kv m m g y v k k mg ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

2.6 自动枪以每分钟发射120发子弹的速率连续发射. 每发子弹的质量为9.7g, 出口速率

为735m/s. 求射击时枪托对肩部的平均压力. 解：设肩部所受的平均作用力为F ，由动量定理得 Ft mv =

∑