1.1 随机事件及其运算
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②没有一个事件发生 ③恰有一个事件发生
A B C
ABC A B C ABC ABC ABC
（由对偶律）
④至多有两个事件发生 （考虑其对立事件）
( ABC ABC ABC ) ( ABC ABC ABC ) ( ABC ) ABC A B C
⑤至少有两个事件发生
ABC
ABC
ABC
ABC AB BC CA
则 4 {h : 0 h 3}
E5:任选一人, 以他的身高决定买火车票的类型. 则 5 {免, 半, 全}
注: ①样本空间是一个集合,它是由样本点构成.其表示方法可以用
列举法, 也可以用描述法. ②在样本空间中, 样本点可以是一维的,也可以是多维的; 可以 是有限个, 也可以是无限个. ③对于一个随机试验而言, 样本空间并不唯一. 在同一试验中, 当试验的目的不同时, 样本空间往往是不同的, 但通常只有一个会 提供最多的信息. 例如在运动员投篮的试验中, 若试验的目的是考 察命中率, 则样本空间为 {中,不中} ;若试验的目的是考察得分 情况, 则样本空间为 {0分,1分,2分,3分} .
2.随机现象的统计规律性
由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果,人们 但是后来人们通过大量的 就以为随机现象是不可捉摸的, 在相同条件下， 虽然个别试验结果在某次试验 实践发现： 或观察中可以出现也可以不出现， 但在大量试验中却呈现 出某种规律性,这种规律性称为 统计规律性. 例如, 在投掷一枚硬币时， 既可能出现正面, 也可能出现反 面, 但假如硬币均匀,则出现正面与反面的机会应该相等.
例2: 化简下列各式：
(1) A B
A
B
(2) A B A B A B
E 2: 掷一颗骰子, 考虑可能出现的点数;
E3:记录某网站一分钟内受到的点击次数;
E4:任选一人, 记录他的身高和体重.
二、样本空间、随机事件 1.样本空间 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合, 称为 样本空间,用 ’表示;其每个元素称为样本点, 用‘ ’表 ‘ 示. 例如: E1:将一枚硬币连抛两次, 考虑正反面出现的情况;
4.事件的差: 事件A发生而事件B不发生的事件, 称为事件A与事 件B的差, 记为A-B . 且 x B B 即 A B x A B A 5. 互不相容事件 若事件A与,B不能同时发生，即 AB , 则称A与B互
不相容 (或互斥)。 6. 对立事件 若事件A与事件B满足 A B＝且AB＝, 则称A与 B互为逆事件(或对立事件), 记为 A B . 思考: ①两事件互斥与互逆的区别与联系? ②证明等式 A B A AB AB
则 1 {(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} E 2: 掷一颗骰子, 考虑可能出现的点数;
则 2 {1 , 2 , , 6} ,其中 i 表示掷出的点数为 i E3:记录某网站一分钟内受到的点击次数; 则 3 {0,1,2,
, n, } .
E4:任选一人, 记录他的身高.
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 随机事件的概率
条件概率和事件的相互独立性
引
言
1.确定性现象与不确定性现象(随机现象) 在自然界与人类社会生活中， 存在着两类截然不同的 一类是确定性现象 现象:
一类是不确定性现象(随机现象)
概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支. 研究对象为：随机现象 研究内容为: 随机现象的统计规律性
在表面上是偶然性在起作用的地方, 这种偶
然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的,
恩格斯
而问题只是在于发现这些规律.
第一章
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间、随机事件 三、事件之间的关系 及事件的运算
一、随机事件 1.随机试验(简称试验) 一个试验如果满足: ①可以在相同的条件下重复进行; ②其结果具有多种可能性； 不能预言将 ③在每次试验前， 但知道其所有可能出现的结果. 出现哪一个结果， 简而言之,就是对随机现象的一次观察或试验。 通常用大写的字母‘E’表示试验. 例如: E1:将一枚硬币连抛两次, 考虑正反面出现的情况;
例如: 在投骰子的试验中, 设A:“出现偶数点” 则‘出现 , 2点’
这也是不可能的.
必然事件: 在每次试验中都必然发生的事件.常用 表示. 不可能事件: 在每次试验中都不会发生的事件. 用 表示. 注: 严格来讲,必然事件与不可能事件反映了确定性现象, 可以说它们并不是随机事件, 但为了研究问题的方便, 我 们把它们作为特殊的随机事件. 有了上述讨论, 可见事件与集合之间建立了一定的对
事件பைடு நூலகம்运算性质:
由前面可知,事件之间的关系与集合之间的关系建
立了一定的对应法则,因而事件之间的运算法则与布尔
代数中集合的运算法则相同.
1.交换律: A B B A 2.结合律:
A ( B C ) ( A B) C , A( BC ) ( AB)C
AB BA
3.分配律:
A ( B C ) ( AB) ( AC ), A
应关系, 从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间 的关系与运算.
三、事件的关系与运算 1.事件的包含与相等: 当事件A发生时必然导致事件B发生,则称A包含于B. 记为 A B . 即 A B {若 A, 有 B}
A B
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
显然有下列关系 :
2.随机事件 样本空间Ω的某个子集称为随机事件, 简称事件. 用字 母A，B，C等表示. 显然它是由部分样本点构成的集合. 事件 基本事件: 由一个样本点构成的集合 复合事件: 由多个样本点构成的集合
某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点 出
现, 记为 A . 就意味着A发生, 并不要求A的每一个样本点都出现,当然,
2.事件的和: 两个事件A、B中至少有一个发生的事件, 称为事件A
与事件B的和, 记为 A B .
即 A B x 3.事件的积: 两个事件A与B同时发生的事件, 称为 或
A B
B A
A B
事件A与事件B的积, 记为 A B .
即 A B x
且
注: 事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无 穷多个事件的情形。
BC ( A
B)( A C )
4.德莫根（对偶）定律： ① ②
i 1 n
A A
n i i 1 i
（和的逆＝逆的积）
i
i 1
n
A A
n i i 1
（积的逆＝逆的和）
5. A B A AB AB 6. A A, A A
例1: 设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算 关系表示下列各事件: ①三个事件中至少一个发生
A B C
ABC A B C ABC ABC ABC
（由对偶律）
④至多有两个事件发生 （考虑其对立事件）
( ABC ABC ABC ) ( ABC ABC ABC ) ( ABC ) ABC A B C
⑤至少有两个事件发生
ABC
ABC
ABC
ABC AB BC CA
则 4 {h : 0 h 3}
E5:任选一人, 以他的身高决定买火车票的类型. 则 5 {免, 半, 全}
注: ①样本空间是一个集合,它是由样本点构成.其表示方法可以用
列举法, 也可以用描述法. ②在样本空间中, 样本点可以是一维的,也可以是多维的; 可以 是有限个, 也可以是无限个. ③对于一个随机试验而言, 样本空间并不唯一. 在同一试验中, 当试验的目的不同时, 样本空间往往是不同的, 但通常只有一个会 提供最多的信息. 例如在运动员投篮的试验中, 若试验的目的是考 察命中率, 则样本空间为 {中,不中} ;若试验的目的是考察得分 情况, 则样本空间为 {0分,1分,2分,3分} .
2.随机现象的统计规律性
由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果,人们 但是后来人们通过大量的 就以为随机现象是不可捉摸的, 在相同条件下， 虽然个别试验结果在某次试验 实践发现： 或观察中可以出现也可以不出现， 但在大量试验中却呈现 出某种规律性,这种规律性称为 统计规律性. 例如, 在投掷一枚硬币时， 既可能出现正面, 也可能出现反 面, 但假如硬币均匀,则出现正面与反面的机会应该相等.
例2: 化简下列各式：
(1) A B
A
B
(2) A B A B A B
E 2: 掷一颗骰子, 考虑可能出现的点数;
E3:记录某网站一分钟内受到的点击次数;
E4:任选一人, 记录他的身高和体重.
二、样本空间、随机事件 1.样本空间 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合, 称为 样本空间,用 ’表示;其每个元素称为样本点, 用‘ ’表 ‘ 示. 例如: E1:将一枚硬币连抛两次, 考虑正反面出现的情况;
4.事件的差: 事件A发生而事件B不发生的事件, 称为事件A与事 件B的差, 记为A-B . 且 x B B 即 A B x A B A 5. 互不相容事件 若事件A与,B不能同时发生，即 AB , 则称A与B互
不相容 (或互斥)。 6. 对立事件 若事件A与事件B满足 A B＝且AB＝, 则称A与 B互为逆事件(或对立事件), 记为 A B . 思考: ①两事件互斥与互逆的区别与联系? ②证明等式 A B A AB AB
则 1 {(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} E 2: 掷一颗骰子, 考虑可能出现的点数;
则 2 {1 , 2 , , 6} ,其中 i 表示掷出的点数为 i E3:记录某网站一分钟内受到的点击次数; 则 3 {0,1,2,
, n, } .
E4:任选一人, 记录他的身高.
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 随机事件的概率
条件概率和事件的相互独立性
引
言
1.确定性现象与不确定性现象(随机现象) 在自然界与人类社会生活中， 存在着两类截然不同的 一类是确定性现象 现象:
一类是不确定性现象(随机现象)
概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支. 研究对象为：随机现象 研究内容为: 随机现象的统计规律性
在表面上是偶然性在起作用的地方, 这种偶
然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的,
恩格斯
而问题只是在于发现这些规律.
第一章
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间、随机事件 三、事件之间的关系 及事件的运算
一、随机事件 1.随机试验(简称试验) 一个试验如果满足: ①可以在相同的条件下重复进行; ②其结果具有多种可能性； 不能预言将 ③在每次试验前， 但知道其所有可能出现的结果. 出现哪一个结果， 简而言之,就是对随机现象的一次观察或试验。 通常用大写的字母‘E’表示试验. 例如: E1:将一枚硬币连抛两次, 考虑正反面出现的情况;
例如: 在投骰子的试验中, 设A:“出现偶数点” 则‘出现 , 2点’
这也是不可能的.
必然事件: 在每次试验中都必然发生的事件.常用 表示. 不可能事件: 在每次试验中都不会发生的事件. 用 表示. 注: 严格来讲,必然事件与不可能事件反映了确定性现象, 可以说它们并不是随机事件, 但为了研究问题的方便, 我 们把它们作为特殊的随机事件. 有了上述讨论, 可见事件与集合之间建立了一定的对
事件பைடு நூலகம்运算性质:
由前面可知,事件之间的关系与集合之间的关系建
立了一定的对应法则,因而事件之间的运算法则与布尔
代数中集合的运算法则相同.
1.交换律: A B B A 2.结合律:
A ( B C ) ( A B) C , A( BC ) ( AB)C
AB BA
3.分配律:
A ( B C ) ( AB) ( AC ), A
应关系, 从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间 的关系与运算.
三、事件的关系与运算 1.事件的包含与相等: 当事件A发生时必然导致事件B发生,则称A包含于B. 记为 A B . 即 A B {若 A, 有 B}
A B
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
显然有下列关系 :
2.随机事件 样本空间Ω的某个子集称为随机事件, 简称事件. 用字 母A，B，C等表示. 显然它是由部分样本点构成的集合. 事件 基本事件: 由一个样本点构成的集合 复合事件: 由多个样本点构成的集合
某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点 出
现, 记为 A . 就意味着A发生, 并不要求A的每一个样本点都出现,当然,
2.事件的和: 两个事件A、B中至少有一个发生的事件, 称为事件A
与事件B的和, 记为 A B .
即 A B x 3.事件的积: 两个事件A与B同时发生的事件, 称为 或
A B
B A
A B
事件A与事件B的积, 记为 A B .
即 A B x
且
注: 事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无 穷多个事件的情形。
BC ( A
B)( A C )
4.德莫根（对偶）定律： ① ②
i 1 n
A A
n i i 1 i
（和的逆＝逆的积）
i
i 1
n
A A
n i i 1
（积的逆＝逆的和）
5. A B A AB AB 6. A A, A A
例1: 设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算 关系表示下列各事件: ①三个事件中至少一个发生