巧构几何图形解代数题

巧构几何图形解代数题

唐明友

数是形的抽象概括，形是数的直观表现，数形结合是数学解题的重要手段之一。在数学竞赛中常有一些代数问题如果用代数方法去思考，或很繁琐，或无从下手，这时需要转换角度，通过巧妙构造几何图形，使问题柳暗花明，达到化繁为简、化难为易的目的，起到事半功倍的效果。

一.巧构数轴

例1.当代数式1+x +2-x 取最小值时，相应的x 的取值范围是什么？ 分析与解：本题可把变量分x <-1、－1≤x ≤2、x<2三种情形讨论求解，这种方法比较麻烦。根据绝对值的几何意义，1+x 、2-x 在数轴上表示线段AX 、BX 的长。现在对于代数式1+x +2-x 要取最小值，从几何意义上理解就是在数轴上找一点X ，使点X 到A 、B 两点距离的和最小。

显然，只有当点X 在线段AB 上时，AX ＋BX 才能取得最小值，

而AB=)1(2--=3，所以x 的取值范围是：－1≤x ≤2

说明：一些含有绝对值的方程、不等式、最值问题均可考虑构造数轴解之。本题还可通过分类讨论画出分段函数图象解，留给同学们去完成。

二.巧构函数图象

例2.当实数a 为何值时，方程342+-x x =a 无解、有二解、三解、四解？ 分析和解：这是含有绝对值符号的二次方程。如果去掉绝对值，再利用判别式来考察，必然很繁。如果令y 1=342+-x x ，y 2=a,这两个函数的图像容易作出，而要确定方程342+-x x =a 的解的个数，从图形上看，

就是确定直线y 2=a 和曲线y 1=342+-x x 的交点的个数。

由此立即可以得出： 当a<0时，方程无解；

当a=0及a>1时，方程有两个实数解； 当a=1时，方程有3个实数解； 当0

说明：在画函数y 1 的图像时，先画出二次函数y 1=x 2－4x ＋3的图像， 再将x 轴下面部分沿x 轴对称到x 轴上面来即可。

三.巧构直角三角形

例3.求代数式42+x ＋9)12(2+-x 的最小值。

分析和解：两个根号下均可看成平方和的形式，可联想勾股定理，从而构造

12-x

x 12

3

2

2

2

E

B 1

D

P

C

B

A

S 3S 2S 1n

b p

c

m

a F E

D

C

B

A 如图所示的直角三角形。设线段AC=12，作A

B ⊥A

C 于A ，C

D ⊥AC 于C ，且AB=2,CD=3，又设P 为AC 上一动点，PA=x,则PC=12－x,

由勾股定理可得PB ＋PD=42+x ＋9)12(2+-x ,问题转化为 求PB ＋PD 的最小值。

作点B 关于AC 的对称点B 1,连接B 1D 交AC 于P,此时 PB ＋PD 最小，

在Rt △B 1DE 中，PB ＋PD=B 1D=2

2

512+=13

所以原代数式的最小值为13。

说明：本题亦能构造平面直角坐标系，求代数式的最小值，相当于要在x 轴上求一点（a,0）,使它到（2,0）和（12，3）这两点的距离的和最短，请同学们自己去思考。

四.巧构等边三角形

例4.已知：a 、b 、c 、m 、n 、p 均为正数，且满足a ＋m=b ＋n=c ＋p=k.求证：an ＋bp ＋cm

分析和解：由已知条件很容易想到构造边长为k 的等边△ABC 如图所示。 又根据结论截出点D 、E 、F,三角形三边是a ＋m 、b ＋n 、c ＋p ，则a ＋m=b ＋n=c ＋p=k 。

再用S 1、S 2、S 3表示周围的三个三角形，从而有 S 1＋S 2＋S 3=

21ansin600＋21cmsin600＋2

1

bpsin600 =

4

3

( an ＋bp ＋cm) 而S ABC ∆=21k 2sin600=4

3k 2

由构图显然得S 1＋S 2＋S 3< S ABC ∆

∴

43( an ＋bp ＋cm)< 4

3k 2 ,即an ＋bp ＋cm

例5.计算：21＋41＋81＋16

1

＋…

分析和解：无限个分数相加，直接计算是肯定无法得出 具体结果的。

构造如图所示边长为1的正方形，其面积为1。 从而可以轻松得到原式的值为1。

4

68x

8-x

6-x

10-x 计算绘图

测量六.巧构韦恩图

例6.为完成一次实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图。测绘队中很多人是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图。另有一些人三项都参加了。请问这支测绘队至少有多少?

分析和解: 读罢本题很多人都搞糊涂了吧，因为题目中的一些关系 量相互交叉，用代数方法是难以将它们分清楚的。如果构造三个圆表 其意（称为韦恩图）就会一目了然。

设三项工作都参加的人数为x ，总人数为y,列出一次函数为： y=(10-x)+(8-x)+（6-x ）+4+6+8+x,

=42-2x ，

∵0≤x ≤6,

∴30≤42-2x ≤42,亦即30≤y ≤42 因此，测绘队人数至少为30人，此时x=6。

说明：图示分析法可使应用题中的已知量和未知量的关系更

加直观清晰，解决问题方便快捷，同学们应能熟练运用。 练习：

请用构图法解下列代数题： 1.解方程：2+x ＋3-x =7（构数轴） 2.解不等式：2+x >

5

14

3+x (构函数图像) 3.m 是什么实数时，方程x 2－4x ＋5=m 有4个互不相等的实数根？（构函数图像）

4.已知a 、b 、c 、r 均为正数，且a 2＋b 2=c 2,c 22r a -=a 2,求

rc

ab

23的值。（构直角三角形）

5.计算：21＋41＋81＋161

＋321＋64

1（构正方形）

6.某班有学生45人，选举2人作为学生会干部候选人，结果又40人赞成甲，有

37人赞成乙，对甲、乙都不赞成的人数是都赞成人数的9

1

，那么都赞成的人数

是多少？（构韦恩图）

参考答案：1.x=－1或4,2.x<－3或x>2,3.1

63

,6.36。