北师版数学八年级下册,角平分线课件
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D O 1 2
P E
B
C
A
证明： 在 △OPD和△OPE 中 ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
D
O 1 2 E P
C
B
∴ ∠PDO=∠PEO
∵OP=OP （公共边） ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE
定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言，如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). A D O
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. O 作法:
E
C
D B
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. DE 2.分别以点D和E为圆心,以大于 长为半径 2 作弧,两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
作三角形的三个角的角平分线：
观察这三条角平分线,你发
E D B
证明： 在Rt△ACD和Rt△AED中 ∵CD=ED ( 已证 ) AD=AD ( 公共边 ) ∴Rt△ACD≌Rt△AED （ HL ） ∴AC=AE ∵CD=ED=EB ( 已证 ) AB=AE+EB ∴AB=AC+CD
A
E
C D B
4.用尺规作角的平分线.（作法）
A
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图.
A P
PE⊥OB, 垂足分别
是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
B
A
证明：作射线OP,
∵PD⊥OA PE⊥OB
O
D P
∴△POD和△BPOE都是Rt△
∵PD=PE,OP=OP
E B
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)
∴ ∠POD=∠POE
∴ OP是∠AOB的平分线
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上. A 如图, D ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分 P 别是D,E(已知), 1 O 2 C ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 E 等的点,在这个角的平分线上). B
现了什么? 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且 这一点到三边的距离相等.
（这个交点叫做三角形的内心）
1.定理： 角平分线上的点到这个角的
A
D O
两边距离相等.
1 2
E
P
C
B
2.逆定理 ： 在一个角的内部,且到角的两
A D O 1 2
边距离相等的点,在这个角的
平分线上.
P
C
E
Bwk.baidu.com
3.定理:三角形的三条角平分线相交 于一点,并且这一点到三边的距离相等( 这个交点叫做三角形的内心).
1 2
E
P
C
B 提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的 根据之一.
你能写出“上述定理：角平分 线上的点到这个角的两边距离相
等”
逆命题： 的逆命题吗?
′
思 考 分 析
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上. 请你证明它是不是真命题?
已知:如图 所示, PD=PE, PD⊥OA, D O E
知识复习
（1）、什么是点到直线的距离 （2）、过直线外一点作该直线的垂线
我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平 分线上的点的性质，你还记得角平分线上的点有
什么性质吗?
结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出相关性质及其证明过程吗？
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. A 求证:PD=PE.
B
D●
O
C● A
作业
1.已知如图∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线
. 求证:BD=2CD. 证明： ∵∠C=900,∠B=300, AD是∠BAC的 平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=300 B ∴AD=BD(等角对等边) ∴AD=2CD（直角三角形中，300所 对直角边为斜边的一半） ∵AD=BD ∴BD=2CD A
D
C
2、如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是 △ABC的角平线,DE⊥AB, 垂足为E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
A
E C D B
(1)、解： A ∵AC=BC,∠C=900 ∴∠B=∠CAB=450 (等边对等角) 又∵AD是∠BAC的角平分线 ∴CD=ED(角平分线上的点到角两边距离相) ∵DE⊥AB，∠B=450 C ∴∠EDB=450 ∴ED=EB（等角对等边） ∵CD=ED=4 ∴ED=EB=4 ∴BD=√ED²+EB²=4√2(勾股定理) ∴BC=CD+BD=4+4√2 ∵AC=BC ∴AC=4+4√2
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线,它们有什么关系?
C
D
E
B
A
F
2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离 相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标 出它的位置(比例尺1:20000).
A区
3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P 到∠AOB的两边的距离相等.
P E
B
C
A
证明： 在 △OPD和△OPE 中 ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
D
O 1 2 E P
C
B
∴ ∠PDO=∠PEO
∵OP=OP （公共边） ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE
定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言，如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). A D O
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. O 作法:
E
C
D B
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. DE 2.分别以点D和E为圆心,以大于 长为半径 2 作弧,两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
作三角形的三个角的角平分线：
观察这三条角平分线,你发
E D B
证明： 在Rt△ACD和Rt△AED中 ∵CD=ED ( 已证 ) AD=AD ( 公共边 ) ∴Rt△ACD≌Rt△AED （ HL ） ∴AC=AE ∵CD=ED=EB ( 已证 ) AB=AE+EB ∴AB=AC+CD
A
E
C D B
4.用尺规作角的平分线.（作法）
A
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图.
A P
PE⊥OB, 垂足分别
是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
B
A
证明：作射线OP,
∵PD⊥OA PE⊥OB
O
D P
∴△POD和△BPOE都是Rt△
∵PD=PE,OP=OP
E B
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)
∴ ∠POD=∠POE
∴ OP是∠AOB的平分线
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上. A 如图, D ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分 P 别是D,E(已知), 1 O 2 C ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 E 等的点,在这个角的平分线上). B
现了什么? 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且 这一点到三边的距离相等.
（这个交点叫做三角形的内心）
1.定理： 角平分线上的点到这个角的
A
D O
两边距离相等.
1 2
E
P
C
B
2.逆定理 ： 在一个角的内部,且到角的两
A D O 1 2
边距离相等的点,在这个角的
平分线上.
P
C
E
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3.定理:三角形的三条角平分线相交 于一点,并且这一点到三边的距离相等( 这个交点叫做三角形的内心).
1 2
E
P
C
B 提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的 根据之一.
你能写出“上述定理：角平分 线上的点到这个角的两边距离相
等”
逆命题： 的逆命题吗?
′
思 考 分 析
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上. 请你证明它是不是真命题?
已知:如图 所示, PD=PE, PD⊥OA, D O E
知识复习
（1）、什么是点到直线的距离 （2）、过直线外一点作该直线的垂线
我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平 分线上的点的性质，你还记得角平分线上的点有
什么性质吗?
结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出相关性质及其证明过程吗？
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. A 求证:PD=PE.
B
D●
O
C● A
作业
1.已知如图∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线
. 求证:BD=2CD. 证明： ∵∠C=900,∠B=300, AD是∠BAC的 平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=300 B ∴AD=BD(等角对等边) ∴AD=2CD（直角三角形中，300所 对直角边为斜边的一半） ∵AD=BD ∴BD=2CD A
D
C
2、如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是 △ABC的角平线,DE⊥AB, 垂足为E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
A
E C D B
(1)、解： A ∵AC=BC,∠C=900 ∴∠B=∠CAB=450 (等边对等角) 又∵AD是∠BAC的角平分线 ∴CD=ED(角平分线上的点到角两边距离相) ∵DE⊥AB，∠B=450 C ∴∠EDB=450 ∴ED=EB（等角对等边） ∵CD=ED=4 ∴ED=EB=4 ∴BD=√ED²+EB²=4√2(勾股定理) ∴BC=CD+BD=4+4√2 ∵AC=BC ∴AC=4+4√2
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线,它们有什么关系?
C
D
E
B
A
F
2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离 相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标 出它的位置(比例尺1:20000).
A区
3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P 到∠AOB的两边的距离相等.