数理统计课后答案-第一章

0 .6
2
0 .3
3
P{η = y j }
0 .1
P{η > 3} = 0 。 5 ， 9
1.8 设随机变量 ξ 、η 都服从二项分布， ξ ～ b(2, p ) ，η ～ b(3, p ) 。已知 P{ξ ≥ 1} = 试求 P{η ≥ 1} 的值。 解 由 P{ξ ≥ 1} = 1 − P{ξ = 0} = 1 − (1 − p ) =
1.9 某商店出售某种商品，据以往经验，月销售量服从普阿松分布 P (3) 。问在月初进货时 要库存多少此种商品，才能以 99%的概率充分满足顾客的需要。 解 设月初要进货 a 件，ξ 是月销售量，ξ ～ P (3) 。要满足顾客需要，必须有 ξ ≤ a ，根据 题意，要有
P{ξ ≤ a} = ∑ P{ξ = k} = ∑
x<0
。
x≥0
x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
（2） ξ 的概率密度 ϕ (2) ； （3） P{−0.3 < ξ < 0.7} 。 求： （1）系数 A ； 解（1）因为
ξ 连续，在 x = 1 ，有 F (1 − 0) = F (1) ，而 F (1 − 0) = lim A(1 − ε ) 2 = A ，
（2）3 名运动员分到同一班级，相当于先要确定分配到哪一个班级，有 3 种不同选择， 然后将 3 个运动员分配到这个班级，再从 12 个非运动员中任取 2 人分配到这个班级，其余 非运动员分配到其它两个班级，每班 5 个，有 3C 3 C12 C10 C 5 种不同做法，所以，
3 2 5 5 3C3 C12 C10 C5 6 P{ 3 名运动员分到同一班级 } = = 。 5 5 5 91 C15 C10 C 5
2
5 4 2 可解得 1 − p = ± ， 因为 =± 9 9 3
1 − p > 0 ，舍去负值，得到 1 − p =
2 1 ，即有 p = 。 3 3
3
所以 P{η ≥ 1} = 1 − P{η = 0} = 1 − (1 − p ) = 1 − (1 − ) = 1 −
3
1 3
8 19 = 。 27 27
（2）从 5 个球中取 3 个球，最小号码为 k ， 相当于先取 1 个号码为 k 的球， 再从号码大于 k
1 2 C1 C 5− k C 52− k 的 5 − k 个球中取 2 个球，所以 P{η = k} = = （ k = 1, 2, 3 ） 。 3 10 C5
由此求得 η 的概率分布为
η
1
1.1 设 A 、 B 、 C 是样本空间的事件，把下列事件用 A 、 B 、 C 表示出来： （1） A 发生； （2） A 不发生，但 B 、 C 至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 解 (1) A ； （2） A ( BC + BC + B C ) 或 A ( B + C ) ； （3） A B C + A B C + A B C ； （4） ABC + ABC + AB C + A BC 或 AB + AC + BC ； （5） A B C 或 A + B + C ； （6） A B C + A B C + A B C + A B C 或 B C + A C + A B ； （7） ABC 或 A + B + C 。 1.2 随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去, 这 15 名新生中有 3 名是运动员,问: （1）每个班级各分到有 1 名运动员的概率是多少? （2）3 名运动员被分到同一班级的概率 是多少? 解法一 将 15 名新生平均分配到三个班级，有 C15 C10 C 5 种不同做法。
5 5 5
（1）每个班级各有一名运动员，相当于先将 3 个运动员分配到三个班级，每班 1 个， 再将 12 个非运动员分配到三个班级，每班 4 个，有 C 3 C 2 C1 C12 C8 C 4 种不同做法，所以，
1 1 1 4 4 4
P{ 每个班级各有一名运动员 } =
1 1 1 4 4 4 4 C3 C 2 C1 C12 C84 C 4 C84 C 4 3! C12 25 = ； = 5 5 5 5 5 5 91 C15 C10 C 5 C15 C10 C 5
1 1 1 3
P{ 每个班级各有一名运动员 } =
1 1 1 C5 C 5 C 5 25 = ； 3 91 C15
（2）3 名运动员分到同一班级，相当于先要确定分配到哪一个班级，有 3 种不同选择， 从这个班级的 5 个空位子中任意选 3 个位子放运动员，有 3C 5 种不同做法，所以，
3
P{ 3 名运动员分到同一班级 } =
P ( B) = 0.6， P ( B ) = 0.4， P ( A B ) = 0.2， P( A B ) = 0.1，由贝叶斯公式，得
当原发信号为“·”时，收到“不清”的概率为
P ( B A) =
P( B) P( A B) P( B) P( A B) + P( B ) P( A B )
=
0.6 × 0.2 = 0.75 ； 0.6 × 0.2 + 0.4 × 0.1
k =0
a
3 k −3 e ≥ 0.99 。 k =0 k !
a
直接计算或查书后附录中普阿松分布的概率表，可以求得：
8 3 k −3 3 k −3 e ≈ 0 . 988 < 0 . 99 ， e ≈ 0.996 > 0.99 。 ∑ ∑ k = 0 k! k = 0 k! 7
由此可见，月初至少要进货 8 件，才能以 99% 以上的概率满足顾客的需要。 已知随机变量 ξ 的概率密度为 ϕ ( x ) = Ae
i +1 n +1
( i = 0, 1, 2, L , n ） 。
P( B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = ∑
i =0
i =0
n
n
1 i +1 1 = ⋅ n + 1 n + 1 (n + 1) 2
∑ (i + 1)
i =0
n
=
1 (n + 1)(n + 2) n+2 ⋅ = 。 2 2(n + 1) 2 (n + 1)
ε →0 +
F (1) = 1 ，所以必有 A = 1 ；
x<0 ⎧ 0′ = 0 ⎧2 x 0 ≤ x < 1 d ⎪ 2 （2） ϕ ( x) = F ( x) = ⎨( x )′ = 2 x 0 ≤ x < 1 ，即有 ϕ ( x) = ⎨ ； 0 其它 dx ⎩ ⎪ 1′ = 0 x ≥1 ⎩
−x
1.10
， （ − ∞ < x < +∞ ） 。求：
（2）随机变量 ξ 落在区间（0，1）内的概率； （3）随机变量 ξ 的分布函数。 （1）系数 A ；
解 （1）因为 1 =
∫
+∞
−∞
ϕ ( x)dx = ∫ Ae −∞ 1 1
+∞
x
dx = 2 ∫
+∞
0
Ae − x dx = 2 A ，所以 A =
从 0 到 n 是等可能的，所以
P( Ai ) =
1 n +1
( i = 0, 1, 2, L , n ） 。
设 B = { 取出一球，恰好取到白球 } 。当器皿中原来有 i 个白球时，再投入 1 个白球， 器皿中就有 i + 1 个白球，这时取出一球，恰好取到白球的概率是
P ( B Ai ) =
由全概率公式
3 3C 5 6 = 。 3 91 C15
1.3 A 、 B 是随机事件，已知 P( A) = a ， P ( B) = b ， P ( AB) = c ，求： （1） P ( A + B ) ； （2） P ( A B ) ； （3） P ( A B ) ； （4） P ( A + B ) 。 解 （1） P ( A + B ) = P ( AB) = 1 − P ( AB) = 1 − c ； （2） P ( A B ) = P ( A + B ) = 1 − P ( A + B ) = 1 − [ P ( A) + P ( B ) − P ( AB)]
3
2
5
5
可以看作是有 15 个空位子， 每个班级各有 5 个 解法二 将 15 名新生平均分配到三个班级， 空位子。从这 15 个空位子中任意选 3 个位子放运动员（其余位子自然是放非运动员，可不 考虑） ，共有 C15 种不同做法。 （1） 每个班级各有一名运动员， 相当于从每个班级的 5 个空位子中任意选 1 个位子放运 动员，有 C 5 C 5 C 5 种不同做法，所以，
= 1− a − b + c ；
（3） P ( A B) = P( B − A) = P( B) − P ( AB) = b − c ； （4） P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) = 1 − a + b − (b − c) = 1 − a + c 。 1.4 向盛有 n 个球的器皿中投入一个白球,如果器皿中原来的白球数从 0 到 n 是等可能的， , 现在再从器皿中取出一个球,试问这个球为白球的概率是多少? 解 设 Ai = { 器皿中原来有 i 个白球 } ( i = 0, 1, 2, L, n ） ，因为已知器皿中原来的白球数
1 ； 2
（2） P{0 < ξ < 1} =
∫ ϕ ( x)dx = ∫
0
1 − e −1 1 −x ≈ 0.31606 ； e dx = 0 2 2
x
（3）当 x < 0 时， F ( x ) = 当 x ≥ 0 时， F ( x) = 即有
∫
x
−∞
ϕ ( x)dx = ∫
0
−∞
1 x 1 e dx = e x ； 2 2
所以， A − B 与 C 相互独立。 1.7 口袋中有 5 个球，分别标有号码 1，2，3，4，5，现从这口袋中任取 3 个球。 （1）设 ξ 是取出球中号码的最大值，求 ξ 的概率分布，并求出 ξ ≤ 4 的概率； （2）设η 是取出球中号码的最小值，求η 的概率分布，并求出η > 3 的概率。 解（1）从 5 个球中取 3 个球，最大号码为 k ，相当于先取 1 个号码为 k 的球，再从号码小
P (( A − B)C ) = P( AC − BC ) = P( AC ) − P( ABC ) = P( A) P(C ) − P( A) P( B) P(C )
= [ P( A) − P( A) P( B)]P(C ) = [ P( A) − P( AB)]P(C ) = P( A − B) P(C ) ，
1 2 C1 C k −1 C k2−1 于 k 的 k − 1 个球中取 2 个球，所以 P{ξ = k} = = （ k = 3, 4, 5 ） 。 3 10 C5
由此求得 ξ 的概率分布为
ξ
P{ξ = xi }
3
4
0 .3
wenku.baidu.com
5
0 .1
0 .6
P{ξ ≤ 4} = P{ξ = 3} + P{ξ = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4 ；
∫
x
−∞
ϕ ( x)dx = ∫
x1 1 x 1 1 − e−x 1 e dx + ∫ e − x dx = + = 1 − e−x ； 0 2 −∞ 2 2 2 2
⎧ 1 x e ⎪ F ( x) = ⎨ 2 1 ⎪1 − e − x ⎩ 2 ⎧ 0 ⎪ 2 1.11 设连续型变量 ξ 的分布函数为 F ( x) = ⎨ Ax ⎪ 1 ⎩
当原发信号为“—”时，收到“不清”的概率为
P( B A) = 1 − P ( B A) = 1 − 0.75 = 0.25 。
因为 P ( B A) = 0.75 > 0.25 = P ( B A) ，所以收到“不清”时，原发信号为“·”的可能 性比较大。 1.6 设 A, B, C 相互独立,试证 A − B 与 C 相互独立。 证 因为 A, B, C 相互独立，有
1.5 无线通信中，由于随机干扰，当发出信号为“ • ”时，收到信号为“ • ” 、 “不清” 、 “—” 的概率分别为 0.7、0.2 和 0.1；当发出信号为“—”时，收到信号为“—” 、 “不清” 、 “• ” 的概率分别为 0.9、 0.1 和 0.如果整个发报过程中 “• ” 、 “—” 出现的概率分别为 0.6 和 0.4， 当收到信号“不清”时，原发信号是什么？试加以推测. 解 设 A = { 收到“不清”}， B = { 发出“·”}， B = { 发出“-”}，由题意可知，