第五章 线性系统的频率分析法(简)

当ζ=0.707, Mpr=1,ωr=0,恰为Nyquist的起点；
当ζ<0.707, Mpr>1,ωr>0, ζ减小则Mr、ωr增大。
二、开环幅相曲线绘制
绘制开环幅相曲线的步骤：三个要素 P170
1）起点和终点：求：
A(0+)和 (0+)；A(∞)和(∞)； 2）补充必要的特征点(如与实轴的交点)：
系统模型间的关系
微分方程、传递函数、频率特性之间的关系
G(s)侧重于
G(jw)侧重于 分析 系统的幅频、 相频特性；
分析
系统的极、 零点分布；
四、频率特性的图形表示
Ⅰ. 频率响应 幅频 G( j ) 相频 G ( j ) Ⅲ. 对数频率特性(bode) 对数幅频
1 以 G( j ) 为例。 1 jT
典型环节 比例 积分 微分 惯性 一阶微分 振荡 二阶微分 角度变化范围 0o~0o -90o~-90o 90o~90o 0o~-90o 0o~90o 0o~-180o 0o~180o 幅值变化范围 K ∞ 0 0 ∞ 1 0 1 ∞
利用上述三点，可以定性的作出极坐标图。
K 例5-1： G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
-1 ImG( j )
A( ) G(j ) Re G( j ) Im G( j ) ( ) tg
2 2
Re G( j )
三、频率特性的求取 根据定义求取：
C(j ) G(j ) R(j )
注意：相角的象限 根据传递函数求取：
G(j ) G(s)
x r (t ) xrm sin( t )
x c (t ) xcm sin( t ( ))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
频率特性
G( j ) C( j ) G( j ) G( j ) R( j )
幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，即：
A( ) G( j )
本章主要内容:
5.I 频率特性
5.2 典型环节与开环系统频率特性
5.3 频域稳定判据
5.4 频域稳定裕度
5.5 利用系统开环频率特性分析性能
5.1 频率特性
一、频率特性的定义 指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入 量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振 幅之比和相位差的变化规律，用G(jω) 表示。
比例环节的极坐标图是复平面实轴上的一个点，它 到原点的距离为K。
2、积分环节
1 传递函数： G ( s ) s 1 幅频： A( )
相频： ( ) 0 tg 1
1 频率特性： G( j ) j

0


90o
0
j
0
实部： U ( ) A( ) cos ( ) 虚部： V ( ) A( ) sin ( )
s j
例：求右图的频率特性 微分方程：RC duo u u o i
R
dt
ui
C uo
1 1 传递函数： G(s) U o (s) U i (s) RCs 1 Ts 1
令s=jω代入传递函数得频率特性： G( j )
1 jT 1
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平 面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。
, K、T1、T2 0
起点： I型： 0 : G( j0 ) 90
o n m 3 : G ( j ) 0 270 终点：
o

0
与实轴的交点： 令虚部为零得：
Im[G( jx )] 0 x Re[G( jx )]

0
例5-3： G( s)
tg 1T
结论：
一阶微分环节的极坐标图是通过（1， 0）点，且平行 于正虚轴的一条直线
相频范围：0 o~90
o
6 、振荡环节
G (s ) 传递函数：
n
G( j )
2
s 2 2ns n 2

1 s 2 / n 2 2s / n 1
2
频率特性：
(j ) 2 / n
0
箭头表示ω增大时辐相曲线的变化方向
实部： U ( ) A( ) cos ( ) 虚部： V ( ) A( ) sin ( )
结论：
相频范围：90 o ~ 90
o
微分环节的极坐标图是一条与虚轴正段相重合的直线。
1 1 频率特性： G( j ) 传递函数： G( s) jT 1 Ts 1 1 幅频： A( ) 2 2 T 1 j T 1 相频： ( ) 0 tg tg 1T 0 1
, K、T1、T2 0

0
K
解： 1）起点：
0
0 型： 0 : G( j0 ) K0 o
终点：

o
n m 2 : G( j) 0 180
ω增大时，A(ω)单调减小的，极坐标如图所示：
例5-2： G( s) 解：
K s(T1s 1)(T2 s 1)
nm 2
结论： 极坐标图的终点趋于坐标原点， 只是入射角不同，由分子分母的 阶次之差（n-m）决定，终点位 置如图所示：
nm 1
2、极坐标图与实轴的交点：令虚部为零，解得ωx， 再将ωx代入Re[G (jω)] ，即与实轴的交点 W 为穿越频率
x
3、开环幅相曲线的变化范围（单调性、象限）：
3）实轴正方向相角零度线，逆时针正角度，顺时针负角度
1 例如： G ( s ) Ts 1
的（幅相曲线）奈氏图：
1 1 1）频率特性： G( j ) tg 1T jT 1 2T 2 1
2）取三个特殊点：
j
G(j0) 1 0
1 1 G j 45 2 T
箭头表示ω增大时辐相曲线的变化方向
结论：
相频范围：-90 o ~ -90
o
积分环节的极坐标图是一条与虚轴负段相重合的直线。
3、微分环节
传递函数： G ( s ) s 频率特性： G ( j ) j
幅频： A( ) 相频： ( ) tg
1
j


0
90o
0
结论： 极坐标图的起点位置与系统
2
0
的型有关，不同时，起点
位置如图所示：
1
极坐标图的终点： ω=∞时G(j∞) 时的位置 系统开环传函： G(s )s sn m
K
n，m分别为分母， 分子的最高阶次
o
K G(j ) (j )n m

0 (n m)90
非最小相位环节：K<0，开环零、极点在s右半平面；
传递函数可以分解为典型环节的串联：
比例环节：K 1 惯性环节： T s 1 1 积分环节： 微分环节：s s 一阶微分环节： s 1 二阶微分环节： 2s 2 2 s 1
1 振荡环节： 2 2 T s 2T s 1 延迟环节：e -s

0
0
1
G(j ) 0 - 90

3）画出幅相曲线：
一、典型环节幅相曲线（Nyquist）的绘制 1、比例环节 传递函数： G( s ) K 频率特性： G( j ) K
j
幅频： A( ) K
相频： ( ) tg 结论：
1
0 0o K
o
0
K
相频范围：0 o~ 0
相频特性：稳态输出与输入相位之差，即：
( ) G( j )
G(jω)：包含了幅频特性和相频特性，故称其为幅相 频率特性表达式。
二、频率特性的表示形式
G(j) A()e 1）极坐标形式：
3）两种坐标间转换：
j ( )
G( j) ()
2）直角坐标形式： G( j ) Re G ( j ) jImG( j )
上节课内容回顾
如何在根轨迹图上确定系统稳定的参数范围？
如何在根轨迹图上确定各种阻尼情况的参数范围？
过阻尼？
临界阻尼？
欠阻尼？ 无阻尼？
如何在根轨迹图上确定系统是否有某种输入下的稳 态误差？
第五章 线性系统的频域分析法
频域分析法： 应用频率特性研究线性系统的经典方法。
Re[G( j x )]
分情况讨论： 与 T1T2 的 大 小
T1 T2
令虚部为零得： Im[G( j x )] 0
T1T2 T1 T2 T1T2 T1 T2

0

0
含有一阶微分， 有凹凸现象
0
0
5.2.2 对数频率特性曲线（又叫bode图）
最小相位环节： K 0, T 0, 0,0 1
5.2.1极坐标图（nyquist 、幅相频率特性曲线）
注：Matlab命令：nyquist(sys)
手工绘制：以实轴为横轴，虚轴为纵轴，构成复平面， 取几个特殊值时的幅值和相角，然后根据G(jω)随ω 值的变化的趋势画出幅相曲线的大概形状。 注： 1）参变量ω在复平面上并不出现，只用箭头表示ω增大时幅相 曲线的变化方向。 2）通常只画ω从0到∞的幅相曲线，而ω从0到-∞的幅相曲线 与前者关于实轴对称。
1 j2 / n 1
1 2 1 - 2 / n j2 / n
幅频：A( ) 相频：
1 (1 / n ) 4 / n
2 2 2 2 2
1
2
( ) tg
2 / n 2 2 1 / n
G ( )
1
2 2 2 [1 2 ] [2 ] n n
2 n tan-1 2 1- 2 n ( ) (180 tan-1
G( j 0) 10
, n
2
2
1 2 n
n
)
, n
G( j ) 0 180
谐振频率wr 和谐振峰值Mpr
例1:当 0.3, n 1，时
G ( ) 1
2 2 2 [1 2 ] [2 ] n n
d 2 G ( ) 0 2 1 2 2 d n
r n 1 2 2
0
4 、惯性环节
- 45o
1/T
结论： 惯性环节的极坐标图为一个半圆。 相频范围：0 o~ -90
o
5、一阶微分环节 传递函数：G( s ) Ts 1 频率特性： G( j ) jT 1 幅频： A( ) 相频： ( ) tg
T 1
2 2
1
T
1
M pr G ( r ) 且0 0.707 1 2 1 2
r 1 1 2 0.32 0.9055
M pr 1 2 0.3 1 0.32 1.832
结论：
相频范围：0 o~ -180
o
当ζ>0.707,没有峰值，A(ω)单调衰减；
Im[G( jx )] 0或 (x ) k Re[G( jx )] ?
3）根据A(ω)和(ω)确定变化趋势，画出Nyquist图的
大致形状。
1、极坐标图的起点：ω=0+ 时G(j0+) 的位置
K 系统开环传函：G(s) G0 (s) s 0型： G(j0 ) K0 o K o Ⅰ型及以上： G(j0 ) 90 0 (j )
Ⅱ. 极坐标图（幅相特性） (nyquist)
Ⅳ. 对数幅相特性(nichols)
L( ) 20lgG( j )
对数相频
( ) G( j )
请重点掌握Ⅱ、Ⅲ两种！
5.2 典型环节与开环系统频率特性
最小相位环节和非最小相位环节的区别： 最小相位环节：K>0,开环零、极点在s左半平面；
K(s 1) s(T1s 1)(T2 s 1)
; K, T1 , T2 , 0
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解： 起点：
I型： 0 : G( j0 ) 90o
终点： n m 2 : G( j) 0 180o
与实轴的交点： 令虚部为零得：
Im[G( j x )] 0 x