(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系

四种命题
四种命题间的相互关系
1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。

3、会用命题的等价性解决问题。

【核心扫描】：
1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。

(重点)
2、掌握四种命题之间的相互关系。

(重点)
3、等价命题的应用。

(难点)
1、四种命题的概念
(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么
另一个叫做原命题的否命题。

也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若非p，则非q”。

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的
否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命
题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为若非q，则非p。

任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个
命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题的相互关系
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题逆命题否命题逆否命题真真真真
真假假真
假真真假
假假假假
(2)四种命题的真假性之间的关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？
因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个
数可能为0，2，4.
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：
原命题：若P，则q；
逆命题：若q，则p；
否命题：若非P，则非q；
逆否命题：若非q，则非p.
(1)关于四种命题也可叙述为：
①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；
②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；
③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．
(2)已知原命题，写出它的其他三种命题：
首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。

然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。

如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提。

原命题为真，它的逆命题不一定为真；
原命题为真，它的否命题不一定为真；
原命题为真，它的逆否命题一定为真；
原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真？？？
四种命题的等价关系的应用：
判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假。

例如
带有否定词的命题真假的判断。

因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命
题来间接地证明原命题为真命题．
四种命题之间的转换
【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
思路探索：可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题。

解：
(1)
逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；
逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)
逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤０；
逆否命题：如果x≤０，那么x≤10.
(3)
逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠２，那么x2＋x－6≠０；
逆否命题：如果x2＋x－6≠０，那么x≠2.
规律方法：
1、写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结
论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题。

2、在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论。

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。

(1)垂直于同一平面的两直线平行；
(2)若m·ｎ<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
解
(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0 有实数根，则m·n<0.
，则方程mx2－x＋n＝0 没有实数根．
否命题：若m·n≥０
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0 没有实数根，则m·n≥0.
题型二四种命题真假的判断
【例2】有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
[思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．
解析
①“若x＋y≠０，则x，y不是相反数”，是真命题．
②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．
③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤０可得－2≤x≤３，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．
④“相等的角是同位角”是假命题．
答案1
规律方法：要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的
相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
下列命题中是真命题的是：()．
A、命题“若0<log a b<1，则0<a<1<b”的逆命题
B、命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C、命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题
D、命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
解析对于A，逆命题为“若0<a<1<b，则0<log a b<1”，由对数函数图象得，当0<a<1<b时，log a b<0，∴A为假；
B项，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B 为假；
C项，否命题是“当x≠２时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以为假；
D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选 D.
答案D
等价命题的应用
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤０的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
审题指导：本题的命题意图是考查逆否命题的应用，由于原命题与它的逆否命题同真同假，
所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的
真假。

[规范解答]
法一：原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：3分
∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，6分
若a<1，则4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点.9分
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真.12分
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥０，4分
即4a－7≥０，
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真。

12分
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我
们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间
接地证明原命题为真命题。

判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数
根”的逆否命题的真假．
解∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
反证法的应用
1、反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。

由于互
为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真。

在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立。

2、反证法的思想方法：命题“若p，则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，假设q不成立，即非q成立，由此进行推理，则非p一定成立，这与p成立矛盾，那么就说明“假设q不成立”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法．
3、反证法证明命题的步骤：
(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；
(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响．
若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数。

思路分析：可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法。

法一：依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题。

为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.”为真命题即可。

∵a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数。

于是a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2。

∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立。

法二：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数。

得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾。

所以假设不成立，从而原命题成立。

方法点评：
上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某
一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点。

两种方法相比较，反证法更具有“程式化”特点．注意含有否定词的命题常用反证法证明。