《物理光学》§5-5-6圆孔的夫琅和费衍射

2 2
P点的强度
2
kωb sin 2 kωb 2
2
sinα sinβ = I0 β α kla kωb x y α= , β= , l = sin θx ≈ , ω = sin θ y ≈ 2 2 f f
2dsinγ = nλnb
§5－5 圆孔的夫琅和费衍射
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
一、圆孔的夫琅和费衍射公式： 圆孔的夫琅和费衍射公式： 与矩孔的夫琅和费衍射不同的是孔径的形 状，由于是圆孔，故为计算方便，将夫琅 和费衍射公式由直角坐标变换为极坐标即 可得到圆孔的夫琅和费衍射公式： x1 = r cosψ1 x = rcosψ 1 y y1 = r si ψ1 n y = rsi ψ n 1 dσ = r dr dψ1 1 1 r x rcosψ Ψ = = θcosψ
2
五、双缝夫琅和费衍射
强度分布为： 强度分布为：
~ E(P) = c'
d+ a 2
∫ exp(− iklx )dx ∫ exp(− ikωy )dy
1 1 1 − a 2 b 2 − b 2
a 2
b 2
1
+ c'
∫ exp(− iklx )dx ∫ exp(− ikωy )dy
1 1 1 d− a 2 − b 2
此即为夫琅和费矩孔衍射 此即为夫琅和费矩孔衍射的强度分布公式。 矩孔衍射的强度分布公式。
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
2、单缝衍射 ＞＞a 则x轴有强衍射效应 单缝 ：b＞＞a 此时，衍射强度分布公式
sin α I = I0 α alk ka ka α= = sin θx = sin θ 2 2 2
或：
r
~ ~ exp(ikr) E(P) = c∫∫ E(Q) K(θ )dσ ∑ r
S
P
＇ Σ Z＇
二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式： 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式：
→ → → cos n, r - cos n, A exp(ikl ) exp(ikr ) ~ E(P) = ∫∫ iλ l r 2 ∑ ~ exp(ikr ) = c ∫∫ E(Q) K(θ )dσ r ∑
z =− z dz =0
这些z 这些z值决定衍射亮环的位置。
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
从图5 20看出，一般两相邻暗环的间距并不 从图5－20看出，一般两相邻暗环的间距并不 相等。光能则主要集中在中央亮斑内。此中 央 亮斑通常称为爱里（Airy）斑。其半径由 亮斑通常称为爱里（Airy）斑。其半径由 下式决定。 kar0 z= = 1.22π
衍射内容回顾
一、惠更斯－菲涅尔原理 惠更斯－
1.内容：“波前上任何一个未受阻挡的点 1.内容：“ 都可以看作是一个频率（或波长）与入射 波相同的子波源；在其后任何地点的光振 动，就是这些子波叠加的结果。” 动，就是这些子波叠加的结果。” 2.表达式： 2.表达式： Z →
R Q Σ
θ
~ Aexp(ikR) exp(ikr) dE(P) = cK(θ ) dσ R r
公式
→
l dσ
→ → → cos n, r - cos n, 1 ~ Aexp(ikl ) c= , E= , K(θ ) = iλ l 2
→
l
三、基尔霍夫衍射公式的近似： 基尔霍夫衍射公式的近似：
f f y rsi ψ n = = θsi ψ n f f
0
x
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
式中是θ衍射角（衍射方向OP与光轴的夹角） 式中是θ衍射角（衍射方向OP与光轴的夹角） 将上列关系代入夫琅和费衍射公式：
x2 + y2 xx1 + yy1 ~ dx1dy1 E(P) = c' expik 2 f ∫∫ exp− ik f ∑
2πc' ~ E(P) = 2πc' ∫ J0 (− krθ )r dr = 1 1 1 2 (kθ ) 0
a kaθ
∫ (krθ )J (krθ )d(krθ )
1 0 1 1 0
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
因为 则
2πc' ~ E(P) = 2πc' ∫ J0 (− krθ )r1dr1 = 1 2 (kθ ) 0
1、傍轴近似：入射光垂直孔径面 傍轴近似： 1 1 K(θ ) = 1 , ≈ 2、菲涅耳近似： 菲涅耳近似：
r
3、菲涅耳衍射公式 ：
1 ( x − x1 )2 + ( y − y1 )2 r = z1 1+ 2 z1 2
z1
ik exp(ikz1 ) ~ ~ 2 2 E(x, y) = ∫∫ E(x1, y1 )exp2z1 (x − x1 ) + ( y − y1 ) dx1dy1 iλz1 ∑
a kaθ
d [zJ1 (z)] = zJ 0 (z) dz
∫ (krθ )J (krθ )d(krθ )
1 0 1 1 0
2πc' ~ r1 =a 2 2J1 (kaθ ) E(P) = [kr1θJ1(kr1θ )]r1=0 = πa c' 2 kaθ (kθ )
变为
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
x2 + y2 ~ c ~ ∫ ∫ E( x1 , y1 ) • exp[− ik (lx1 + ωy1 )]dx1dy1 E = exp(ikf ) expik f a b 2f
− − 2 2 a b 2 2
cA' ~ ' ' 平 波 射 ( x1 , y1 ) = A , c = 面 入 E exp(ikf ) f x2 + y2 ~ ' ∫ exp(- iklx 1 )dx1 ∫ exp(- ikly 1 )dy1 E(x, y) = c expik 2f b −a −
[
]
三、基尔霍夫衍射公式的近似： 基尔霍夫衍射公式的近似：
4、夫琅和费近似： 夫琅和费近似：
x2 + y2 xx1 + yy1 r = z1 + − 2z1 z1
5、夫琅和费衍射公式： 夫琅和费衍射公式：
~ E( x, ik 2 exp(ikz1 ) y) = exp x + y2 iλz1 2z1
2 2 a 2 b 2
= c' ab
sin
kla kωb sin x2 + y2 2 2 exp ik kla kωb 2f 2 2
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
kla sin ~~* 2 I = EE = I0 kla 2
r0 0.61λ r0 = 1.22f , 或θ0 = = 2a f a f
λ
说明，衍射大小与半径成反比，与波长成正 比。
§ 5－ 6 光学成像系统的 衍射” 分辨本领” “衍射”和“分辨本领”
§5－6光学成像系统的衍射和分辨本领
一、成像系统的衍射现象： 成像系统的衍射现象： 几何光学：理想光学系统：点物→ 几何光学：理想光学系统：点物→点像 实际：由于存在限制光束的光瞳，使衍射效 应无法消除，使点物→ 应无法消除，使点物→衍射像斑。 一般情况下，光瞳口径比光波波长大很多， 从而衍射效应极小。但在高倍显微镜下，仍能 清楚地看到像斑结构。 如图5 21为一个望远物镜的星点检验装置。 如图5－21为一个望远物镜的星点检验装置。 若光阑直径 D = 30mm, f = 120mm
P点的强度为 式中 I0 = πa
上式即为夫琅和费圆孔衍射的强度分布公式 夫琅和费圆孔衍射图样分析： 二、夫琅和费圆孔衍射图样分析： 由强度公式可知： r 1.P点的强度与它对应的衍射角有关，因 θ = 1.P f 故强度与r有关，而与ψ 故强度与r有关，而与ψ无关，故衍射图样是 圆环条纹。 圆环条纹。
1
= c' ab = c ab
'
sin α sin β
α
β
+ c' b
sin β
d+
β
∫ exp(− iklx )dx
1 d− a 2
a 2
1
sin α sin β
α
β
[1+ ex −ikld)] p(
五、双缝夫琅和费衍射
缝:β=0，(sin β)/ β=1 =0， 则x轴上任一点P的复振幅可以表示为 轴上任一点P
(
)
•
~ ∫∫ E(x1, ∑
ik y1 ) exp− [xx1 + yy1 ]dx1dy1 z1
四、矩孔和单缝的夫琅和费衍射
1.矩孔： 1.矩孔： 矩孔 b b a a x1： ~ , y1： ~ − − 取矩孔中心作为坐标原点： 2 2 2 2 则 观察屏上的P点的复振幅为 观察屏上的P
2
多光束干涉因子：
sin N 2 sin δ 2
说明多缝衍射也是衍射和干涉的共同作用的 结果。此关系具有普遍意义。
七、衍射光栅
1.光栅普遍方程：多缝夫琅和费衍射图样中，亮 1.光栅普遍方程： 光栅普遍方程 线（主极大）位置公式： 2.光栅的色散本领： 2.光栅的色散本领： 光栅的色散本领 角色散：波长相差1A的两条谱线分开的角距离； 角色散：波长相差1A的两条谱线分开的角距离； 线色散：聚焦物镜的焦面上波长相差1A的两条谱 线色散：聚焦物镜的焦面上波长相差1A的两条谱 线分开的距离。
此即为双缝衍射强度分布公式
六、多缝夫琅和费衍射
N缝衍射的强度分布公式： 缝衍射的强度分布公式：
δ 2 sin N sin α 2 I = I0 α sin δ 式中包含两个因子： 2 2 单缝衍射因子： 单缝衍射因子： sin α 2 α δ
0 0 a 2π a 2π
~ 即：E(P) = c' ∫ ∫ exp[− ikrθ cos(ψ1 −ψ )]r1dr1dψ1 1
0 0
此关系可以用零阶贝塞尔函数来表示：
1 J0 (z) = 2π
2π
∫ exp[iz cosφ]dφ
0
z = krθ 1
零阶贝塞尔函数是偶函数，则上式： 零阶贝塞尔函数是偶函数，则上式：
d(sin i ± sin θ ) = mλ m = 0,±1,±2⋯
dθ m = dλ d cosθ
dl dθ m =f =f dλ dλ d cosθ
七、衍射光栅
3.光栅的色分辨本领： 3.光栅的色分辨本领： 光栅的色分辨本领
A = λ ∆λ = mN
4.光栅的自由光谱范围 4.光栅的自由光谱范围： 光栅的自由光谱范围： 以波长λ m+1级谱线和λ 以波长λ的m+1级谱线和λ+Δ λ的m级谱线重合为限。 λ的 即 λ(m +1 = (λ + ∆λ)m ⇒ ∆λ = λ m ) 5.闪耀光栅： 5.闪耀光栅 闪耀光栅： 闪耀角与闪耀波长的关系 n闪耀波长级数 , λnb对应级数的闪耀波长
sin α ~ E(P) = c' ab [1+ exp(− ikld )]
显然：在x 方向上两个相距为d 显然：在x1方向上两个相距为d的平行狭缝， 在P点产生的复振幅有一位相差，其值为
δ = kld =
2π
α
P点的强度为
λ
d sin θ
2
sin α 2δ I = 4I0 cos 2 α
由于位相因子 在计算强度时将被消去，可简化而舍去。
x2 + y2 expik 2 f
cA' c'= exp(ikf ) f
若圆孔半径为a 若圆孔半径为a则
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
~ E(P) = c' ∫ ∫ exp[− ik(r1θ cosψ1 cosψ + r1θ sinψ1 sinψ )]r1dr1dψ1
z = kaθ
( )
Байду номын сангаасI = πa
( )
2 2
2 2
c'
2J1 (kaθ ) 2J1 (z) c' = I0 z kaθ 2
2 2
2
为轴上点的强度。
§5－5圆孔的夫琅和费衍射
2.一阶贝塞尔函数是一个随Z作振荡变化的函 2.一阶贝塞尔函数是一个随Z 数 在Z=0处，对应于轴上点：有主极大值I/I0=1 Z=0处，对应于轴上点：有主极大值I/I 当J1（Z）=0时，有极小值I/I0=0 =0时，有极小值I/I 此时，z 此时，z值决定衍射暗环的位置。在相邻两极 小之间有一个次极小 小之间有一个次极小，其位置由满足下式的z 次极小，其位置由满足下式的z 值决定： d J1 (z) J2 (z)