专题一 因动点产生的等腰三角形问题

专题一因动点产生的等腰三角形问题
例1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
第25题
备用图
分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．
（1）若
ED BE =，求∠F 的度数；
（2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长．
题5分）
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，
DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP 的长．
A
B
E
C
A
B C
E
D
第25题图（备用图）
专题一 引动点产生的等腰三角形问题答案
例1、【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax2＋bx ＋c ，
∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1。

∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x2＋2x ＋3。

（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P 。

则此时的点P ，使△PAC 的周长最小。

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：
，解得：。

∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3。

当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)。

（3）存在。

点M 的坐标为(1
)，(1
)，(1，1)
，(1，0)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。

【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。

（2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点。

（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA ＝AC 、②MA ＝MC 、②AC ＝MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解： ∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m ＋10，AC2＝10。

①若MA ＝MC ，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m ＋10，得：m ＝1。

②若MA ＝AC ，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m 。

3k+b=0b=3⎧⎨⎩k=1
b=3-⎧⎨⎩
③若MC ＝AC ，则MC2＝AC2，得：m2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6， 当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1
，(1，－
)，(1，1)，(1，0)。

例2、考点：二次函数综合题；分类讨论。

解答：解：（1）如图，过B 点作BC ⊥x
轴，垂足为C ，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB •sin60°=4×=2
，
∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O 和点A ．B ， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx ， 将A （4，0），B （﹣2．﹣2）代入，得
，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x （3）存在，
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x 轴的交点为D ，设点P 的坐标为（2，y ）， ①若OB=OP ， 则22+|y|2=42， 解得y=±2，
当y=2时，在Rt △POD 中，∠PDO=90°，sin ∠POD==
，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P 、O 、B 三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P 的坐标为（2，﹣2）
②若OB=PB ，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2，
故点P 的坐标为（2，﹣2），
③若OP=BP ，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2，
故点P 的坐标为（2，﹣2），
综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣2），
例3、解答（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
（1）联结OE--------------------------------------------------------------------------(1分)
∵⋂ED =⋂
BE ∴∠BOE=∠EOD--------------------------------------------------(1分) ∵OD//BF ∴∠DOE=∠BEO
∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB--------------------------------------------------(1分) ∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°-------------------------------------------------(1分) ∵∠FCB=90°∴ ∠F=30°-------------------------------------------------------(1分) (2)作OH ⊥BE ，垂足为H ，---------------------------------------------------------(1分) ∵∠DCO=∠OHB=90°，OB=OD ，∠OBE=∠COD
∴△HBO ≌△COD-----------------------------------------------------------------(1分) ∴ ,2,x BE x BH CO ===
∵OD//BF ∴ BC OC
BF OD =
-------------------------------------------------------(1分)
∴x x y x +=+424 ∴
)
40(21642<<-+=
x x x x y -------------------(2分)
（3）∵∠COD=∠OBE ，∠OBE=∠OEB ，∠DOE=∠OEB
∴ ∠COD=∠DOE ， ∴C 关于直线OD 的对称点为P 在线段OE 上--(1分)
若△PBE 为等腰三角形
① 当PB=PE ，不合题意舍去；------------------------------------------(1分)
② 当EB=EP
34
,42=
-=x x x -----------------------------------------(1分) ③ 当BE=BP 作BM ⊥OE ，垂足为M ，
易证△BEM ∽△DOC
∴OC EM DO BE = ∴x x
x
2
44
2-= 整理得：
217
1,042±-=
=-+x x x （负数舍去）--------------(1分)
综上所述：当OC 的长为34或217
1+-时，△PBE 为等腰三角形。

例4【答案】解：（1）在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8 ∴
BC=10……………………（1分） 点D 为BC 的中点 ∴CD=5 可证△ABC ∽△DEC
∴， 即………………………………（1分） ∴
，……………………………………………………（2分）
（2）①当点P 在AB 边上时，在Rt △ABC 中，∠B+∠C=90°， 在Rt △EDC 中，∠DEC+∠C=90°， ∴∠DEC=∠B
∵DE ⊥BC ，∠PDQ=90° ∴∠PDQ=∠BDE=90° ∴∠BDP=∠EDQ
∴△BPD ∽△EQD ……………………………………………………………（1分）
∴， 即
， ∴
………………………………………………………………………（2分）
∴CQ=EC-EQ
…………………………………………………………（1分）
②当点P 在AB 的延长线上时，同理可得：，
∴CQ=EC+EQ
…………………………………………………………（1分）
（3）∵线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，∴点P 在边AB 上
∵△BPD ∽△EQD ∴
DE EC CD AB BC AC ==5
6108DE EC ==154DE =
25
4CE =EQ DE BP BD =15
4
25EQ =3
2EQ =
19
4=
32EQ =
31
4=
4
3BP BD PD EQ ED QD ===
若设BP=x ，则
，
…………………………………（1分） 可得
∴∠QPD=∠C 又可证∠PDE=∠CDQ ∴△PDF ∽△CDQ
∵△PDF 为等腰三角形 ∴△CDQ 为等腰三角
形………………………（1分）
①当CQ=CD 时，可得： 解得：
………………………（1分）
②当QC=QD 时， 过点Q 作QM ⊥CB 于M ，
∴
， ∴， 解得 ……………………………………………（1分）
③当DC=DQ 时，过点D 作DN ⊥CQ 于N ，
∴
，
∴， 解得
(不合题意，舍去)…………………………（1分）
∴综上所述，或.
34EQ x =
25344CQ x
=-4
cot cot 3QPD C
∠==253
544x -=5
3x =
1522CM CD ==5525248CQ =⨯=
2532544
8x -=
25
6x =
4545CN =⨯
=28CQ CN ==253844x -=73x =-
53BP =
25
6。