专题一 因动点产生的等腰三角形问题

专题一因动点产生的等腰三角形问题

例1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

第25题

备用图

分）

如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．

（1）若

ED BE =，求∠F 的度数；

（2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；

（3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长．

题5分）

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，

DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP=2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP 的长．

A

B

E

C

A

B C

E

D

第25题图（备用图）

专题一 引动点产生的等腰三角形问题答案

例1、【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax2＋bx ＋c ，

∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x2＋2x ＋3。 （2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P 。 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小。

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

，解得：。

∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3。 当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)。

（3）存在。点M 的坐标为(1

)，(1

)，(1，1)

，(1，0)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。

（2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点。

（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA ＝AC 、②MA ＝MC 、②AC ＝MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解： ∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m ＋10，AC2＝10。 ①若MA ＝MC ，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m ＋10，得：m ＝1。 ②若MA ＝AC ，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m 。

3k+b=0b=3⎧⎨⎩k=1

b=3-⎧⎨⎩

③若MC ＝AC ，则MC2＝AC2，得：m2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6， 当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1

，(1，－

)，(1，1)，(1，0)。 例2、考点：二次函数综合题；分类讨论。 解答：解：（1）如图，过B 点作BC ⊥x

轴，垂足为C ，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB •sin60°=4×=2

，

∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O 和点A ．B ， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx ， 将A （4，0），B （﹣2．﹣2）代入，得

，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x （3）存在，

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x 轴的交点为D ，设点P 的坐标为（2，y ）， ①若OB=OP ， 则22+|y|2=42， 解得y=±2，

当y=2时，在Rt △POD 中，∠PDO=90°，sin ∠POD==

，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P 、O 、B 三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P 的坐标为（2，﹣2）

②若OB=PB ，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2，

故点P 的坐标为（2，﹣2），

③若OP=BP ，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2，

故点P 的坐标为（2，﹣2），