载流长直导线在磁场中所受的力讲解

範例6
邊長5 m、4 m、3 m 的直角三 角形電路，通以2 A電流，置於 方向向右且強度3 T的均勻磁場 中。若電路的平面與磁場方向 平行，則整個線圈所受之淨磁 力與淨磁力矩各為何？ (A) 磁 力0、磁力矩0 (B) 磁力18 N、 磁力矩0 (C) 磁力18 N、磁力矩 36 N．m (D) 磁力0、磁力矩36 N．m (E) 磁力24 N、磁力矩 72 N．m 。
及磁場的方向，即指離另
一導線的方向。
a兩導線之間的磁力為量值相等、方向相反的斥力。 換言之，兩平行載流直導線若電流方向相反時，則 兩導線互相 排斥 。
F 0i1i2 L 2 d
※安培的定義
上述公式被用來定義SI制單位中的電流的單位 --安培。如兩載相同電流的無限長細直導線， 互相平行排列，在真空中相距 1 公尺，而導 線上每公尺的作用力為 2×10－7 牛 頓，則導 線上電流的值定為 1 安培。
如下圖所示，將四種導線的首尾相接：
(1)甲導線的長度為 4L 所受磁力
L
所 受 的 磁 力 i 4 L B
2L
4iLB
Hale Waihona Puke L4L(2)乙導線的長度為 2L 所受磁力
L
2L
2L 2L
所 受 的 磁 力 i 2 L B
L
L L
LL
2iLB
2L
2L
L
L
LL
2L
2L
(1)甲 導 線 所 受 的 磁 力 4iLB。 (2)乙 導 線 所 受 的 磁 力 2iLB。
( 4 ) F d a 4 2 0 .5 s in 9 0 2 2 ( N ) ， 方 向 平 行 於 O c 。
(2 )F b c4 1 0 .5 sin9 0 2 (N )， 方 向 平 行 於 b O (即 x軸 方 向 )。 (3 )F cd42 0 .5 sin4 5 2 (N )， 方 向 平 行 於 zO (即 z軸 方 向 ) 。 (4 )F d a42 0 .5 sin9 0 22 (N )， 方 向 平 行 於 O c 。
直導線各載電流i1、i2：
1.兩電流i1、i2方向相同
(1)如右圖所示，電流 i1 在
導線 2 處所建立的磁場為
B1
2
0
i1 d
，其方0i1 向由安 2d
培右手定則可知，垂直於
電流方向。
(2)導線 2 處所受的磁力
F 2i2LB1sin90
i2 L (
0i1 2 d
)
0i1i2 2 d
L
其方向同時垂直於電流
其大小皆為F = i b B ， CD 段所受的磁力沿鉛
直 向下 ，AB 段所受的磁
力沿鉛直 向上 。
產 生 的 力 矩 皆 為 1F
a 2
sin
ibB a sin iabBsin(順 時 針 方 向 ) 。
2
2
(2) DA 與 BC 兩段所受的 磁力大小相等，方向相 反，DA 段所受的磁力 沿 O'O 方向，BC 段所 受的磁力沿OO'方向， 故兩者產生的力矩為 τ2= 0 。
F cd
Fx
※快速解法：
在 均 勻 磁 場 中 ， 封 閉 線 圈 所 受 的 磁 力 為 零 。
範例3
如下圖所示，有一均勻磁場垂直進入紙面，在紙面上有四種導線 組合，分別由兩條長度各為 L 和兩條長度各為 2 L 的金屬線所組 成，導線上的電流皆為 i ，其電流方向如箭頭所示，不考慮供應 導線電流的迴路所受的磁力，試問此四種導線組合所受的磁力， 依其大小排列的次序為何？ (A)甲>乙>丙>丁 (B)丁>乙=丙>甲 (C) 甲=丁>丙=乙 (D)甲>乙=丙>丁 (E)丙>甲=乙>丁 。【93研究用試卷】
2.當其法線（與線圈面 垂直的方向）與磁場 的夾角為θ時，為方 便理解，我們可從 O' 沿 OO' 方向看去，如 此便可將圖(a)簡化為 圖(b)。
線 圈 面 與 磁 場 的 夾 角 為 ： 2 。
3.使電流 i 沿右圖所示的方向
通過線圈，則：
(1)CD 與 AB 兩段所受的磁
力大小相等，方向相反，
如右圖所示，將導線分成 許多小段，每小段長分別為 、1 、2 3… ， 受 到 的 磁 力 分 別 為 F、1 F、2 F3… ， 則整個導線受到的總磁力
FFiB
i 1 B i 2 B i 3 B … i ( 1 2 3 … ) B iAAB
※重要推論
在 A 與 A兩點重合，此時的 導線稱為封閉線圈，因為 AA 0 ，故其所受的磁 力為 0 。
範例1
空間中有一強度為10特斯拉的均勻磁場，磁場中 有一長為1公尺，電流大小為5安培的導線，求下 列三種狀況下導線所受的磁力： (1)導線與磁場平行，如下圖(a)所示。 (2)導線與磁場垂直，如下圖(b)所示。 (3)導線與磁場的夾角為45°，如下圖(c)所示。
範例2
如右圖之迴路abcda，其載流 為4A，載流方向如圖所示。 立方體的邊長均為100cm， 處於方向朝+y的均勻磁場 B=0.5T，則： (1)ab段導線所受的磁力大小為 牛頓。 (2)bc段導線所受的磁力大小為 牛頓。 (3)cd段導線所受的磁力大小為 牛頓。 (4)da段導線所受的磁力大小為 牛頓。 (5)整個迴路所受的磁力為 牛頓。
範例4
一長為40公分的直導線甲與一無限長的導線乙 平行而列，相距5公分。若導線甲的電流為5安 培，導線乙的電流為10安培，方向相同，則兩 導線相互間的作用力為多少牛頓？【76日大】
F i B i1
0i2 2 r
50.442150710120
8105(N)
範例5
三條長直平行導線在同一平
面上，其電流及導線距離如
(3)丙導線的長度為 2L 所受磁力
所 受 的 磁 力 i 2 L B 2iLB
(4)丁導線的長度為 0 所受磁力
所 受 的 磁 力 i 0 B
0 所 受 磁 力 大 小 的 順 序 為 ：
甲 >乙 =丙 >丁 ， 故 選 (D)。
三、兩平行載流導線之間的磁力
若二導線間距離為 d，導線長度 皆為L（L >> d）的二平行載流
圖所示；導線丙單位長度之
受力為
。【86日大】
F
i1LB
i1L (
0i2 2 r
)
0i1i2 2 r
L
單 位 長 度 所 受 的 力 F L 2 0 i1r i2
丙 單 位 長 度 所 受 甲 的 力 F 甲 L丙20
i
22 2 d0 iI 2 2 2dI0id 2 , 2 0Id2,
FiBsin
( 1 ) F a b 4 1 0 . 5 s i n 1 8 0 0 ( 2 ) F b c 4 1 0 .5 s in 9 0
2(N)，方向平行於bO (即x軸方向 )。
( 3 ) F c d 4 2 0 .5 s in 4 5 2 ( N ) ， 方 向 平 行 於 z O ( 即 z 軸 方 向 。 )
( 5 ) 如 右 圖 所 示 ， F d a 分 解 為 ： x 軸的分量
Fx 2 2 sin45
2( N ) 與 F bc抵 消 。 z 軸的分量
F故 z 個 22導 ( N線 2)所 co受 s與 4的 5F c 磁 d抵 力 消 為 。 零 。 F Fb cz 4 5 F d a
繞 y 軸旋轉，將此線圈置於一
磁場強度為 B 的均勻磁場中( B
的方向為＋x 方向)，當線圈面
與磁場 B 的夾角為30時，此線
圈所受的力矩大小為
( A )ih B ( B )ih d B ( C )3 id B ( D )3 ih d B ( E )1 id B
2
2
2
【96 松山高中】
線 圈 的 面 積 Ahd ，
BFC 兩部分導線在圓心 O 點產
(1)F1i Bsin 5 1 1 0 s in 0 0
(2)F2i Bsin 5 1 1 0 sin 9 0
5 0 ( 牛 頓 ， )垂 直 紙 面 向 上 。
(3)F3i Bsin 5 1 1 0 sin 4 5
2 52 (牛 頓 ， )垂 直 紙 面 向 上 。
線 圈 法 線 和 磁 場 的 夾 角
9 0 3 0 6 0
線 圈 所 受 磁 力 矩
iN BAsin
i 1 B (h d )sin 6 0 3 ih d B 2
故選(D)。
範例8
由二直線段和半徑為 a 及 b 的
二同心半圓構成的導線，載電
流為 i（如右圖），下列敘述何
者正確？ (A)半圓 AED 與半圓
丙 單 位 長 度 所 受 乙 的 力 F 乙 L丙20
i
2di0I d 2I0 id2 2 , 0Id2,
F乙丙F甲丙0 LL
四、載流線圈在磁場中所受的力矩
1.如右圖(a)所示， 將一長為 a、寬 為 b，面積為A （= a × b）的矩 形線圈，置於均 勻磁場 B 之中， 以 OO' 為轉軸 而轉動。
產 生 的 力 矩 皆 為 1iabB2sin(順 時 針 方 向 ) 20
整個線圈所受的合力 0 。
(3)整個線圈所受的合力矩2(1
2
)
=2(iabBsin
2
+0)
iabBsiniBAsin 。
4.若共有 N 匝線圈，則所受合力矩τ= iNBAsin 。
5.上述結論雖然是由矩形線圈所推導而得，但我們可 將之推廣至任意形狀的線圈。換言之，線圈所受的 力矩與線圈面積成正比，而與線圈形狀無關。
成 正比 。
( 3 ) F 同 時 垂直 於 電 流 與 磁 場 F i B i Bsin。
上 式 稱 為 安 培 的 作 用 力 定 律 。 若 以 向 量 式 表 示 ， 則 為
F i B
3.決定受力方向的方法
(1)以右手開掌定則決定方向
電流、磁場及導線受力三 者方向之間的關係，可由右手 開掌定則來決定：右手掌張開， 以拇指指向電流方向，四指指 向磁場方向，則掌心方向即為 導線的受力方向，如右圖所示。
载流长直导线在磁场中所受的力讲解
一、載流長直導線在磁場中所受的力
1. 載流長直導線 2. 在磁場中受
力 的實驗
我們可以安排 一個實驗來觀察長 直導線在磁場中受 力的現象，如右圖 所示。
當開關接通時，電路 中有了順時針方向的 電流，此時會看到細 銅線往磁鐵開口方向 移動，顯示細銅線受 到了向開口方向的力 作用，也就是說：細 銅線受磁力 F 的方向 與電流的方向 i 及磁 場 B 的方向（從 N 極 到 S 極）均相互垂直。
a兩導線之間的磁力為量值相等、方向相反的引力。 換言之，兩平行載流直導線若電流方向相同時，則 兩導線互相 吸引 。
2.兩電流i1、i2方向相反
同理，若兩電流i1、i2
方向相反，如右圖所示，
可得兩導線所受到的磁力
F1
F2
0i1i2 2d
L（單位長
度所受的力 F 0i1i2 ）， L 2 d
其方向向同時垂直於電流
及磁場的方向，即指向
另一導線的方向。
單 位 長 度 所 受 的 力 F L 22
0
i
1i d
2
。
0i1 2d
B1
0i1 2 d
(3)同理，導線 1 所受到的磁力
0i1i2
F1 2 d
L
(單位長度所
受的力F1 L
0i1i2 2 d
)，
其方向同時垂直於電流及磁場的
方向，即指向另一導線的方向。
(2)以右手螺旋定則決定方向
電流、磁場及導線 受力三者方向之間的關 係，也可以用右手定則 表示之，如右圖所示， 將右手拇指伸直，其餘 四指先指向電流 i 的方 向，再將四指彎轉至磁 場 B 的方向，則大拇指 所指的方向即為力 F 的 方向。
二、任意形狀之載流導線在均勻磁場中所受 的力
如右圖所示，一彎曲形 狀的導線上載有電流 i，置 於均勻磁場 B 中，則其所 受的磁力等於將導線首尾相 接的直導線 A A 所受的磁 力。
2.安培的作用力定律
將一載有電流 i ，長度為l 的導線置於均勻磁場 B中， 電流與磁場的夾角為θ，安培由實驗與理論分析，得 知此段導線所受的磁力 F 有下列性質：
(1 )F 與 i及 的 大 小 成 正比 。
(2 )F 與 磁 場 在 電 流 方 向 上 的 垂 直 分 量 (B B sin)
【93中山女中】
(1)在均勻磁場中，封閉線圈所受 的磁力為零。
(2)線圈的面積A346(m2)， 2
法線與磁場的夾角為90。
線 圈 所 受 磁 力 矩 i N B A s i n
2 1 3 6 s in 9 0
故選(D)。
36(Nm)
範例7
右圖長方形線圈長 d，寬 h，通
有電流 i，固定在 y 軸，且可