《二次函数与一元二次方程》专题练习

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人教版九年级上册数学同步练习《二次函数与一元二次方程》(习题+答案)

22.2 二次函数与一元二次方程内容提要1.二次函数与一元二次方程有着密切的联系，我们常常利用二次函数的图象与性质来解决与一元二次方程相关的问题.2.二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点；有一个公共点；有两个公共点.这恰好对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根；有两个相等的实数根；有两个不相等的实数根.因此，我们可以利用函数图象来求一元二次方程的近似解.基础训练1.抛物线221218y x x =-+与x 轴的交点坐标为；与y 轴的交点坐标为 .2.抛物线2y ax bx c =++的形状如图所示，则一元二次方程20ax bx c +++=的解为；当时，0y <.3.一次函数23y x =-与二次函数221y x x =-+的图象的交点坐标是 .4.已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程23ax bx c ++=的解为.5.抛物线21y x kx =-+-与x 轴交点的个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对6．已知抛物线的顶点为()2,3-，且经过点()3,2-，则该抛物线与坐标轴的交点个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列说法：①20a b +=，②当13x -≤≤时，0y <，③若()11,x y ，()22,x y 在函数图象上，当12x x <时，12y y <，④930a b c ++=，其中正确的是（） A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④8．已知抛物线()20y ax bx c b a =++>>与x 轴最多有一个交点，试分析关于x 的方程220ax bx c +++=根的情况.能力提高1．不论自变量x取什么实数，抛物线223y x x m=-+与x轴都没有交点，则m的取值范围是.2.若关于x的函数221y kx x=+-与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为. 3.已知二次函数23y x x m=-+（m为常数）的图象与x轴的一个交点为()1,0，则关于x的一元二次方程230x x m-+=的两实数根是（）A．11x=，21x=-B．11x=，22x=C．11x=，20x=D．11x=，23x=4．已知抛物线2y ax bx c=++如图所示，则（1）关于x的方程20ax bx c++=的根的情况是（）；（2）关于x的方程2 2.5ax bx c++=的根的情况是（）；（3）关于x的方程23ax bx c++=的根的情况是（）；（4）关于x的方程24ax bx c++=的根的情况是（）.A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根5．已知函数223y x x=+-，当x m=时，0y<，则m的值可能是（）.A．4-B．0 C．2 D．36．已知二次函数2y ax bx c =++的部分取值如下表所示，则一元二次方程20ax bx c ++=有一个解的取值范围是（）A ． 2.3x < 2.3 2.4x << 2.4 2.5x << 2.5x >7．已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象相交于点()2,4A -和()8,2B ，求当12y y <时x 的取值范围.8.已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数）.（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？9.若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个交点，且过点(),A m n ，()6,B m n +. （1）写出b 与c 之间的数量关系；（2）求n 的值.10.已知抛物线2114y x =+（如图所示）. （1）写出抛物线的顶点坐标、对称轴；（2）已知y 轴上一点()0,2A ，点P 在抛物线上，过点P 作PB x ⊥轴，垂足为B .若PAB ∆是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上，在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由.拓展探究1．已知二次函数()()22210y x k x k k k =-+++>. （1）当12k =时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x 的一元二次方程()22210x k x k k -+++=有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且1OP =，直线AP 交BC 于点Q ，求证222111OA AB AQ +=.2.已知O 为坐标原点，抛物线()210y ax bx c a =++≠与x 轴相交于()1,0A x ，()2,0B x ，与y 轴交于点C ，且O ，C 两点间的距离为3，120x x ⋅<，124x x +=，点A ，C 在直线23y x t =-+上. （1）求点C 的坐标；（2）当1y 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线1y 向左平移()0n n >个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求225n n -的最小值.22.2 参考答案：基础训练1．(3,0) (0,18) 2．1x =-或3x = 1x <-或3x > 3．(2,0) 4．2x = 5．C 6．C 7．B 8．抛物线与x 轴最多有一个交点，240b ac ∴-≤，∴关于x 的方程220ax bx c +++=中，224(2)480b a c b ac a ∆=-+=--<，即无实根．能力提高1．98m >2．1k =-或0k = 3．B 4．（1）B （2）A （3）C （4）D 5．B 6．C 7．当0a >时，28x -<<；当0a <时，2x <-或8x >．8．（1）证法一：因为22(2)4(3)120m m --+=-<，所以方程22230x mx m -++=没有实数根．所以不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点．证法二：因为10a =>，所以该函数的图象开口向上．又因为22223()33y x mx m x m =-++=-+≥，所以该函数的图象在x 轴的上方，所以不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点．（2）解：22223()3y x mx m x m =-++=-+，把函数2()3y x m =-+的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数2()y x m =-的图象，它的顶点坐标是(,0)m ，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点．9．（1）24b c =；（2）当y n =时，2x bx c n ++=，即20x bx c n ++-=．6AB =，则126x x -=，21212()436x x x x +-=，即24()36b c n --=，9n ∴=．10．（1）顶点坐标是(0,1)，对称轴是y 轴（或垂直0x =）．（2）PAB ∆是等边三角形，906030ABO ∴∠=︒-︒-︒，24AB OA ∴==．4PB ∴=．解法一：把4y =代入2114y x =+，得x =±1P ∴，2(P -．解法二：4AB =，OB ∴=，1P ∴．根据抛物线的对称性，得2(P -．（3）存在1N ，2(1)N -，3(N ，41)N -．拓展探究1．（1）11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）运用判别式可得证（3）方法一：点P 的坐标为(0,1)-，(,0)A k ，(1,0)B k +，2(0,)C k k +，易求出1AB =，OA k =，11PAy x k =-，2CB y kx k k =-++，从而求出点Q 坐标为222,11k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭．运用勾股定理求出2221k AQ k =+．全部代入可得证．方法二：从角的关系发现ABQ ∆中90AQB ∠=︒，从而得APO ABQ ∆∆～，2(1,,1)AB AQAB OA k AP k AP AO====+，从而求出AQ ，再代入求证即可．2．（1）令0x =，则y c =，故(0,)C c ，OC 的距离为3，3c ∴=，即3c =±，(0,3)C ∴或(0,3)-．（2）120x x <，1x ∴，2x 异号，①若(0,3)C ，即3c =，把(0,3)C 代入23y x t =-+，则03t +=，即3t =， 233y x ∴=-+，把1(,0)A x 代入233y x =-+，则1330x -+=，即11x =，(1,0)A ∴．1x ，2x 异号，110x =>，20x ∴<．124x x +=，214x ∴-=，解得23x =-，则(3,0)B -，代入213y ax bx =++得30,9330,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩22123(1)4y x x x ∴=--+=-++，则当1x ≤-时，y 随x 增大而增大． ②若(0,3)C -，即3C =-，把(0,3)C -代入23y x t =-+，则03t +=-，即3t =-， 233y x ∴=--，把1(,0)A x 代入233y x =--，则1330x --=，即11x =-，(1,0)A ∴-．1x ，2x 异号，110x =-<，20x ∴>．124x x +=，214x ∴+=，解得23x =，则(3,0)B ，代入213y ax bx =++得30,9330,a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=-⎩22123(1)4y x x x ∴=--=--，则当1x ≥时，y 随x 增大而增大，综上所述，若3c =，当y 随x 增大而增大时，1x ≤-；若3c =-，当y 随x 增大而增大时，1x ≥．（3）①若3c =，则22123(1)4y x x x =--+=-++，233y x =-+，1y 向左平移n 个单位后，则解析式为23(1)4y x n =-+++，则当1x n ≤--时，y 随x 增大而增大，2y 向下平移n 个单位后，则解析式为433y x n =-+-，要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =--，34y y ≥，即2(11)43(1)3n n n n ---+++≥---+-，解得1n ≤-．0n >，1n ∴≤-不符合条件，应舍去．②若3c =-，则22123(1)4y x x x =--=--，233y x =--，1y 向左平移n 个单位后，则解析式为23(1)4y x n =-+-，则当1x n ≥-时，y 随x 增大而增大，2y 向下平移n 个单位后，则解析式为433y x n =---，要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =-，34y y ≤，即2(11)43(1)3n n n n --+-≤----，解得1n ≥．综上所述：1n ≥，22525252()48n n n -=--，∴当54n =时，225n n -的最小值为258-．。

统编九年级数学上册《一元二次方程》《二次函数》基础练习(5套)

基础知识反馈卡•21.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则() A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－12．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为()A．－1 B．1 C．－2 D．2二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.4．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．5．把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．基础知识反馈卡•21.2.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．用配方法解方程x2－23x－1＝0，正确的配方为()A.x－132＝89B.x－232＝59C.x－132＋109＝0D.x－132＝1092．一元二次方程x2＋x＋14＝0的根的情况是()A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x2－4x－12＝0的解x1＝________，x2＝________.4．x2＋2x－5＝0配方后的方程为____________．5．用公式法解方程4x2－12x＝3，得到x＝________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.(1)对于任意实数m，判断此方程根的情况，并说明理由；(2)当m＝2时，求方程的根．时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．一元二次方程x2＝3x的根是()A．x＝3 B．x＝0C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－32．方程4(x－3)2＋x(x－3)＝0的根为() A．x＝3 B．x＝125C．x1＝－3，x2＝125 D．x1＝3，x2＝125二、填空题(每小题4分，共12分)3．方程x2－16＝0的解是____________．4．如果(m＋n)(m＋n＋5)＝0，则m＋n＝______. 5．方程x(x－1)＝x的解是________．三、解答题(共7分)6．解下列一元二次方程：(1)2x2－8x＝0；(2)x2－3x－4＝0.时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是()A．4 B．3 C．－4 D．－32．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是()A．－3,2 B．3，－2 C．2，－3 D．2,3二、填空题(每小题4分，共12分)3．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________．4．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值是______．5．已知x1，x2是方程x2－3x－3＝0的两根，不解方程可求得x21＋x22＝________.三、解答题(共7分)6．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足1α＋1β＝1，求m的值．基础知识反馈卡•21.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是()A．173(1＋x%)2＝127 B．173(1－2x%)＝127C．173(1－x%)2＝127 D．127(1＋x%)2＝1732．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是() A．19% B．20% C．21% D．22%3．一个面积为120 cm2的矩形花圃，它的长比宽多2 m，则花圃的长是()A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m二、填空题(每小题4分，共8分)4．已知一种商品的进价为50元，售价为62元，则卖出8件所获得的利润为__________元．5．有一个两位数等于其数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，则这个两位数是________．三、解答题(共8分)6．某西瓜经营户以2元/千克的进价购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天赢利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？础知识反馈卡•22.1.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0C．m≠0 D．m≠0，或p≠02．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是()二、填空题(每小题4分，共8分)3．若y＝xm－1＋2x是二次函数，则m＝________.4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J2211，则k的取值范围为________．图J2211三、解答题(共11分)5．在如图J2212所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y＝2x2和y＝－12x2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：图J2212(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)抛物线y＝2x2，当x______时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最______点；(3)函数y＝－12x2，对于一切x的值，总有函数y______0；当x______时，y有最______值是______．基础知识反馈卡•22.1.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是()A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1C．y＝(x＋1)2 D．y＝(x－1)22．二次函数y＝－x2＋2x的图象可能是()二、填空题(每小题4分，共8分)3．抛物线y＝x2＋14的开口向________，对称轴是________．4．将二次函数y＝2x2＋6x＋3化为y＝a(x－h)2＋k的形式是________．三、解答题(共11分)5．已知二次函数y＝－12x2＋x＋4.(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？基础知识反馈卡•*22.1.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．已知二次函数的图象过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是()A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋22．若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且抛物线过(0,3)，则二次函数的解析式是()A．y＝－(x－2)2－1 B．y＝－12(x－2)2－1C．y＝(x－2)2－1 D．y＝12(x－2)2－1二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J2213，函数y＝－(x－h)2＋k的图象，则其解析式为____________．图J22134．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－14的顶点的横坐标是2，则m的值是________．三、解答题(共11分)5．已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点(0，－3)，求此函数关系式．基础知识反馈卡•22.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x的值与函数y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是()x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04A.6<x<6.17 B．6.17<x<6.18 C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.202．二次函数y＝2x2＋3x－9的图象与x轴交点的横坐标是()A.32和3B.32和－3 C．－32和2 D．－32和－2二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的交点为(m,0)，则代数式m2－m ＋2 011的值为__________．4．如图J2221是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．图J2221 图J2222三、解答题(共11分)5．如图J2222，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1,0)，B(3,2)．(1)求m的值和抛物线的关系式；(2)求不等式x2＋bx＋c>x＋m的解集(直接写出答案)．基础知识反馈卡•22.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆，剩下一个圆环的面积为y cm2，则y与x的函数关系为()A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2C．y＝－(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π2．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52t2＋20t＋1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为()A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题(每小题4分，共8分)3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝________元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．4．如图J2231，某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高度为(精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计)________．图J2231三、解答题(共11分)5．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y＝－35x2＋3x＋1的一部分，如图J2232.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．图J2232。

二次函数与一元二次方程专项练习题

二次函数与一元二次方程一、选择题（共14小题）1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=42．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧3．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=55．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．6．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣7．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x18．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞49．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③B．③④C．①②D．①④10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b12．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d13．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x214．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4二、填空题（共6小题）15．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．16．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．19．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．20．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．三、解答题（共10小题）21．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．22．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．23．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）24．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．25．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．27．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．28．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．29．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．参考答案与试题解析一、选择题（共14小题）1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．【解答】解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．2．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．【解答】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．3．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0），然后把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）可求出a的值．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=4，而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点（2，0），把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．故选A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】根据对称轴方程﹣=2，得b=﹣4，解x2﹣4x=5即可．【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，∴﹣=2，解得：b=﹣4，解方程x2﹣4x=5，解得x1=﹣1，x2=5，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．5．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】令y=0，则﹣x2+x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD 的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．【解答】解：令y=0，则﹣x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD==．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．6．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．7．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x1【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】首先根据a确定开口方向，再确定对称轴，根据图象分析得出结论．【解答】解：∵a=1＞0，∴开口向上，∵抛物线的对称轴为：x=﹣=﹣=，二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，无法确定x1与x2的正负情况，∴当n＜0时，x1＜m＜x2，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故B，D错误，故选C．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．【解答】解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选：B．9．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③B．③④C．①②D．①④【考点】抛物线与x轴的交点；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有【分析】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．【解答】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2；③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；②③的面积相等，故选：A．10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．11．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．【解答】解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．12．（2015•杭州）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．13．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x2【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．【解答】解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；B、a的符号不能确定，故本选项错误；C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．故选A．14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可．【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，可见，m≥﹣2，故选：A．二、填空题（共6小题）15．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是＜a＜﹣2．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根∴△=（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞设f（x）=ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1，∴a，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）=a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴＜a＜﹣2，故答案为：＜a＜﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=﹣1时函数值的取值范围是解答此题的关键．16．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义．【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．【解答】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于x轴对称，∴C（1，﹣4），设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为8．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB=6﹣（﹣2）=8．故答案为：8．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．19．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线x=﹣1．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】待定系数法．【分析】因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．故答案是：x=﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=．20．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是3．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】根据抛物线y=x2﹣k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B 点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO=k，∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，∴OA=OB，∠OPB=30°，∴tan30°==，∴OB=k，∴点B的坐标为：（k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，∴将B点代入y=x2﹣k，得：0=（k）2﹣k，整理得：﹣k=0，解得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．故答案为：3．．三、解答题（共10小题）21．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到=﹣=，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52﹣4（6+k）=0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：y=（x﹣m）2﹣（x﹣m）=x2﹣（2m+1）x+m2+m，∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m）=1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x=﹣=，∴m=2，∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，∵抛物线y=x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△=52﹣4（6+k）=0，∴k=，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．22．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF 的长；【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==，∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，直角三角形的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．23．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2|，∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．24．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．【解答】（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．25．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有【分析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞﹣1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=﹣x+3即可得到结果．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）．26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．菁优网版权所有【专题】待定系数法．【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）根据图象直接写出答案．【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x==﹣1．又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．27．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有【分析】（1）令抛物线解析式中y=0得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出A与B坐标即可；配方后求出C坐标即可；（2）将求得的点C的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值．【解答】解：（1）令y=0，得到x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x=1或3，则A（1，0），B（3，0），∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点C的坐标为（2，﹣1）；（2）∵点C（2，﹣1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；28．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．。

二次函数与一元二次方程练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c－0.06－0.020.030.09判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )A ．3＜x ＜3.23B ．3．23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数cbx axy ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程a x 2+b+c-3=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数cbx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数cbx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方二、填空题8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为．9．若抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交点，则这个交点的坐标是 .11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解答下列问题．(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；BxOCy A(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略 12.113.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)即该男生把铅球推出约13.75米15..(1)解方程组1212413x xxx+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x1=1,x2=3故2210330b cb c⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝12x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x161-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N161--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k561-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．。

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立；反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限，综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。

初中数学-二次函数和一元二次方程-习题及解析

初中数学-二次函数和一元二次方程-习题及解析勤志数学二次函数与一元二次方式练习题一、选择题（共15小题）21、已知二次函数y=a某+b某+c的图象如图所示，对称轴为直线某=1，则下列结论正确的是（）2A、ac＞0B、方程a某+b某+c=0的两根是某1=﹣1，某2=3C、2a﹣b=0D、当某＞0时，y随某的增大而减小22、已知二次函数y=a某+b某+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a﹣b+c＞02C、b=﹣4aD、关于某的方程a某+b某+c=0的根是某1=﹣1，某2=523、已知抛物线y=a某+b某+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与某轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc＜0B、c＞0C、4a＞cD、a+b+c＞04、抛物线y=a某+b某+c在某轴的下方，则所要满足的条件是（）22A、a＜0，b﹣4ac＜0B、a＜0，b﹣4ac＞022C、a＞0，b﹣4ac＜0D、a＞0，b﹣4ac＞025、如图所示，二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与某轴交点的横坐标分别为某1，某2，其中﹣2＜某1＜﹣1，0＜某2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；2④b+8a＞4ac．其中正确的有（）2A、1个B、2个C、3个D、4个26、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=a某+b某+c的图象可能是下列图象中的（）勤志数学A、B、C、2D、27、已知y1=a1某+b1某+c1，y2=a2某+b2某+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同B、因为y1，y2的对称轴相同C、如果y2的最值为m，则y1的最值为kmD、如果y2与某轴的两交点间距离为d，则y1与某轴的两交点间距离为|k|d28、已知二次函数的y=a某+b某+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与某轴交于A、C（﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（）A、9B、10C、11D、129、根据下列表格的对应值：判断方程a某+b某+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解某的范围是（）A、8＜某＜9B、9＜某＜10C、10＜某＜11D、11＜某＜12210、如图，已知二次函数y=a某+b某+c的部分图象，由图象可知关于某的一元二次方程2a某+b某+c=0的两个根分别是某1=1.6，某2=（）2A、﹣1.6C、4.4B、3.2D、以上都不对2211、如图，抛物线y=某+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于某的不等式+某+1＜0的解集是（）2勤志数学A、某＞1B、某＜﹣1C、0＜某＜1D、﹣1＜某＜0212、已知二次函数y=a某+b某+c的图象如图所示，则关于某的不等式b某+a＞0的解集是（）A、某＜B、某＜C、某＞D、某＞2213、方程7某﹣（k+13）某+k﹣k﹣2=0（k是实数）有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是（）A、3＜k＜4B、﹣2＜k＜﹣1C、3＜k＜4或﹣2＜k＜﹣1D、无解214、对于整式某和2某+3，请你判断下列说法正确的是（）22A、对于任意实数某，不等式某＞2某+3都成立B、对于任意实数某，不等式某＜2某+3都成立C、某＜3时，不等式某＜2某+3成立D、某＞3时，不等式某＞2某+3成立二、解答题（共7小题）215、已知抛物线y=某+2p某+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与某轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与某轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．16、已知：二次函数y=（2m﹣1）某﹣（5m+3）某+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与某轴相交于两个不同的点；（2）m 为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．3222勤志数学17、已知下表：（1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；（2）请你根据上面的结果判断：2①是否存在实数某，使二次三项式a某+b某+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．22②画出函数y=a某+b某+c的图象示意图，由图象确定，当某取什么实数时，a某+b某+c＞0．18、请将下表补充完整；（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣某﹣2某+3＜0；（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式a某+b某+c＞0（a≠0）时的解题步骤．224勤志数学219、二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：2（1）写出方程a某+b某+c=0的两个根；2（2）写出不等式a某+b某+c＞0的解集；（3）写出y随某的增大而减小的自变量某的取值范围；2（4）若方程a某+b某+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．20、阅读材料，解答问题．2例．用图象法解一元二次不等式：某﹣2某﹣3＞0．2解：设y=某﹣2某﹣3，则y是某的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．22又∵当y=0时，某﹣2某﹣3=0，解得某1=﹣1，某2=3．∴由此得抛物线y=某﹣2某﹣3的大致图象如2图所示．观察函数图象可知：当某＜﹣1或某＞3时，y＞0．∴某﹣2某﹣3＞0的解集是：某＜﹣1或某＞3．2（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：某﹣2某﹣3＜0的解集是_________；2（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：某﹣5某+6＜0．（画出大致图象）．三、填空题（共4小题）21、二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：2（1）写出方程a某+b某+c=0的两个根．某1=_________，某2=_________；2（2）写出不等式a某+b某+c＞0的解集．_________；（3）写出y随某的增大而减小的自变量某的取值范围．_________；2（4）若方程a某+b某+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．25勤志数学22、如图是抛物线y=a某+b某+c的一部分，其对称轴为直线某=1，若其与某轴一交点为B（3，20），则由图象可知，不等式a某+b某+c＞0的解集是_________．22223、二次函数y=a某+b某+c和一次函数y=m某+n的图象如图所示，则a某+b某+c≤m某+n时，某的取值范围是_________．224、如图，已知函数y=a某+b某+c与y=﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（2，﹣2）、C（1，﹣4）2三点，根据图象可求得关于某的不等式a某+b某+c＜﹣的解集为_________．6勤志数学答案与评分标准一、选择题（共15小题）21、（2022山西）已知二次函数y=a某+b某+c的图象如图所示，对称轴为直线某=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程a某+b某+c=0的两根是某1=﹣1，某2=3C、2a﹣b=0D、当某＞0时，y随某的增大而减小考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与某轴的交点。

22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)

22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。

部编数学九年级上册专题22.4二次函数与一元二次方程【六大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】【人教版】【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】....................................................................................................................1【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】........................................................................................................3【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................6【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】....................................................................................9【题型5 由二次函数的图象解不等式】..............................................................................................................11【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 (13)【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n 与x 轴只有一个交点（x 1，0）．下列式子中正确的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系．【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x21=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，∴抛物线与x轴有2个交点，∵c＝﹣3，∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），∴抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D．【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（）A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m ﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），∴对称轴是直线x＝m+1，又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴顶点为（m+1，0），∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，把A（m﹣2，n）代入，得：n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．故选：D．【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x ＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x 轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，=3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t 的大小关系．【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），∴m＜s＜t＜n．故选：C．【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故选：A．【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y ＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．故选：B．【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（）A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．由图象可知，M＜α＜β＜N，故选：B．【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，如图，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，故选：A．【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是　x1＝﹣1，x2＝3　．【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，=1．∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　x1＝﹣4，x2＝1　．【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=−522=−32，∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x=−32，∴抛物线经过（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（）A．5B．7C．12D．﹣7【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得：b=4 c=5，将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：如图：x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．故选：B．【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　6.18＜x＜6.19　．x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　x1＝0.8，x2＝3.2合理即可　．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝c 的两个根可能是：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．故答案为：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）中，x 与ax 2+bx +c 的对应值如下表： x ﹣1−12 0121 322 523ax 2+bx +c﹣2−141742741−14 ﹣2请判断一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 是常数）的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的（）A ．−12＜x 1＜0，32＜x 2＜2B ．﹣1＜x 1＜−12，2＜x 2＜52C ．−12＜x 1＜0，2＜x 2＜52D ．﹣1＜x 1＜−12，32＜x 2＜2【分析】观察表格可知，在x ＜1时，随x 值的增大，代数式ax 2+bx +c 的值逐渐增大，x 的值在−12～0之间，代数式ax 2+bx +c 的值由负到正，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0之间，在x ＞1时，随x 的值增大，代数式ax 2+bx +c 逐渐减小，x 的值在2～52之间，代数式ax 2+bx +c 的值由正到负，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在2～52之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0和2～52之间，即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是−12＜x1＜0，2＜x2＜52故选：C．【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…请求出当y＜0时x的取值范围　x＜﹣2或x＞3　．【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c＝6，∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），∴a−b+6=4a+b+6=6，解得：a=−1 b=1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，所以令﹣x2+x+6＜0，解得：x＜﹣2或x＞3．故答案为：x＜﹣2或x＞3．【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为　x＜﹣1或x＞1　．【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解．【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，解得x＜﹣1或x＞1，故答案为：x＜﹣1或x＞1．【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（）A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点B和点C关于直线x＝2对称，∴点B横坐标为4，∵点A横坐标为1，∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，故选：B．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．①求抛物线和直线的函数解析式；②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，解得a=1c=−1，m=2n=−2，∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，当抛物线顶点在线段AB下方时，当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a=32，当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a=35，∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为35≤a＜32或a＝3．【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=−9+3b+c−6=−4−2b+c，解得b=3 c=4，∴y＝﹣x2+3x+4，由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为　y＝|x2﹣4x|﹣3　；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：　函数关于直线x＝2对称　；（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝　1　；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：　x＝0或3≤x≤5　．【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为：函数关于直线x＝2对称；（3）①当x＝2时，y＝1，∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，故答案为1；②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，故答案为：x＝0或3≤x≤5．x+t与函数y＝【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=12 max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为　1或65　．16【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．当直线y =12x +t 经过（﹣2，0）或与抛物线y ＝﹣x 2+4相切时，直线y =12x +t 与函数y ＝max {﹣x 2+4，x ﹣2，﹣x ﹣2}的图象有且只有3个公共点．①若直线y =12x +t 经过（﹣2，0），则有0=12×（﹣2）+t ，解得t ＝1；②若直线y =12x +t 与抛物线y ＝﹣x 2+4相切，则关于x 的方程12x +t ＝﹣x 2+4即x 2+12x +t ﹣4＝0有两个相等的实数根，则△＝（12）2﹣4×1×（t ﹣4）＝0，解得t =6516．综上所述：t ＝1或6516．故答案为1或6516．。

二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案

二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共21题）1、若抛物线的顶点坐标是，且经过点（ 1 ）求该抛物线的解析式（ 2 ）设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），试求的面积2、已知抛物线y ＝x 2 + x + 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ．（ 1 ）求点A 、B 、C 的坐标．（ 2 ）试判断AOC 与BOC 是否相似，并说明理由．3、已知：二次函数（ 1 ）列表画图…… ………… ……（ 2 ）根据图象，直接写出不等式的解集4、已知抛物线（ 1 ）通过配方可以将其化成顶点式为__________ ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x 轴 __________ （填上方或下方），即__________0 （填大于或小于）时，该抛物线与x 轴必有两个交点；（ 2 ）若抛物线上存在两点，，分布在x 轴的两侧，则抛物线顶点必在x 轴下方，请你结合A 、B 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（ 3 ）利用二次函数（1 ）（ 2 ）结论，求证：当，时，．5、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．6、如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m。

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式。

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？7、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．8、如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2,0），点B是y轴上的一个动点，连结AB，取AB中点M，将线段AM绕着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN，连结ON、BN，ON与AB所在直线交于点P，设点B的坐标为（0，t）（1）当t>0时，用t的代数式表示点N的坐标；（2）设△OBN的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在点B，使得△ABN与△ANP相似？若存在，求出符合条件的点B的坐标，若不存在，请说明理由。

一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案(精品范文).doc

【最新整理，下载后即可编辑】一、选择题1、设、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则（）A．B．C．D．2、下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）Ａ．只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）A．有最大值B．有最大值－C．有最小值D．有最小值－4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A． 3个B． 2个C． 1个D． 0个5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）A．1 B．12 C．13 D．25二、填空题6、设、是方程的两根，则代数式= 。

7、已知关于一元二次方程有一根是，则。

三、计算题8、已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．9、解方程：四、综合题10、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.11、如图：抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式。

12、已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数. （2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.13、如图，已知点，直线交轴于点，交轴于点（1）求对称轴平行于轴，且过三点的抛物线解析式；（2）若直线平分∠ABC，求直线的解析式；（3）若直线产（>0）交（1）中抛物线于两点，问：为何值时，以为边的正方形的面积为9？14、如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结，交于点．（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求证：；（3）连结，记的面积为，的面积为，若，试探究的最小值．15、如图，抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．五、简答题16、已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长是．(1)为何值时，是以为斜边的直角三角形；(2)为何值时，是等腰三角形，并求的周长17、已知关于的一元二次方程：．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．18、已知抛物线y = ax2－x + c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．19、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式.（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．20、已知二次函数的部分图象如图7所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线.（1）若，求的值；（2）若实数，比较与的大小，并说明理由.参考答案一、选择题1、C2、B3、B4、考点：二次函数图象与系数的关系。

二次函数与一元二次方程练习题

二次函数与一元二次方程练习题1.抛物线y=2x-8-3x与x轴有2个交点，因为其判别式b-4ac=25>0.2，相应二次方程3x^2-2x+8=0的根的情况为2个不相等的实根。

3.关于二次函数y=ax^2+bx+c的图像有下列命题：①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，且函数的图像开口向下时，方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是-Δ/4a；④当b=0时，函数的图像关于y 轴对称。

其中正确命题的个数是3个。

4.关于x的方程mx^2+mx+5=m有两个相等的实数根，则相应二次函数y=mx^2+mx+5-m与x轴必然相交于点(0,5-m)，此时m=1.5.要使抛物线y=x^2-(2m-1)x-6m与x轴交于两点(x1,0)和(x2,0)，经过原点，应将它向右平移1个单位。

6.关于x的二次函数y=2mx+(8m+1)x+8m的图像与x轴有交点，则m的范围是m≥-11/16且m≠16/27.7.已知抛物线y=-(x-h)^2+k的顶点在抛物线y=x上，且抛物线在x轴上截得的线段长是4/3，求h和k的值。

解得h=±1/3，k=2/3.8.已知函数y=x-mx+m-2.(1) 求证：不论m为何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个不同交点；(2) 若函数y有最小值-2，求m的值。

(1) 当y=0时，解得x=1和x=m-2，因此与x轴有两个交点；(2) 当m=1时，函数的最小值为-2，因此m=1.9.下图是二次函数y=ax^2+bx+c的图像，与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点。

已知BC=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，(1) 根据图像确定a，并说明理由；(2) 如果A点的坐标为(0,-3)，b，c的符号，求这个二次函数的函数表达式。

(1) 因为∠ABC=45°，∠ACB=60°，所以BC的长度为5，AB的长度为5cos45°=5/√2，AC的长度为5cos30°=5√3/2.因此，函数的开口向下，a<0.又因为函数与y轴交于A点，所以c=0.(2) 由于A点的坐标为(0,-3)，所以c=-3.又因为函数与x轴交于B，C两点，所以b=-a(Bx+Cx)=-a(BC)=5a。

人教版九年级上册《一元二次方程与二次函数》专题测试卷(附答卷)

人教版九年级上册《一元二次方程与二次函数》专题测试卷(附答卷)1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(。

)A。

3(x+1)^2=2(x+1)B。

x^2-5x+6=0C。

ax^2+bx+c=0D。

2x^3-x^2+3x-1=02.方程x^2-2x=0的根是A。

x1=0.x2=2B。

x1=2.x2=-2C。

x1=1.x2=-1D。

x1=0.x2=23.方程x^2-x+2=0的根的情况是(。

)A。

只有一个实数根B。

有两个相等的实数根C。

有两个不相等的实数根D。

没有实数根4.若a是不等于零的实数,对于二次函数y=|a|x^2的图象有如下判断：①开口方向向上;②与函数y=x^2形状相同；③以y轴为对称轴；④以原点为顶点；⑤无论x为何实数，函数y 总是非负数.其中判断正确的有(。

)A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个5.把抛物线y=-x^2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为(。

)A。

y=-(x-1)^2-3B。

y=-(x+1)^2-3C。

y=-(x-1)^2+3D。

y=-(x+1)^2+36.关于x的方程x^2+mx-1=0的两根互为相反数,则m的值为(。

)A。

0B。

2C。

-2D。

-17.已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.则点M(b,a)在(。

)A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限8.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是方程x^2-7x+10=0的一个实数根，则这个三角形的周长是(。

) A。

19B。

19或16C。

16D。

229.若二次函数y=ax^2+c(a≠0)当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为(。

)A。

a+cB。

a-cC。

-cD。

c10.某饲料厂今年一月份生产伺料500t.三月份生产伺群720t,若二月份和三月份这两个月的月平均增长率为x，则有A。

500(1+2x)=720B。

500(1+x^2)=720答案：一、选择题1.C2.A3.D4.D5.A6.C7.D8.B9.B10.A二、填空题1.m=2或-22.m=-3/4.k=1/163.若抛物线 $y=x^2-kx+k-1$ 的顶点在 $x$ 轴上，则 $k=1$。

二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练

二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练1、（1）抛物线2x x 2y －－=与x 轴有个交点；（2）抛物线2x 41x 1y －－=与x 轴有个交点；（3）抛物线222+-=x x y 与x 轴有个交点。

2、下列函数图象与x 轴有两个交点的是（）A ．y =7(x +8)2+2 B ．y =7(x -8)2+2 C ．y = -7(x -8)2-2 D ．y = -7(x +8)2+2 3、（1）抛物线532+-=x x y －与直线2y =有个交点；（2）抛物线642+-=x x y 与直线2y =有个交点；（3）抛物线232+-=x x y －与直线2y =有个交点；（4）抛物线243y x x =++与直线x=-9有个交点； 4、抛物线231y x x =-+与直线y k =有1个交点，则_____k =. 5、已知二次函数y =－12 x 2 － x + 32。

在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象直接作答：（1）方程 - 12 x 2 - x + 32 =0的解为x= ；（2）当y ＜ 0时，x 的取值范围是；（3）当x 满足条件：时，y 随x 的增大而减小；（4）当x= 时，y 的最小值为；（5）以图象与坐标轴交点为顶点的三角形面积是；（6）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位所对应的函数关系式是． (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当y 取何值时，－4＜x ＜0；6、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点. （1）求出二次函数的解析式；（2）根据图象回答下列问题：①当x 取何值时，两函数的函数值都随x 增大而增大； ②当x 取何值时，一次函数值等于二次函数值； ③当x 取何值时，一次函数值大于二次函数值； ④当x 取何值时，两函数的函数值的积小于0．1－1 －3 3xyO A BCxyO7、已知抛物线y=x 2-8x+c,(1)、若抛物线的顶点在x 轴上,则c= ；(2)、若抛物线与x 轴有两个交点,则c 的范围是； (3)、若抛物线与坐标轴有两个公共点,则c 的范围是。

二次函数与一元二次方程练习题

二次函数与一元二次方程练习题
1. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$，求证：对于任意实数 $x$，都有 $y \geq c - \frac{b^2}{4a}$。

2. 给定一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，求其根。

3. 已知二次函数的图像经过点 $A(1, 2)$ 和点 $B(-2, 2)$，且顶点在 $x$ 轴上，求该二次函数的解析式。

4. 一元二次方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$ 有实数根吗？如果有，求出其根。

5. 若二次函数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ 的图像与 $x$ 轴有交点，求交点的横坐标。

6. 已知一元二次方程 $x^2 + 2x - 15 = 0$ 的两个根分别为
$x_1$ 和 $x_2$，求 $x_1^2 + x_2^2$ 的值。

7. 给定二次函数 $y = -3x^2 + 6x - 2$，求其顶点坐标。

8. 一元二次方程 $2x^2 + 3x - 5 = 0$ 有两个不相等的实数根，求这两个根的和与积。

9. 已知二次函数的图像与 $x$ 轴交于点 $(2, 0)$ 和点 $(-1, 0)$，求该二次函数的解析式。

10. 一元二次方程 $x^2 + 5x + 6 = 0$ 有实数根吗？如果有，求出其根。

九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》》练习题及答案-人教版

九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》》练习题及答案-人教版一、选择题1.若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )x ﹣1 0 1y＝ax2 1y＝ax2＋bx＋c 8 3A.y＝x2﹣4x＋3B.y＝x2﹣3x＋4C.y＝x2﹣3x＋3D.y＝x2﹣4x＋82.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A.y＝﹣2x2﹣x＋3B.y＝﹣2x2＋4C.y＝﹣2x2＋4x＋8D.y＝﹣2x2＋4x＋63.若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y关于x的二次函数的表达式为( ).A.y＝x2﹣4x＋3B.y＝x2﹣3x＋4C.y＝x2﹣3x＋3D.y＝x2﹣4x＋84.已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( )A.x1＝1，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝2C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝1，x2＝35.函数y＝kx2﹣6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠06.如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( )A.－1≤x≤3B.x≤－1C.x≥1D.x≤－1或x≥37.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x …﹣10 1 2 3 …y (7)4﹣54﹣94﹣5474…则下列说法错误的是( )A.二次函数图象与x轴交点有两个B.x≥2时y随x的增大而增大C.二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1～0之间，另一个在2～3之间D.对称轴为直线x＝1.58.已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m＋2 023的值为( )A.2 023B.2 024C.2 025D.2 0269.如图，一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数C.没有实数根D.以上结论都正确10.关于二次函数y＝ax2＋bx＋c图象有下列命题：(1)当c＝0时，函数的图象经过原点；(2)当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根；(3)当b＝0时，函数图象关于原点对称.其中正确的个数有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题11.若二次函数y＝(k﹣2)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是.12.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为.13.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是__________.14.如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________.15.如果a＜0，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，那么抛物线y＝ax2＋bx ＋c的顶点在x轴________.(填“上方”或“下方”)16.已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m(m为实数)有2个不相等的实数根，则m的取值范围是.三、解答题17.已知二次函数y＝﹣316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(﹣4，﹣92)两点(1)求b、c的值；(2)二次函数y＝﹣316x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由.18.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax＋2．(1)抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．19.已知抛物线y＝x2﹣4mx＋4m2﹣1．(1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；(3)若这条抛物线经过点P(2m＋1，y1)，Q(2m﹣t，y2)，且y1＜y2，求t的取值范围．20.已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3.(1)求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；(2)当x取何值时，函数值最大？(3)当y＞0时，请你写出x的取值范围.21.已知关于x的方程x2＋mx＋n＋3＝0的一根为2.(1)求n关于m的关系式(2)求证：抛物线y＝x2＋mx＋n与x轴有两个交点.22.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为直线x＝﹣2.(1)b＝________；(用含a的代数式表示)(2)当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；(3)若抛物线过点(﹣2，﹣2)，当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a 的值.参考答案1.A2.D3.A4.B.5.C.6.D.7.D.8.C9.B.10.C.11.答案为：k ≤3且k ≠2.12.答案为：8.13.答案为：x 1＝－2，x 2＝1.14.答案为：(－2，0).15.答案为：上方.16.答案为：m ＝0或m ＞4.17.解： (1)将点A(0，3)，B(﹣4，﹣92 )代入二次函数解析式，得⎩⎨⎧c ＝3，－316×（－4）2－4b ＋c ＝－92，解得⎩⎨⎧c ＝3b ＝98.(2)由(1)知，二次函数解析式为y ＝﹣316x 2＋98x ＋3令y ＝0，得﹣316x 2＋98x ＋3＝0整理得x 2﹣6x ﹣16＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8即该二次函数的图象与x 轴有两个不同交点，坐标分别为(﹣2，0)，(8，0). 18.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2﹣4ax ＋2的对称轴为直线x ＝2．令x ＝0，则y ＝2．∴抛物线y＝ax2﹣4ax＋2与y轴的交点为(0，2)．故答案为：x＝2；(0，2)．(2)∵抛物线y＝ax2﹣4ax＋2的对称轴为直线x＝2∴顶点在1≤x≤5范围内∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6∴25a﹣20a＋2＝﹣6，解得a＝﹣∴抛物线为y＝﹣x2＋x＋2当x＝2时，y＝﹣×22＋×2＋2＝∴此时y的最大值为．当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6∴4a﹣8a＋2＝﹣6，解得a＝2∴抛物线为y＝2x2﹣8x＋2当x＝5时，y＝2×25﹣8×5＋2＝12∴此时y的最大值12．综上，y的最大值为12．19.解：(1)∵y＝x2﹣4mx＋4m2﹣1＝(x﹣2m)2﹣1∴抛物线顶点坐标为(2m，﹣1)．(2)∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB＝4，对称轴为直线x＝2m ∴抛物线经过(2m＋2，n)，(2m﹣2，n)将(2m＋2，n)代入y＝(x﹣2m)2﹣1得n＝22﹣1＝3．(3)点P(2m＋1，y1)关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为(2m﹣1，y1)∵抛物线开口向上∴当2m﹣t＞2m＋1或2m﹣t＜2m﹣1时，且y1＜y2解得t＜﹣1或t＞1．20.解：(1)∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4 ∴图象顶点坐标为(1，4)当y＝0时，有﹣x2＋2x＋3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)；(2)由(1)知，抛物线顶点坐标为(1，4)，且抛物线开口方向向下，当x＝1时，函数值最大；(3)因为图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，且抛物线开口方向向下所以当y＞0时，﹣1＜x＜3.21.解：(1)将x＝2代入方程，得：4＋2m＋n＋3＝0整理可得n＝﹣2m﹣7；(2)∵△＝m2﹣4(n＋3)＝m2﹣4(﹣2m﹣7)＝m2＋8m＋28＝(m＋4)2＋12＞0∴一元二次方程x2＋mx＋n＝0有两个不相等的实根∴抛物线y＝x2＋mx＋n与x轴有两个交点.22.解：(1)4a；(2)当a＝﹣1时，∵关于x的方程﹣x2﹣4x＋c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2＋4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解∴根的判别式＝16＋4c≥0，即c≥﹣4抛物线y＝x2＋4x＝(x＋2)2﹣4与直线y＝c在﹣3＜x＜1的范围内有交点.当x＝﹣2时，y＝﹣4；当x＝1时，y＝5.由图象可知：﹣4≤c＜5.(3)∵抛物线y＝ax2＋4ax＋c过点(﹣2，﹣2)∴c＝4a﹣2∴抛物线对应的函数解析式为：y＝ax2＋4ax＋4a﹣2＝a(x＋2)2﹣2.方法一：①当a＞0时，抛物线开口向上.∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2∴当﹣1≤x≤0时，y随x增大而增大.∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4由图象可知：4a﹣2＝4.∴a＝3 2 .②当a＜0时，抛物线开口向下. ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2∴当﹣1≤x≤0时，y随x增大而减小. ∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4由图象可知：4a﹣2＝﹣4.∴a＝﹣1 2 .综上所述：a＝32或a＝﹣12.。

二次函数与一元二次方程练习题

二次函数与一元二次方程专题一、选择题1、下列哪一个函数，其图形与x 轴有两个交点（）A. y =17(x +83)2+2274B. y =17(x -83)2+2274C. y = -17(x -83)2-2274D. y = -17(x +83)2+22742. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与轴交于负半轴C ．当＝4时，＞0D ．方程的正根在3与4之间 3. 函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx+c-2=0的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根4. 如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4），抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为 -3，则点D 的横坐标最大值为（） A. －3 B ．1 C ．5 D ．85. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；②c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6. 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a＋b=0；③a－b ＋c=0； ④5a＜b ．其中正确结论是（）． A.②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③7. 已知二次函数y 1=x 2-x -2和一次函数y 2=x +1的两个交点分别为A (-1，0)，B (3，4)，当y 1＞y 1时，自变量x 的取值范围是（） A ．x ＜-1或x ＞3 B ．-1＜x ＜3 C ．x ＜-1 D ．x ＞38. 已知二次函数y =x 2−x +a (a >0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（） (A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定9. 平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2017)(x-2018)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位 10. 定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A ．①②③④ B ．①②④C ．①③④D ．②④11. 已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3c bx ax y ++=2y x y x y 02=++c bx ax … 0 1 3 …… 1 3 1 … x 1-y 3-03x y y x OD C B (4,4)A (1,4)12. 已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是A.4<kB.4≤kC.4<k 且3≠kD.4≤k 且3≠k13. 已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．514. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2yD ．不能确定15. 设二次函数y=x 2+bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c 的取值范围是（） A ．c=3 B ．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3 二、填空题1. 抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为． 2. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．3. 抛物线的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标除外）4. 如图，把抛物线y=x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为．5. 如图10-9是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c ＞0；②a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号）．6. 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度为米．7. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个．9. 函数y = x 2 -2006|x|+ 2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=2y x bx c =-++29.8 4.9h t t =-10. 已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 .11. 已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点，则的取值范围是．12. 关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时．13. 抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．三、解答题1. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；（3）在抛物线上是否存在着点，使△面积等于四边形面积的2倍，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．2. 已知二次函数过点A （0，2-），B （1-，0），C （）．（1）求此二次函数的解析式；（2）判断点M （1，）是否在直线AC 上？（3）过点M （1，）作一条直线与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．()233y x a x =+-+a x 25mx mx m ++=25y mx mx m =++-xm =2(21)6y x m x m =---x 1(0)x ，2(0)x ，121249x x x x =++2y ax bx c =++y C x 1(0)A x ，212(0)()B x x x <，M 4-1x 2x 222(1)70x m x m --+-=221210x x +=A B C P PAB ACMB P 5948，1212l 图8ＣＢＯＡ xy3. 已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +22x =5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.4. 已知抛物线（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且，求k的值．5. 已知二次函数12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）．（1）求证：42--=b c ；（2）求bc 的最大值；（3）若二次函数的图象与x 轴交于点1(x A ，)0，2(x B ，)0，ABP ∆的面积是43，求b ．6. 已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数（2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点，得到抛物线．将抛物线向下平移后经过点进而得到新的抛物线,直线经过点和点，求直线和抛物线的解析式；（3）在直线下方的抛物线上有一点，求点到直线的距离的最大值．2234y x kx k =+-1123ONOM-=x ()231220mx m x m --+-=m x ()23122y mx m x m =--+-1C 1C ()0,2A -2C l A ()2,0B l 2C l 2C C C l6.解：（1）当时，当时，∵，∴综上所述：无论取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分（2）∵二次函数的图象经过坐标原点 ∴∴………………………4分抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：设直线所在函数解析式为：将和点代入∴直线所在函数解析式为：（3）据题意：过点作轴交于，可证 ,则设，， ∴………………………6分∵∴当时，∵随增大而增大，∴.………………………7分0m =2x =0m ≠()()231422m m m ∆=---2296188m m m m =-+-+()22211m m m =++=+()210m +≥0∆≥m 2(31)22y mx m x m =--+-220m -=1m =1C 22y x x =-2C 222y x x =--l y kx b =+A ()2,0B y kx b =+l 2y x =-C CE x ⊥AB E 45DEC OAB ∠=∠=︒2CD =()2,22C t t t --(),2E t t -()03t <<E C EC y y =-23t t =-+23924t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭3032⎛⎫<< ⎪⎝⎭32t =max 94EC =CD EC max CD =。

21.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题(含答案)

22.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题一、选择题(本大题共15小题)1.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点，则m的取值范围是（）A.m≤2B.m＜-2C.m＞2D.0＜m≤22.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个同号不等实数根D.有两个异号实数根3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A.x=1B.x=-1C.x1=1，x2=-3D.x1=1，x2=-44.已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.＞B.且k≠0C.D.＞且k≠05.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴交点的个数（）A.3B.2C.1D.06.不论m为何实数，抛物线y=x2-mx+m-2（）A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点D.在x轴下方7.若抛物线y=-x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，则有（）A.p+q＜1B.p+q=1C.p+q＞1D.pq＞08.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2-4ac＞0；②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0-x1）（x0-x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤9.将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A.4B.6C.8D.1010.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A.b＜1且b≠0B.b＞1C.0＜b＜1D.b＜111.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A.x＞4或x＜-2B.-2＜x＜4C.-2＜x＜3D.0＜x＜312.已知抛物线y=x2-x-2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2016的值为（）A.2017B.2018C.2019D.202013.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜-2B.x＞4C.-2＜x＜4D.x＞014.函数y=-x2+2（m-1）x+m+1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为（）A.或2B.C.1D.215.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在抛物线上，则4a-2b+c 的值为（）A.-2B.0C.2D.4二、填空题(本大题共11小题)16.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为______ ．17.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积是______ ．18.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为______ ．19.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B两点，点B的坐标为（7，0），与y轴相交于点C（0，3），点D （5，3）在该抛物线上，则点A的坐标是______ ．20.如图，二次函数y=a（x-2）2+k的图象与x轴交于A，B两点，且点A的横坐标为-1，则点B的横坐标为______ ．21.若二次函数y=（k-2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______ ．22.抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______ ．23.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是______ ．24.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ______ 0，b ______ 0，c ______ 0，△ ______ 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）25.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系用“＜”连接为______ ．2三、解答题(本大题共6小题)27.已知二次函数y=x2-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求A、B、C点的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求其面积．28.已知函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），设其图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），点C在图象上，且S△ABC=1，求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．29.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．30.二次函数的图象经过A（4，0），B（0，-4），C（2，-4）三点：（1）求这个函数的解析式；（2）求函数图顶点的坐标；（3）求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积．31.已知二次函数y=x2+2x-3．（1）把函数配成y=a（x-h）2x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象y……（4）当y＞0时，则x的取值范围为______ ．（5）当-3＜x＜0时，则y的取值范围为______ ．32.二次函数y=x2+（2m+1）x+m2-1与x轴交于A，B两个不同的点．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．【答案】1.A2.C3.C4.B5.B6.C7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.B 13.C 14.D 15.B16.217.618.919.（-2，0）20.521.k≤3且k≠222.223.方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根24.＞；＜；＞；=25.p＜m＜n＜q26.x1=-4，x2=027.解：（1）令y=0，则x2-2=0，解得：x1=-2，x2=2，∴A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0）；令x=0，y=-2，∴C点的坐标为（0，-2）．（2）∵A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0），且C（0，-2），∴AC=2，BC=2，AB=4，∴AB2=AC2+BC2．∵AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形．S△ABC=AC•BC=×2×2=4．28.解：（1）∵函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），∴15=1+m-2+m，解得：m=8．（2）将m=8代入y=x2-（m-2）x+m中得：y=x2-6x+8，令y=0，则x2-6x+8=0，解得：x1=2，x2=4，∵A在B的左侧，∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．（3）设点C的坐标为（n，n2-6n+8），∵A（2，0），B（4，0），∴AB=2，S△ABC=AB•|n2-6n+8|=1=|n2-6n+8|，解得：n1=1，n2=6，n3=3，∴点C的坐标为（1，1）、（6，1）或（3，-1）．29.解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y=x2-4x+3，y=x2-4x+3=（x-2）2-1，顶点坐标为（2，-1）．30.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k∵B、C的纵坐标都是-4，∴B、C关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为：x=1，即h=1，∴y=a（x-1）2+k，将A（4，0）和B（0，-4）代入上式，解得：∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2-（2）由（1）可知：顶点坐标为（1，-）（3）令y=0代入y=（x-1）2-，∴抛物线与x轴的交点坐标为：（4，0）或（-2，0）∵抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-4）∴抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积为：×6×4=1231.x＜-3或x＞1；-4≤y＜032.解：（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2-1与x轴交于A，B两个不同的点，∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2-4（m2-1）=4m+5＞0，解得：m＞-．（2）当m=1时，原二次函数解析式为y=x2+3x，令y=x2+3x=0，解得：x1=-3，x2=0，∴当m=1时，A、B两点的坐标为（-3，0）、（0，0）．。

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（）A ． 3.24x 9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（）A ．x aC ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（）A ．13x -<D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。

第22章(二次函数与一元二次方程关系)同步练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程的关系同步练习题一、单选题（每小题3分，共66分）1．抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（）A ．无交点B ． 1个C ． 2个D ． 3个2．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y 轴的交点的坐标是（）A ．（0，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，﹣1）D ．（0，0）3．若二次函数y=x 2+bx+c 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，且过点（5，5），则关于x 的方程x 2+bx+c=5的解为（）A ．x 1=0或x 2=4B ．x 1=1或x 2=5C ．x 1=﹣1或 x 2=5D ．x 1=1或x 2=﹣54．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c>0的解集是（）.A ．B ．C ．且D ．或5．二次函数与的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A ．B ．且C ．D ．且6．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于，则的面积为（）A ．B ．C ．D ．7．抛物线的对称轴是（）A ．B ．C ．D ．8．二次函数 2y ax bx =+ 的图象如图，若一元二次方程2ax bx k 0++= 有实数解，则k 的最小值为( ) A ． -4 B ． -6 C ． -8 D ． 09．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为(－3，0)，则方程x 2－2x ＋c ＝0的两个根是( )A ．－3，1B ． 5，－3C ． 4，－3D ． 3，－310．若二次函数y ＝x 2＋(m ＋1)x －m 的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m 的值有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个11．在-3≤x≤0范围内，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图像如图所示.在这个范围内，下列结论：①y 有最大值1，没有最小值；②当-3<x<-1时，y 随着x 的增大而增大；③方程ax 2+bx+c-12=0有两个不相等的实数根 .其中正确结论的个数是( ) A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个12．若抛物线y=x 2-6x+m-2（m 是常数）与x 轴只有一个交点A ，则点A 坐标为( )A ．（-3,0）B ．（-2,0）C ．（3,0）D ．（6，0）13．如果二次函数2y ax bx c =++（a>0）的顶点在x 轴的上方，那么（）A ．240b ac -≥B ．240b ac -<C ．240b ac ->D ．240b ac -=14．将二次函数y ＝2 x 2-4x －1的图像向右平移3个单位，则平移后的二次函数的顶点是（）A ．（－2，－3）B ．（4，3）C ．（4，－3）D ．（1，0）15．函数y=ax 2﹣2x+1和y=ax+a （a 是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）16．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc ＞0； ②2a+b=0；③4a+2b+c ＜0；④若，，，是抛物线上两点，则y 1＜y 2其中结论正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④17．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c ＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个18．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示对称轴是x=－1以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 419．一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（）20．在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（）21．二次函数y=x2+bx﹣1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是（）A．t ≥﹣2 B．﹣2≤t＜7 C．﹣2≤t＜2 D．2＜t＜722．如果二次函数的图象在轴的下方，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）23．已知抛物线与轴一个交点的坐标为，则一元二次方程ax2-2ax+c=0的根为__________.24．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是_____．25．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为．26．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是_____.27．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与轴的两个交点分别为A（-1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是___________．28．抛物线与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标是________．29．直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是_____．30．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是．（只填写序号）三、解答题（每小题10分，共30分）31．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积和周长.32．如图，已知抛物线y1=x2-2x-3与x轴相交于点A，B(点A在B的左侧)，与y轴相=kx+b经过点B，C．交于点C，直线y（1）求直线BC的函数关系式；（2）当y1>y2时，请直接写出x的取值范围．33．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)设P为对称轴上一动点，求APC周长的最小值；(3)求△ABC的面积．二次函数与一元二次方程的关系同步练习题参考答案1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．C 13．B 14．C 15．C．16．C 17．B 18．C 19．D 20．C．21．B 22．A 23．x1=-1、x2=324．x1=﹣1，x2=3 25．﹣3．26．m＞927．x＜-1或x＞2 28．，,29．1＜x＜2．30．②⑤．31．(1)二次函数的解析式是y=-x2+4x-6；(2) S△ABC=6，△ABC的周长= 2+2+2.32．（1）y=x-3；（2）当y1>y2时，x＜0和x＞3.33．(1)y＝x2－4x＋3；(2)△APC的周长＝3；(3)S△ABC＝3.。

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22.2 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程●基础训练1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________. (4)当x_____时,y 随x 的增大而减小. 当x_____时,y 随x 的增大而增大. (5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________; 与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:x 0 1 2 ax 21 ax 2+bx+c33(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax 2+bx+c 的图象示意图,由图象确定,当x 取什么实数时,ax 2+ bx+c>0?14B AxO y3.请画出适当的函数图象,求方程x 2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V 为自变量,刹车距离s 为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.速度V(km/h)4864 8096112…刹车距离s(m) 22.5 3652.5 72 94.5 …5010015015010050s(m)v(km/h)O●能力提升6.如图所示,矩形ABCD 的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB 在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y 轴交于点E,抛物线过E 、A 、B 三点,求抛物线的关系式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD 内部,并说明理由.C BAxO D y E7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=53. (1)求这条抛物线的关系式.(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. (1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式; (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2= 17, 且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二3.05m4m2.5mxOy次方程x 2-mx+2(m-3)=0的两个根. (1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A 、B 、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.●综合探究12.已知抛物线L;y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 都不等于0), 它的顶点P 的坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点是M(0,c)我们称以M 为顶点,对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线,直线PM 为L 的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x 2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x 2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L 与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点x 2>x 1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D 两点,且AB=CD,请求出a 、b 、c 应满足的条件.C BAExOy E '答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)小; 52;94- (4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0. 3.:在同一坐标系中如答图所示,画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---. (2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位.13122x=1xy O 632BAxyO5.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴23351216s v v =+ (4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+当v=112时, 22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯=∵s=94.5,∴23351216s v v =+经检验,所得结论是正确的.6.:(1)如答图所示.∵y=x-2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x-2,2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部.∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A 点关于x 轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE 的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 . 由 94x-3=0,得x=43.故C 为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C 点与抛物线在x 轴上的一个交点重合,在x 轴上任取一点D,在△BED 中,BE< BD+DE. 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD ,∴AC+BC<A D+BD. 若D 与C 重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5. ∴点D 坐标为(1.5,3.05). ∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=a x 2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5, ∴a=-0.2,∴y=-0.2x 2+3.53.05m4m2.5m xOy BDA(2)∵OA=2.5,∴设C 点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x 2+3.5, 得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx-P=(-30x+45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x-150)2+2000.∵-215<0,∴W 有最大值.当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx-1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx-1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-12, ∴124022k --⨯+<,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.法二:∵抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k-1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72. 11:(1)线段OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m-3)=0 的两个根,∴(1)2(3)(2)OA OB m OA OB m +=⎧⎨=-⎩又∵OA 2+OB 2=17,∴(OA+OB)2-2·OA ·OB=17.③x 2x 12xyO把①,②代入③,得m 2-4(m-3) =17,∴m 2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x 2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CO⊥AB, ∴OC 2=OA ·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E 三点的抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,则016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ ,解之,得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求抛物线关系式为y=213222x x --. (3)存在.∵点E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt △ACB ≌Rt △AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x-3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).∴设抛物线过P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴22442ac b b m c aa -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c.设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0). ∵P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442ac b b k c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2b x+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac.∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=c a>0,∴ab<0,ac>0. 对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=c a±. ∴,0,,0c c C D a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴CD=2c a . 又AB=x 2-x 1=22221212124()()44b c b ac x x x x x x a a a -⎛⎫-=+-=--⋅= ⎪⎝⎭. 由AB=CD ,得 24b ac a-=2c a , 整理得b 2=8ac,综合b 2>4ac,ab<0,ac>0,b 2=8ac,得a,b,c 满足的条件为b 2=8ac 且ab<0,(或b 2=8ac 且bc<0).。

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