卷积积分的运算

0 t-2 1
t
t a b(t )d
02
ab (t )2
4
t 0
ab t 2 4
3. if 1 t 2
a t-2 0 t 1
f1 f2
1a b (t )d
02
ab 4
(t
)2
1 0
ab (2t 1) 4
4. if 2 t 3
t-2 0 1 t
f1 f 2
1 a b (t )d
1.图解法：
x1 (t )
1
x2 (t )
1
0
1
t
0
1 2t
x1 ( )
1
-1 0
x1(t) x2 (t)
1 x1(t )
t
d
0
1 2
t 2 0
t
1
0 t 1
0
1 2
1
d
t
(
2)d
t 2
3t
2
1
t
2
t1
1
3
2
(
2)d
1 t 2 3t 9 2 t 3
t1
x ( 1) 2
(t)
推广到一般：x(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t) (t) x(t)
x(t) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的卷积 （2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。
C、分配律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] x1(t) x2 (t) x1(t) x3(t)
对于并联系统：
h1(t)
x(t)
y(t)
h2 (t)
y(t) x(t) h1(t) x(t) h2 (t)
B、结合律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] [x1(t) x2 (t)] x3 (t)
对于级联系统：
x(t) h1(t) h2 (t) y(t)
y(t) [x(t) h1(t)] h2 (t) x(t) [h1(t) h2 (t)] [x(t) h2 (t)] h1(t) x(t) h(t)
§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
x(t) u(t) u(t) u(t) y(t) x(k) (t)
(k) (t) (t) (t) (t) (k) (t) u(t) u(t) u(t)
t k1 u(t) (k 1)!
2.8卷积积分的数值解（自学）
2.9 连续时间系统的模拟
用模拟图来表示LTI连续时间系统，常用单元如下
f2(t)
f1(t)
b
a
*
a
t
01
t 0
2
t-2
0
f1(t) a 0 t 1
f2
(t)
b 2
t 0
t
2
1. t 0
重合面积为零: f1(t) f2 (t) 0
2. if 0 t 1
f1 f 2 f1 ( ) f 2 (t )d
1
a t-2 0 t 1
t-2 0 1 t
et
d
r t
d
et
rt
et
rt
et
T rt
rt de(t)
dt
t
r(t) e(t)dt
rt et rt et T
例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
a2 y(t) a1 y(t) a0 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a2 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a1 y(t) a0 y(t)
b2
b1 x(1) (t ) b0 x(2) (t ) a1
1
x(t)
a2 y(t)
y(1) (t )
1 a2
a0 y(2) (t )]
b2
y(t )
b1
a1
b0
a0
直接I型
a1
b1
a0 b0
直接II型 y(t)
b2
1
x(t) a2
a1
b1
a
b0 正准型
t2 2
1 ab (t )2 1 ab (3 2t t 2 )
4
t2 4
5. if 3 t f1 f2 0
0 t-2 1
t
§2.6 卷积积分的性质
1、卷积的代数运算：
A、交换律： x1(t) x2 (t) x2 (t) x1(t) y(t) x(t) h(t) h(t) x(t)
练习：画出下列系统的模拟图
作业：P72－P73 2.19(a) 2.20
比较 x(t) (t) x(0) (t) x(0) (t)
x(t) u(t) t x( )d 相当于积分运算
x(t) (k) (t) x(k) (t) 相当于k个微分器级联
x(t) (k) (t) x(k) (t) 相当于k个积分器级联
x(t) (t) (t) (t) y(t) x(k) (t)
x ( 1) 1
(t
)
tu(t
)
(t
1)u
(t
1)
x(2) 1
(t)
1 2
t 2u(t)
1 2
(t
1)2 u(t
1)
x2 (t) t[u(t) u(t 1)] (2 t)[u(t 1) u(t 2)]
x1 (t )
1
x2 (t )
1
0
1
t
0
1 2t
x(1) 2
(t
)
u(t
)
2u(t
1)
例6 计算系统的零状态响应y(t) f (t) h(t)，
已知：f (t) u(t),h(t) etu(t)
f (t) f ( )
h(t) h( )
t
h( )
t
f ( )h(t )
t
f (t) * h(t) t e(t )d 1 et 0
t0
例7 : 计算f1 f2 f1( ) f2 (t )d
x(1) (t)
x1(1) (t)
x2 (t)
x1(t)
x ( 1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t)
x(n) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x2(n) (t)
C、微积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(t)
x ( 1) 1
(t)
x (1) 2
(t)
x (1) 1
(t)
2
2
0
1
x1(t )
1
x1 (t )
其
它
1 t 2 0 t 11 t 2
0
1t 2
1 t 12 t 3
总结：两有限长函数卷积的定义域（l1,ml) (l2,m2)
,(l1 l2), (l1 m2), (l2 m1), (m1 m2),
应用 f(t) 2
h(t)
例11：画出下列系统的模拟图
y(t) 5 y(t) 3 y(t) 3x(t) x(t)
例：引入辅助函数q(t)
q(t) 5q(t) 3q(t) x(t) 利用微分特性法 y(t) 3q(t) q(t)
q(t) x(t) 5q(t) 3q(t)
例12：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(t )
b0 x(t )
a1
y(t)
a0
y(t )]
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(1) (t )
b0 x(2) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(2) (t )]
根据该式，可直接画出系统模拟图
y(t)
x(t)
1 a2 [b2 x(t )
0
例10：已知 x0 (t) 和 T (t)的波形如下图所示，试求
x(t) x0 (t) T (t)
T (t)
解：利用卷积的性质：
...
...
x(t) x0(t)T (t)
0T
t
x0(t) [ (t m T)]
单位冲激串
m
x0 (t )
x0(t) (t m T)
q(t) x(t) 5q(t) 4q(t) q(t) 5q(t) 4q(t) x(t)
y(t) 1 q(t) q(t) 3
y(t) 5 y(t) 4 y(t) 1 x(t) x(t) 3
练习：写出下列系统的方程
y(t) 4y(t) 5y(t) 4x(t) 3x(t) x(t)
m
0
t
x0(t m T)
m
x(t) x0 (t mT ) m
x(t)
x(t)
0
T
t
T
0
t
x(t)
0
T
t
思考：下列卷积，选用什么方法最好？
1. tu(t) u(t)
2. eatu(t) eatu(t)
3. sintu(t) [u(t) u(t 4)]
4. e3tu(t) u(t 1)
u(t
2)
x(2) 2
(t
)
(t
)
2
(t
1)
(t
2)
x1(t)
x2
(t)
x(2)
1
(t)
x(2) 2
(t
)
[1 t2u(t) 1 (t 1)2u(t 1)][ (t) 2 (t 1) (t 2)]
22
1 t2u(t) 3 (t 1)2u(t 1) 3 (t 2)2u(t 2) 1 (t 3)2u(t 3)
1
h(t- )
1
45
1
3
-3 -1
wk.baidu.com
2.将两函数的时限值两两相加,得出定义域
1+4=5; 1+5=6; 3.确定积分限
t 1
0 4
3+4=7;
5
4
3+5=8 1
5
t 3
f()
4
f()
4 t 1
0
5
6
7
8
2.利用微积分性质
x1 (t )
x2
(t)
x ( 2 ) 1
(t)
x(2) 2
(t)
x1(t) u(t) u(t 1)
4、经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
2.利用性质计算卷积
分段时限
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
例8：已知 x1(t) 和 x2 (t) 的波形如图所示，试求 x1(t) x2 (t)
作业：P70－P73
2.5(a),(d),(f),(g)； 2.12；2.21
经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
思考：
u(t 1) u(t 1) ?
u(t 1) u(t 1) (t 2)u(t 2)
2.7 奇异函数的卷积
单位冲激函数： (t) 单位冲激偶： (t) x(t) (t) x(t) 比较 x(t) (t) x(0) (t) x(t) (t) x(t) 相当于微分运算
1.加法器 e1t
r t
e1t r t
e2 t
2.乘法器 e1t
r t
e2 t
e2t rt e1t e2t rt e1t e2t
注意: 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
et
r t
a
a
r(t) ae(t)
4.微分器 5.积分器 6.延时器
x(t) [h1(t) h2 (t)]
x(t) h(t)
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的和 2、卷积的微积分性质
对于任意函数x(t)，用 x(1) (t)表示其一阶导数，用 x(n) (t) 表示其n阶导数，用x(1) (t)表示其一次积分，用x(m) (t)
22
2
2
3.利用函数式计算卷积, 常见四种形式的积分限：
y(t) x( )h(t )d[一般的x(t)和h(t)]
u(t)
y(t) x( )h(t )d[有始的x(t)和一般的h(t)]
0
t
y(t) x( )h(t )d[一般的x(t)和有始的h(t)]
t
u(t)
y(t) x( )h(t )d[有始的x(t)和h(t)]
表示其m次积分
A、微分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x(1) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x(1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t) x1(n) (t) x2 (t) x1(t) x2(n) (t)
B、积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)