《工程力学》第三章 杆件基本变形时的内力分析

CD段 FN3 4kN
（2）绘制轴力图。
2
3
2
3
思考题：作用于杆件上的外力（载荷）沿其作用线移动时，其 轴力图有否改变？支座约束力有否改变？
练习： 由一高度为H的正方形截面石柱，顶部作用有轴心压
力FP。已知材料的容重为g，作柱的轴力图。
FP
FP
FN
FP
x
n
n
H
G(x) rAx
-
FN x
FP rAx
m
根据平衡条件，其任
一截面上分布内力系的合 F
力也必与杆的轴线重合，
这种与杆件轴线重合的内
力称为轴力，用FN表示。
轴力的大小由平衡方程求解，若取左段 FN
为研究对象，由
Fx 0 , FN F 0 可得 FN F
FN 观看动画
F F
2. 轴力的正负号规定： 拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
构件承载能力分析研究的内容和方法:
内容
1.外力
内力
2.材料的力学性质
破坏（失效）的规律 变形的规律
方法
3.截面形状和尺寸与承载关系
1.实验手段 几何方面 2.理论分析 物理方面
静力方面
第三章 杆件基本变形时的内力分析
内力的大小及其分布规律与杆件的变形与失效密切相关，因此 内力分析是解决构件承载能力的基础。本章主要研究杆件的内力及 其沿杆件轴线的变化规律，以便为杆件的强度、刚度和稳定性计算 提供基础。
§3-1 内力与截面法 §3-2 拉压杆的内力与内力图 §3-3 平面弯曲梁的内力与内力图 习题课 §3-4 受扭圆轴的内力与内力图
一、外力及其分类 §3-1 内力与截面法
外力： 外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷(loads)和约束反力(constrain reaction) 。
体积力(body force),物体的自重、惯性力等是体积力。
+
面的不同杆段上，其轴力也
不相同。
x ③轴力图可确定出最大轴力
的数值及其所在位置，即确
定危险截面位置，为强度计
算提供依据。
例3-1 已知 F1=10kN,F2=20kN ,F3=35kN,F4=25kN.试画出图 示杆件的轴力图。
解(1)计算杆件各段的轴力。 A 1 B 2 C 3 D
AB段
Fx 0
作轴力图的步骤： 求支座约束力 (若取自由端部分半个杆件可不求)
分段 (集中力作用点为分界点)
截面法或简捷法计算各段的轴力
作轴力图 (标注出各段轴力的大小和正负号)
练习： 直杆受外力作用如图，求此杆各段的轴力，并作轴力图。
解：（1）分段并计
1
算各段的轴力
1
AB段 FN1 6kN
BC段 FN2 (6 10)kN 4kN
2.内力的特点：
(1)连续分布力系; (2)随外力的变化而变化,与外力组成平衡力系; (3)通常所说的内力，是指横截面上该分布内力系的简化结果。
三、截面法：
F1 F2
F1 F2
假想截面
F3
F4 F3
F4 分布内力
截面法：将杆件假想地截开以显示内力，并由平衡方程确 定内力的方法 。
如图所示杆件为分析m-m截面上的内力，假想地将杆
()
()
x
3
讨论：
对于拉压杆，在集中力作用的截面上，其轴力图发生突变，突变值等于该集中力 的大小。如上例中，B截面左侧的截面属于AB段，其轴力为4kN； B截面右侧的截面， 属于BC段，其轴力为-3kN。在B截面处轴力图有突变，从4kN突变到-3kN，其突变 量正好等于B截面处的外力7kN,而在B截面上轴力是不确定的。
➢弯曲变形的工程实例
➢弯曲变形的工程实例 火车轮轴1、2
➢弯曲变形的工程实例
A
CF
B
➢弯曲变形的工程实例
楼房的横梁
阳台的挑梁
➢弯曲变形的工程实例
q l
➢弯曲变形的工程实例
➢弯曲变形的工程实例
➢弯曲变形的概念
受力特点——杆件受到垂直于轴线的外力(横向外力)或作用面 在轴线所在平面内的外力偶作用.
截面法是计算内力的基本方法，可归纳为四个字：
（1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。 （2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。 （3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力。 （4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力。
注意：
（1）截面不能取在集中力或集中力偶的作用面上； （2）未知的（待求的）内力均设为正方向。
x
解：柱的各截面轴力大小是变化的。计算任意截面n-n上的轴力FN（x） 时，将柱从该处假想地截开，取上段作为研究对象。
由平衡条件： Fy 0 FN x FP G x 0
得： FN x FP G x (FP rAx)
根据轴力方程再绘制出轴力图。
一、弯曲变形§的3概-3念平面弯曲梁的内力与内力图
m 截面上的内力作用下平衡。 F1
F2 （C为m-m截面的形心）
A
B
FAx
A
FAx
FAy
m
a
l
FAy
m MA
C
FN
MA m
C
a m FS
FN FS m
FB
F1
la
F2
B
FB
由左段梁的平衡方程
A
FAx
FAy
m MA
C
FN
a m FS
Fx 0
Fy 0
MC 0
截面上必然有一个与力FAx等值、反向的轴向内 力FN，称为轴力；
FN1 F1 10kN
F1
BC段
Fx 0
FN2 F2 -F1=0
F1
FN2 F1 F2 ( 10 20)kN 10kNF1
CD段
Fx 0
FN3 F4 25kN
(2)绘制轴力图。
FN kN
1 F2
2 F3 3 F4
FN1
FN2
F2
FN3
F4
25
10
x
10
练习： 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F 、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段 轴力，并画出杆的轴力图。
第二篇 杆件承载能力分析
机械或结构要正常工作，要求组成它们的构件有足够的承受载 荷的能力——承载能力。 衡量构件承载能力的三个主指标： （1）构件必须具有足够的强度（strenth）：
强度指构件抵抗破坏的能力（不发生断裂，也不产生显著的塑性 变形）。 （2）构件必须具有足够的刚度（rigidity）：
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN1 A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力FN1，设截面如图所示。
Fx 0 FD FC FB FA FN1 0
FN1 F 4F 8F 5F 2F
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
求AB 段内力：
Fx 0
FN2
BC
D
FN2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0
FC
FD
FN3= 5F， 求CD段内力：
FN4
D
Fx 0 FN4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
F1
轴向拉伸
B
轴向压缩
A
F2
C
F
F2
F2
以轴向拉伸或压缩为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承
载杆。
思考题：在下图所示各杆件中哪些是属于轴向拉伸或压缩？
FP
FP
FP FP FP
FP FP
FP
F
(a)
(b)
(c)
(d)
二、拉压杆的轴力与轴力图
1.拉压杆的内力——轴力FN
m
如图所示拉杆，确定
F
任一截面m-m的内力。
思考：如图所示钻床，在力 F 的作用下，根据截面法分析确定 m-m截面上的内力。
a
F
m
m
注意：
力的可传性对变形体适用吗？
F′
F
F′
F
承载能力分析研究杆件的强度、刚度和稳定性时，研究 对象为变形体。因此，适用于刚体的概念、原理和方法，如 静力等效、力线平移等，对变形体不适用。
思考：请判断下列简化在什 么情形下是正确的，什么情 形下是不正确的？
固定铰支座 (pin support)
A
A
滚动铰支座 (roller support)
A
➢支座约束力 FAx
A FAy
A
FA
FAx MA A
固定端支座（fixed support)
以外力作用的截面为分界点，将杆件分为AB、BC、
CD三段，设截面1-1、2-2、3-3分别为AB、BC、CD段上的
任一截面。
由简捷法可得
FN1 4 kN
1 7kN 2 5kN 3
FN2 3 kN
4kN
2kN FN3 2 kN
A 1B FN / kN 4
()
2
C
3D
（2）画轴力图， 如图所示。
2
A
FAx
FAy
m MA
C
FN M A m
a m FS FN
C
FS m
F1
la
F2
B
FB
讨论：
（1）若取右段梁为研究对象,同样可求出m-m截面上的轴力、剪力和弯
矩，但与取左段梁求得的FN、FS、M分别等值、反向，即为作用与反作用
的关系；
（2）若将截面左、右两部分之间互相视为固定端约束，则截面上的内
力分量相当于固定端的约束力，只不过这种约束是内约束。其中，轴力FN 约束截面两侧的轴向相对线位移，剪力FS约束截面两侧的切向相对线位移， 弯矩M约束截面两侧的相对转动。
某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很 不显著，称为静载荷。
动载荷(dynamic loads) , 载荷随时间而变化。动载
荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷 三种情况。
二、 内力的概念
1.内力 由外力等作用（变形）引起杆件内部相邻两部分之间相 互作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 点击动画
以弯曲变形为主的杆件--- 梁。
F
q
M
FA
梁的横截面
FB
纵向对称面
1.平面弯曲的概念
梁有纵向对称面，且外力均作用在纵向对称面内，变形 后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。
y
F2
Mq
F1 y
纵向对称面
x
A
B
FA
梁变形后 的轴线
FB
2.单跨静定梁的基本形式 ➢梁的支座种类 A
F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
3. 轴力图
用平行于杆件轴线的x轴表示横截面的位置，垂直于x轴的坐标FN
表示横截面上轴力的大小，在x—FN坐标系中按选定的比例画出轴力
沿轴线方向变化的图形，称为轴力图。
轴力图的意义:
F
F
① 直观反映轴力随截面位
置变化的规律；
FN
②当杆件受到两个以上的轴
F
向外力时，在以外力为分界
截面上必然有一个与力FAy等值、反向的切向内 力F ，称为剪力； S Fx 0, FAx FN 0, FN FAx 截面上必Fy然 0,有FAy一 F个S 0作, 用FS 面FAy在轴线所在平面内的 内力偶MM，C 称0, -为FAy 弯x M矩。0, M FAy x
m-m截面上的三个内力分量可由平衡方程求出，即
A
C
F B
F M
A
C
B
一、轴向拉伸§与3压-2缩拉的概压念杆的内力与内力图
➢轴向拉伸与压缩的工程实例
➢轴向拉伸与压缩的工程实例
➢轴向拉伸与压缩的工程实例 工程桁架
➢轴向拉伸与压缩的工程实例
点击动画
点击动画
➢轴向拉压的概念：
（1）受力特点：外力或外力的合力作用线与杆轴线重 合（轴向外力）。
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。
刚度指构件抵抗变形的能力（不产生过量的弹性变形）。
（3）构件必须具有足够稳定性（stability） 稳定性指构件保持原有平衡状态的能力。
构件承载能力分析的任务：
保证构件具有足够的承载能力的前提下，以最经济 的代价
选择适宜的材料；
为构件
确定合理的截面形状和尺寸； 提供必要的理论基础和计算方法。
构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性 能有关，因此实验研究和理论分析是完成构件承载能力分析所 必需的手段。
按外力作用的方式分类：
表面力(surface force) ,作用于物体表面上的力，又可
分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面一定 区域内的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用
于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。
按外力的性质分类：
静载荷(static loads)，载荷缓慢地由零增加到
件沿m-m截面截开。
m
m m
m
m
m
根据均匀连续性假设，截面上的内力是连续分布的，组 成一分布内力系，通常所说的内力，是指该分布内力系的简 化结果（合力或合力偶）。
分析图示梁m-m截面上的内力：
假想地沿m-m截面将梁截开，由于梁整体是平衡的，其任一局部也
处于平衡。若取截面以左的梁段为研究对象，则左段梁在外力FAx、FAy和
FD
FN 2F
5F
F
x
-
3F
4. 计算轴力的规律：
拉压杆任一截面的轴力，等于该截面一侧（左侧或右侧） 杆上所有外力的代数和。 其中，背离截面的外力产生正的轴力，指向截面的外力产 生负的轴力。 由截面一侧的外力直接计算截面内力的方法，称为简捷法 (直接法)。
例3-3 试画出图示杆件的轴力图。
解 (1)分段并计算各段的轴力