(完整word版)立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ︒===∠= （1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ，求证：//PM BCE 平面；（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值.解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC∴面PMN //面EBC ,∴//PM BCE 平面………………………5分(2)先证出FE ⊥面EBC ， ………………………8分FCE ∴∠为直线CF 与平面BCE 所成角， ………………………11分6tan FEFCE EC∠== ………………………14分2、己知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O 为CD 的中点.(1)求证：AO ⊥平面CDE ；(2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值ABCDE FPM ..ABCDEO3、如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '；（2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．解：（1）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．…6分 （2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=．…8分过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．由（1）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分在Rt △PCE 中，求得a EM 552=， B PPABFC'B 'A EPABF C'B 'A E（第20题）MA BCDEP M所以55522tan =='=a aEM E A θ． …15分4、如图，⊥DA 平面ABC ，⊥ED 平面BCD ，DE=DA=AB=AC.0120=∠BAC ，M 为BC 中点.(1)求直线EM 与平面BCD 所成角的正弦值；(2)P 为线段DM 上一点，且⊥AP DM ，求证：AP//DE. 解：(1) ΘED ⊥平面BCD ，∴DM 为EM 在平面BCD上的射影， ∴EMD ∠为EM 与平面BCD 所成角． (2)分DA ⊥Q 平面ABC ，AC DA AB DA ⊥⊥∴,， 设a AB =，又=Q DA AB =AC ，a DB DC2==∴．在△ABC 中，Q ︒=∠120BAC，a BC3=∴，又Q M 为BC中点，∴⊥DM BC ，12==BM BC ，∴a DM 25=．…5分在Rt △EDM 中，EM =32a =，∴sin EMD ∠=32DE aEM a =23=． ………………………7分 （2）Θ=AB AC ，M 为BC 中点，∴⊥BC AM ．又⊥DA 平面ABC ， ∴⊥BC DA ，⊥∴BC 平面DAM ．……………………9分 又⊂AP平面DAM，AP BC ⊥∴， ……………………11分 又ΘDM AP ⊥，⊥∴AP 平面BCD ． ……………………13分 又ΘED ⊥平面BCD ，DE AP //∴． ……………………14分 5、如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，)1(>=λλAF CE ． （1）证明：BD ⊥EF ；（2）若AF ＝1，且直线BE 与平面ACEMPEDCB AA BC DEA 1C 1为1023，求λ的值．解：（1）连结BD 、AC ，交点为Ｏ．∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ……2分∵AF ⊥平面ABCD ∴AF ⊥BD ……4分 ∴BD ⊥平面ACEF ……6分 ∴BD ⊥EF ……7分（2）连结OE ，由（1）知，BD ⊥平面ACEF ，所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角． ……10分 ∵AF ⊥平面ABCD ，CE ∥AF ，∴CE ⊥平面ABCD ，CE ⊥BC ， ∵BC =1，AF ＝1，则CE ＝λ，BE ＝21λ+，BO ＝22， ∴Rt △BEO 中， 1023122sin 2=λ+==∠BE BO BEO ， …13分 因为1>λ，解得34=λ． ……15分6、如图，在几何体中，⊥1AA 平面ABC ，,2,//,111===⊥AA BC AB AA CC BC AB E D CC ,,11=分别是1,AA AB 的中点. (1)求证：//1BC 平面CDE ；(2)求二面角A DC E --的平面角的正切值.解：（1）连接ACR 1R 交EC 于点F ，由题意知四边形ACCR 1RE 是矩形，则F 是ACR 1R 的中点，连接DF ，∵D 是AB 的中点，∴DF 是△ABCR 1R 的中位线，∴ BCR 1R//DF ， 4分∵ BCR 1R ⊄平面EDC ，DF ⊂平面EDC ，∴BCR 1R//平面CDE. 7分(2) 作AH ⊥直线CD ，垂足为H ，连接HE ， ∵ AAR 1R ⊥平面ABC ，∴ AAR 1R ⊥DC ，∴ CD ⊥平面AHE ， ∴ CD ⊥EH ，∴ ∠AHE 是二面角E – CD – A 的平面角. 11分 ∵ D 是AB 的中点，∴ AH 等于点B 到CD 的距离，在△BCD 中，求得：AH ＝552， 在△AEH 中， 25tan ==∠AH AE AHE 即所求二面角的正切值为25.7、如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且PA AB AC ==, （1）求证：PA //平面QBC ；（2）若PQ QBC ⊥平面，求CQ 与平面PBC 所成角的正弦值.解：（1）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ……2分 又∵PA ⊥平面ABC∴QD ∥PA , ………………2分 又∵QD ⊆平面QBC∴PA ∥平面QBC ………………6分（2）∵PQ ⊥平面QBC∴90PQB PQC ∠=∠=o，又∵,PB PC PQ PQ ==∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ = ………………8分 ∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥∴四边形PADQ 是矩形 ………………10分 设2PA AB AC a === 得：2PQ AD a ==，6PD a =又∵,BC PA BC PQ ⊥⊥，∴BC PADQ ⊥平面，QPABCABCA 1B1C 1DE 从而PBC PADQ ⊥平面平面，过Q 作QH PD ⊥于点H ，则：QH PBC ⊥平面 ∴QCH ∠是CQ 与平面PBC 所成角 ………………………………………………12分∴222336a QH a ⋅==，6CQ BQ a ==2312sin 336QH QCH CQ ∠==⋅=∴CQ 与平面PBC 所成角的正弦值为23…………………………14分8、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆是等腰直角三角形，090=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别为CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心. (1)求证：DE//平面ACB ；(2)求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值.9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B=90°,D 为棱BB 1的中点。

（1）求证：面DA 1C ⊥面AA 1C 1C ； （2）若12AA AB，求二面角A —A 1D —C 的大小。

ABCA 1B 1C 1D10、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AB//CD ，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M 为PB 的中点． （1）证明：MC//平面PAD ；（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值．11、如图在梯形ABCD 中，DC AB //，E 、F 是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥,AB CF ⊥，2,3===FB EF CF ,G 为FB 的中点,设t AE =，现将BCF ADE ∆∆,分别沿CF DE ,折起，使A 、B 两点重合于点P ，得到多面体PEFCD . （1）求证：//PD 平面EGC ；（2）当⊥EG 面PFC 时,求DG 与平面PED 所成角的正切值.PA DMABCDEFGEFCDGP（1）证明：连接DF 交EC 于点M ，连接MGG M ,Θ为中点 MG PD //∴ 又EGC PD 面⊄Θ EGC MG 面⊂ ∴//PD 平面EGC ———5分（2）当⊥EG 面PFC 时, PF EG ⊥ 又ΘG 为FB 的中点，2==∴EP EF ，2=∴t —————7分过点G 在平面PEF 中作EP 的垂线，垂足为N ，连接DN . ⊥DE Θ面PEF ∴面⊥PED 面PEF ⊥∴GN 面PED GDN ∠∴即为DG 与平面PED 所成角.——————11分易求得221,23==DN GN ,所以DG 与平面PED 所成角的正切值为77.——14分12、如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC ，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (1)证明：⊥BD 平面PAC ；(2)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求直线PE 与平面ABCE 所成角的正弦值.解：(1)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中， ∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠,∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC I 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ………… 6分(2)如图，过点P 作AC 的垂线，垂足为H ，连接EH ，EC并取AO 中点F ，连接EF ，∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC I 平面ABCE =AC ，AC PH ⊥ ∴⊥PH 平面ABCE ，∴PEH ∠即为直线PE 与平面ABCE 的所成角， 由(Ⅰ)可知，BD AC ⊥，且32=AO ，3=CO ，又2=PE ，7=PC ，设x CH =，则有27x PH -=，3222-=-=x PH PE EH又∵F 为AO 的中点，在EFH Rt ∆中，x FH -=32，1=EF由勾股定理得，31)32(22-=+-x x ，解得334=x ， BACDEPABCA 11C 1O∴332=EH ，335=PH ∴直线PE 与平面ABCE 的所成角的正弦值即33sin ==∠PE EH PEH .13、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1 =2，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，∠AA 1C 1=∠BAC 1=60°，设AC 1与AC 相交于点O ，如图． （1）求证：BO ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角B 1—AC 1—A 1的大小。