(完整版)初中数学培优教材勾股定理专题(附答案-全面、精选).doc

初中数学勾股定理培优教材

一、探索勾股定理

【知识点1】勾股定理

定理内容：在RT△中，

勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键

在于确定斜边或直角

典型题型

1、对勾股定理的理解

（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长 c，则下列关于a,b,c 的关系不成立的是（）

A、 c2- a2=b2

B、c2- b2=a2

C、a2- c2=b2

D、 a2+b2= c2

（2）在直角三角形中，∠ A=90°，则下列各式中不成

立的是（）

A、 BC2- AB2=AC2

B、 BC2- AC2=AB2

C、AB2+AC2= BC2

D、AC2+BC2= AB2

2、应用勾股定理求边长

（3）已知在直角三角形ABC中， AB=10 cm,BC=8 cm, 求 AC的长 .

（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则

该直角三角形的斜边长为．

3、利用勾股定理求面积

（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆

的面积为 25π， 16π，求另一个半圆的面积。

（ 6）如图（ 1），图中的数字代表正方形的面积，则正

方形 A 的面积为。

（7）如图（ 2），三角形中未知边x 与 y 的长度分别是

x=,y=。

（8）在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，若 AC＝6， BC＝ 8，则 AB 的长为（）

A、 6

B、8

C、 10

D、 12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、 3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、

S3、 S4，则 S1 S2S3S4=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证

推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）

拼图法推导一般步骤：拼出图形 ---找出图形面积的表

达式 ---恒等变形—推出勾股定理。

（10）用四个相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为c）按图拼法。

问题：你能用两种方法表示下

图的面积吗？对比两种不同的表

示方法，你发现了什么？

（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为 c）按下图拼法，

论证勾股定理：

a 2b2 c 2

3、运用勾股定理进行

计算（重难点）

（12）如图 ,一根旗杆在离地面 9 米处折断倒下 ,旗杆顶部

落在离旗杆底部 12 米

处 ,旗杆折断前有多高？

（13）两棵之间的距离为 8m ，两棵树的高度分别为 8m 、 【培优突破】 2m ，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶， 这

1、折叠问题

只小鸟至少要飞多少米？

（ 1）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边 AC=6cm 、 BC=8cm ，现将 △ABC 折叠，使点 B

与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE 的

长为（

）

A 、 4cm

B 、 5cm

C 、6cm

D 、10cm

（ 2） 如图，折叠长方形的一边

AD ，使点 D 落在 BC 边

【基础检测】

上的点 F 处，已知 AB=8cm ， BC=10cm ，求线段 EC 的值

1、在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若 AB ＝13，BC ＝5，则 AC 的长为（

）

A.5

B.12

C.13

D.18

2、已知 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若 a b 14 cm ，

c 10 cm ，则 Rt △ ABC 的面积为（

）

A . 24cm 2

B.

36cm 2 C. 48cm 2

D. 60cm 2

3、若△ ABC 中，∠ C=90°，

（1 ）若 a = 5，b=12，则 c = ； （2 ）若 a =6，c =10，则 b = ；

（3 ）若 a ∶b=3∶4，c =10，则 a=

，b=

。

4 、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积

为。（ 不取近似值）

2、运用勾股定理解决生活中的实际问题

（ 3）如图，为了测得小水坑两边

A 点和

B 点之间的距

离，一个观测者在

C 点设桩，使∠ ABC=90°，并测得

AC=20m ，BC=16m,则 A 、 B 两点之间的距离是对少 ?

7

25

5、一个直角三角形的斜边为 20cm ,且两直角边长度比为

3 : 4，求两直角边的长。

3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）

（ 4）在△ ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高 AD=12， 则 BC 的值为（

）

A 、25

B 、 7

C 、25 或 7

D 、不能确定

（ 5）已知 3, 4，a 是一个三角形的三边长，若三角形

为直角三角形，则

a 2 的值是多少？

（ 6）在直角△ ABC 中， AB=15， AC=20， BC 边上的高

6、一个长为 10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 AD=12，则 BC 的值为多少？

面的垂直高度为 8m ，梯子的顶端下滑 2m 后，底端向外

滑动了多少米？

4、利用方程解题

（ 7）如图， △ABC 中，∠ C=90°，D 是 BC 上的一点，已

知 BD=7， AB=20， AD=15， 求 AC 的长 .

（ 8 ）如图，已知△

ABC 中，

AB=AC=20，BC=32， D 是 BC 上

一点，且 AD ⊥ AC ，求 BD 的长。