高等数学上期末复习题

三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：

1．求极限01lim sin x x x e xe x x

→-+.

解：2001(1)lim lim

sin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='

0lim 2x x x x e e xe x →-++=1.2= 2. 已知arccos ,0

(),

0≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩x x f x ax b x 在x = 0处可导，求常数b a ,.

解：因为f (x )在x = 0处可导必连续，所以0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+

→→== 2

b π

=

得

又因为f (x )在x = 0处可导，所以0

()(0)

lim

x f x f x

→-存在

000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f x

π

π→→→-=-=-+-

'=∴=-=＋＋－

3.arctan

'"y

x

e y x y y =确定是的函数,求与.

解：

arctan

2

22'1'1()

y x

x yy y x y

e

y x x y x

+-=

⋅

⋅

++ arctan

((')

'y x

x yy e y x y x y

y x y

+=-+∴=

-化简得

22

222

(1')()()(1')2(')

"()()2()

'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--=

=

--+=

-又将代入上式化简得

4. dx t A dy t A t f y e

x t f t f t f )()()

(cos 0)()(2

)

(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解：

22()()

sin ()2()'()2()sin ()

()'()f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e --==

＝ 2()

2()sin ()

f t f t f t dy dx e -∴=

5. 求⎰

+dx x

x

x 2

ln . 解： 2

2ln ln ln x x x

dx x dx x x +=+⎰⎰ 1

ln ln x xd x -⎰＝

2ln 1

ln x x dx x x -+⎰＝

ln 1

ln x x x x

--＝＋C

6. 2

2

(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求：的极值曲线的拐点的横坐标

2

24

4

4(1)

'()[]'200

"()2(14),"(0)20

0()()(0)0.

x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解： 令是的极小值点,的极小值为

4

412 (2)"()2(14)0 "()0,

"()0,

"()0,

()x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒=

=∞<<<<<

><<+∞<∴==又

令当-时, 当, 当

时,曲线拐点的横坐标为

7．计算21

2

1sin 1-++⎰x x

dx x . 解：22

1

122

11sin 1111--++-=++⎰⎰x x

x dx dx x x 1

2

1

1

(1)1dx x -=-

+⎰ 1

022arctan 22

x π

=-=-

四、应用题（每小题8分，共16分）：

1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆截面的面积为5m

2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？

解：设截面的周长为 l , 已知22

x

l x y π=++

1分

截面的面积为2()522x

xy π+=,即 58

x

y x π=-

3分 故

10

,4x l x x x

π=+

+∈ 4分

因为22

1020

'1,"4

l l x x

π

=+-

=， 令'0l =

得驻点x =分

又因为"0l >，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分

所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分

2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .

解：

3

'

(42)

4,'

2x x x y x y ====-==- 2分

所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为

43,

26y x y x =-=-+ 2分

且这两条切线的交点为3

(,3)2

，则所求图形的面积为

33

2

2230

2

9

(4343)(2643)4

S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=

⎰⎰ 8分 五、证明题（5分）：

证明：当x > 1时，

x

x

x x +>

+1ln )1ln(. 证明 令()ln f t t t =， 1分

()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理，于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ，使得 x

x x

x x x f -+-++=

+='1ln )1ln()1(1ln )(ξξ

即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分 而x x +<<<11ξ，又因为01ln >+ξ，所以x x x x ln )1ln()1(>++， 即

x

x

x x +>+1ln )1ln(.（ x > 1） 2分