高考数学 6.7 数学归纳法挑战真题 理(通用版)

高考数学 6.7 数学归纳法挑战真题 理（通用版）

解析：根据已知条件，总结规律，进而可得

答案： 2.（2010·安徽）设数列a 1,a 2,…,a n ,…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是:对任何n ∈N,

都有.1...111113221++=+++n n n a a n a a a a a a 证明:设数列{a n }的公差为d.若d=0，则所述等式显然成立.

若d ≠0，则

再证充分性.

设所述的等式对一切n ∈N,都成立，

首先，在等式3

13221211a a a a a a =+ ① 两端同乘a 1a 2a 3,即得a 1+a 3=2a 2,

所以a 1,a 2,a 3成等差数列.

记公差为d,则a 2=a 1+d.

假设a k =a 1+（k-1）d,当n=k+1时，

在该式两端同乘a1a k a k+1,得（k-1）a k+1+a1=ka k.

将ak=a1+（k-1）d代入其中，整理后，

得a k+1=a1+kd.

由数学归纳法原理知，对一切n∈N都有a n=a1+（n-1）d.

所以{a n}是公差为d的等差数列.

3.（2010·重庆）在数列 {a n}中，a1=1,a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0.求{a n}的通项公式.

=c［（k2-1）c k+c k-1］+c k+1（2k+1）

=（k2+2k）c k+1+c k

=［（k+1）2-1］c k+1+c k.

综上，a n=（n2-1）c n+c n-1对任何n∈N*都成立.

4.（2010·江苏）已知△A BC的三边长为有理数.

（1）求证:cos A是有理数;

（2）对任意正整数n,求证：cos nA也是有理数.

②假设当n≤k（k≥2）时，结论成立，

即cos kA、cos（k-1）A均是有理数.

当n=k+1时，

cos（k+1）A=cos kAcos A-sin kAsin A,

cos（k+1）A=cos kAcos A-1

2

［cos（kA-A）-cos（kA+A）］,

cos（k+1）A=co s kAcos A-1

2

cos（k-1）A+

1

2

cos（k+1）A,