高二数学 数据的数字特征

高二数学数据的数字特征

一、教学背景分析

在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。

二、教学目标

1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

三、教学重、难点

教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

四、设计思路

（1）、教法构想

本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（2）学法指导

学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。

五、教学实施

导入新课

提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。”工资表如下：

这到底是怎么了？（学生思考交流） 教师点出课题：数据的数字特征

推进新课 Ⅰ、新知探究 提出问题

1、 2、 什么叫中位数？有什么意义？ 3、 什么叫众数？有什么意义？ 4、 什么叫极差？有什么意义？ 5、 什么叫方差？有什么意义？ 6、

什么叫标准差？有什么意义？

讨论结果： 1、

一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数。数据12,,,n x x x 的

平均数为12n

x x x x n

++

+=

。平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据

的平均水平。

2、 一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势。

3、 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势。

4、 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。

5、

方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2

s 表示，通常用公式

2222121

[()()()]n s x x x x x x n

=-+-+

+-来计算。反映了数据的离散程度。

方差越大，数据的离散程度越大。方差越小数据的离散程度越小。

6、

标准差等于方差的正的平方根，即s =围绕平均数的波动程度的大小。

Ⅱ、应用示例

例1 某公司员工的月工资情况如表所示：

（1） 分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

（2） 公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工

会领导呢？

解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元。

（2） 公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便

知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多。

点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用。 变式训练 1、

下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：

请参照这个表解答下列问题：

（1） 用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； （2） 若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值。 解：（1）3559

40

x y f ++=

；

(2)依题意，有3541

11{

x y x y +=+=解得74{

x y ==

例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm 的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差。

解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值40()x x mm ==乙甲。 我们分别计算它们直径的标准差：

0.161()s mm ==甲 (39.90.077()s mm =+-=乙

由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm ，比乙机床的标准差0.077mm 大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些。