2019最新考研高数模拟考试题库(含答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

学校：__________

考号：__________

一、解答题

1．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

解：设圆柱体的高为h , ，

2

23πππ

4V h r h h =⋅=-

令0V '=, 得.h = 时，其体积为最大.

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;

解：特征方程为 2430r r -+= 解得 121,3r r ==

通解为 312e e x x

y c c =+

312e 3e x x y c c '=+

由初始条件得 12112264

3102

c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨

⎨+==⎩⎩

故方程所求特解为 34e 2e x

x

y =+.

00(2)440,2,0;x x y y y y y ==''''++===

解：特征方程为 2

4410r r ++=

解得 1212

r r ==-

通解为 12

12()e

x y c c x -=+

2

21

21e 22x

x y c c c -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭

由初始条件得 112212

21

102

c c c c c =⎧=⎧⎪

⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩ 故方程所求特解为 1

2

(2)e

x y x -=+.

00(3)4290,0,15;x x y y y y y ==''''++===

解：特征方程为 24290r r ++= 解得 1,225r i =-± 通解为 212e

(cos5sin 5)x

y c x c x -=+

22112e [(52)cos5(52)sin 5]x y c c x c c x -'=-+--

由初始条件得 11212

00

52153c c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨

-==⎩⎩ 故方程所求特解为 23e

sin 5x

y x -=.

00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.

解：特征方程为 2250r += 解得 1,25r i =±

通解为 12cos5sin 5y c x c x =+

125sin 55cos5y c x c x '=-+

由初始条件得 112222

551

c c c c ==⎧⎧⇒⎨

⎨==⎩⎩

故方程所求特解为 2cos5sin 5y x x =+.

3．

设()f x 可导，求下列函数y 的导数

d d y x

： ⑴ 2

()y f x = 解：2

2()y xf x ''=

⑵ 2

2

(sin )(cos )y f x f x =+

解：2

2

2sin cos (sin )2cos (sin )(cos )y x xf x x x f x '''=+-

22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x ''=-

4．求下列隐函数的导数：

⑴ 3

3

30x y axy +-=； ⑵ ln()x y xy =； ⑶ e e 10y

x

x y -=； ⑷ 22ln()2arctan

y x y x

+=；

⑸ e

x y

xy +=

解：⑴ 两边求导，得：

2233330x y y ay axy ''+⋅--=

解得 2

2ay x y y ax

-'=-.

⑵ 两边求导，得：

1

1ln()()y xy y y xy xy

''=+⋅

+ 解得 (ln ln 1)

x y

y x x y -'=

++.

⑶ 两边求导，得：

e e e e 0y y x x x y y y ''+⋅++=

解得 e e =e e

y x

y x

y y x +'-+. ⑷ 两边求导，得：

222

211(22)21()y x y

x yy y x y x x

'-'⋅+=⋅⋅++ 解得 =x y

y x y

+'-.

⑸ 两边求导，得：

e (1)x y y xy y +''+=+

解得 e =e x y x y

y

y x ++-'-.

5．设()ln(1)f x x =+，求()

().n f x

解：

()1(1)!

(ln )(1)n n n

n x x --=-⋅

()()1(1)!

()[ln(1)](1)(1)

n n n n

n f x x x --∴=+=-⋅

+.

6．验证函数e sin x

y x =满足关系式220y y y '''-+= 证明：e (sin cos )x

y x x '=+

e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=⋅

故222cos e e (2sin 2cos )2e sin 0x

x

x

y y y x x x x '''-+=⋅-++=