三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用
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三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用
阿波罗尼斯定理三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方
和的2倍.
具体地说,就是:设AD 是△ABC 的中线,则)
(22
2
2
2
BD
AD
AC
AB .
证明如图1,作BC 边上的高AH. 由
勾股定理,
得
222DH AH AD
,22
2BH
AH
AB ,
2
2
2
CH
AH
AC
.
所以2
2
2
2
2
2CH
BH
AH AC AB .
由
CD BD
,
可
得
)
(2)
()
(2
2
2
2
2
2
DH
BD
DH BD
DH BD
CH
BH
.
所以
)
(2)
(22
2
2
2
2
2
2
BD
AD
BD
DH AH
AC
AB .
该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用.
1.直接使用
当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题.
例 1 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.若a BC ,b CA ,c AB ,则
2
2
2
CF
BE
AD
______.
(2005年山东省初中数学竞赛)
分析AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算.
解如图2, AD 是BC 边上的中线,由阿波罗尼斯定理得
2
2
2
2
4
12BC
AD
AC
AB
.
代入已知数据,变形得2
2
2
2
4
12
12
1a
b
c
AD
.
同
理
2
2
2
2
4
12
12
1b
a
c
BE
,2
2
2
2
4
1212
1c
b
a
CF
.
故
2
2
2
2
2
2
4
3c
b
a
CF
BE AD
.
例2 如图3,△ABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM 交于点G 、H,并且
点G 在点B 和点H 之间.已知HM BG ,2AB ,2BC .那么,当BC 、CA 为何值
D
C
B E A
图2
F
H
A
B
C
D 图1
时,线段GH 的长达到最大值?并求GH 的最大值.
解如图3,设⊙O 与边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F.
由切线长定理,得
AC
BC AB
AC
AF
AE
21)
(21. 由
切
割
线定
理
得
BF
GH BG
BG GH HM
HM EM
)
()
(.
所以2AB
AM
,4
2AM AC .
设a BC 2,则
a
BC AB
AC
AF AE 3
)
(21.
因此1a BF
EM
.
设x
GH
,y HM
BG .则2
)
1()
(a x y y .
①
由阿波罗尼斯定理,得
)
4
1(22
2
2
2
AC
BM
BC
AB
,代入数据并变形,得
2
2)]
([2
2
a
x y
y
.
②
由式①、②,解得2
)
2(22
a
x
,其中,2
4224
a ,即3
1
a .
因此,当2
a 时,x 达到最大值
2
,即当
4
BC AC
时,线段GH 的长达到最
大值
2
.
2.构造三角形的中线后使用定理
有些平面几何题,虽然题设条件中没有直接出现三角形的中线,但根据一些条件可先构造三角形的中线,然后再利用阿波罗尼斯定理求解.
例3 如图4,正方形ABCD 、正方形CGEF 的边长分别是2、3,且点B 、C 、G 在同一直线上,M 是线段AE 的中点,连接MF.则MF
的长为______. (2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛) 分析要求MF 的长,注意到点M 是线段AE 的中点,只要连接AF 后,就可运用阿波罗尼斯定理进行求解了. 解如图4,连接AF,延长BA 、EF 交于点H. 则
EH AH .
在Rt △AHF 中,2FH ,123AH ,由勾股定理得
5
2
2
2
FH
AH
AF
.
在
Rt △AHE
中,5
2
3
EH
,
1
AH ,由勾股定理得
26
2
2
2
EH
AH
AE
. M 是△AEF 的边
AE 的中点,由阿波罗尼斯定理得
O H
G M F
E
D
C
B
A
图3
图4
H M G F E
D C
B A