1.2 四类具有特殊性质的函数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上严格增，在 - ,0 上严格减.
注意 函数y x 2 在 , 不单调.
三、奇函数和偶函数
定义3 设D关于原点对称,即 : x D, 必有 x D.
若x D, f ( x ) f ( x ) , 称 f 为 D 上的奇函数. 若x D, f ( x ) f ( x ) , 称 f 为 D 上的偶函数 .
1 1 0,1 上有下界. M R, 要 M , 只要x0 x0 M 1 1 取 x0 = , 则 M 1 M , 因此 f 在 M 1 x0
0,1 上无上界.
二、单调函数
定义2 设 f 是定义在 D上的函数.
若x1 , x2 D, 当 x1 x2 时,
例19 设 函数y f ( x )，x R的图形关于直线
x a与x b(a b )均对称，证明 y f ( x )是周期函数, 并求其周期.
解 由条件知：
f (a x ) f (a x ), f (b x ) f (b x ) f ( x ) f (a ( x a )) f (a （x a ))
x 2*cosx
-2
0
2
4
3(sinx+sinx/3)
0
2
4
下页
4．周期函数(periodicity):
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在l 0
使得对于任一x D,( x l ) D. 且 f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界 .
若M R, x0D, f ( x0 ) M , 则称 f 在 D 上无上界
y M y=f(x) x X M
y
o
o
x0
X
x
-M
-M
有界
无界
注意: (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.
(2)有界与否是和X有关的.
（3）若L R, x0D, f ( x0 ) L, 则称 f 在 D 上无下界；
例9 任意正有理数是狄利克雷函数 D( x )的周期. 证 设 r Q+ , x R.
若 x Q, 则 x r Q, D( x r ) 1 D( x ); 若 x Q, 则 x r Q, D( x r ) 0 D( x ).
因此, r 是 D( x ) 的一个周期.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o x o
f ( x1 )
f ( x2 )
x
I
I
4
2 -4 -2
o
-2
2
4
-4
下页
不难知道,若 f ( x ) 和 g( x ) 是正值严格增的,则 f ( x ) g( x ) 也是正值严格增的.
例4 函数y x 3 在 R 上严格增;函数y x 2 在 0,
f ( 2a x ) f (b (b x 2a )) f (b (b x 2a )) f ( x 2(b a )) 故 f ( x ) 是周期函数，且 2(b a ) 是它的一个周期.
（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
例15 sin x 的周期为 2π, tan x 的周期为 π,
注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：
f ( x ) sin x .
注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.
1.2 四类具有特殊性质的函数
下页
一、有界函数
定义1 设 f 定义在D上.
若M R, x D, f ( x ) M , 则称 f 在 D 上有上界；
若L R, x D, f ( x ) L, 则称 f 在 D 上有下界；
若M R, x D, f ( x ) M , 则称 f 在 D 上有界.
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。
例如, y sin x, y tan x, y x 2n1 是奇函数,而 y cos x, y x 2n 是偶函数,y c是偶函数.
y ln x x 2 1 是奇函数 .
y
y f ( x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
-x o x x
f ( x )
奇函数
x 3*sinx 10 0 -10 -5 -20 -30 -40 -4 0.5 -2 0 sinx*cosx 20 15 0 10 5 0 -0.5 -4 -2 0 2 4 -4 -2 2 4 -10 -15 -4 5 0
若MR, x0 D, f ( x0 ) M , 则称 f 在 D 上无界.
sin x ,cos x ,arcsin x ,arccos x都为有界函数.
1 例1 求证 : f ( x ) 在 0,1 上无上界, 有下界. x
证 L 1，则 x 0,1 ,
f ( x ) L, 因此 f 在
(i) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的增函数; 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格增函数. (ii) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的减函数; 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格减函数.
注意 函数y x 2 在 , 不单调.
三、奇函数和偶函数
定义3 设D关于原点对称,即 : x D, 必有 x D.
若x D, f ( x ) f ( x ) , 称 f 为 D 上的奇函数. 若x D, f ( x ) f ( x ) , 称 f 为 D 上的偶函数 .
1 1 0,1 上有下界. M R, 要 M , 只要x0 x0 M 1 1 取 x0 = , 则 M 1 M , 因此 f 在 M 1 x0
0,1 上无上界.
二、单调函数
定义2 设 f 是定义在 D上的函数.
若x1 , x2 D, 当 x1 x2 时,
例19 设 函数y f ( x )，x R的图形关于直线
x a与x b(a b )均对称，证明 y f ( x )是周期函数, 并求其周期.
解 由条件知：
f (a x ) f (a x ), f (b x ) f (b x ) f ( x ) f (a ( x a )) f (a （x a ))
x 2*cosx
-2
0
2
4
3(sinx+sinx/3)
0
2
4
下页
4．周期函数(periodicity):
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在l 0
使得对于任一x D,( x l ) D. 且 f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界 .
若M R, x0D, f ( x0 ) M , 则称 f 在 D 上无上界
y M y=f(x) x X M
y
o
o
x0
X
x
-M
-M
有界
无界
注意: (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.
(2)有界与否是和X有关的.
（3）若L R, x0D, f ( x0 ) L, 则称 f 在 D 上无下界；
例9 任意正有理数是狄利克雷函数 D( x )的周期. 证 设 r Q+ , x R.
若 x Q, 则 x r Q, D( x r ) 1 D( x ); 若 x Q, 则 x r Q, D( x r ) 0 D( x ).
因此, r 是 D( x ) 的一个周期.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o x o
f ( x1 )
f ( x2 )
x
I
I
4
2 -4 -2
o
-2
2
4
-4
下页
不难知道,若 f ( x ) 和 g( x ) 是正值严格增的,则 f ( x ) g( x ) 也是正值严格增的.
例4 函数y x 3 在 R 上严格增;函数y x 2 在 0,
f ( 2a x ) f (b (b x 2a )) f (b (b x 2a )) f ( x 2(b a )) 故 f ( x ) 是周期函数，且 2(b a ) 是它的一个周期.
（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
例15 sin x 的周期为 2π, tan x 的周期为 π,
注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：
f ( x ) sin x .
注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.
1.2 四类具有特殊性质的函数
下页
一、有界函数
定义1 设 f 定义在D上.
若M R, x D, f ( x ) M , 则称 f 在 D 上有上界；
若L R, x D, f ( x ) L, 则称 f 在 D 上有下界；
若M R, x D, f ( x ) M , 则称 f 在 D 上有界.
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。
例如, y sin x, y tan x, y x 2n1 是奇函数,而 y cos x, y x 2n 是偶函数,y c是偶函数.
y ln x x 2 1 是奇函数 .
y
y f ( x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
-x o x x
f ( x )
奇函数
x 3*sinx 10 0 -10 -5 -20 -30 -40 -4 0.5 -2 0 sinx*cosx 20 15 0 10 5 0 -0.5 -4 -2 0 2 4 -4 -2 2 4 -10 -15 -4 5 0
若MR, x0 D, f ( x0 ) M , 则称 f 在 D 上无界.
sin x ,cos x ,arcsin x ,arccos x都为有界函数.
1 例1 求证 : f ( x ) 在 0,1 上无上界, 有下界. x
证 L 1，则 x 0,1 ,
f ( x ) L, 因此 f 在
(i) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的增函数; 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格增函数. (ii) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的减函数; 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格减函数.