构造全等三角形的五种常用方法
构造全等三角形的四种技巧
构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。
理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。
以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
这个公理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。
这两个三角形的形状和大小将会完全相同。
利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。
通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。
利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。
这样，你就可以得到两个全等的三角形。
利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。
由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。
如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。
以上就是构造全等三角形的四种技巧。
理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。
已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。
两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。
已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。
构造全等三角形的方法技巧
方法1 角形
利用“角平分线”构造全等三ห้องสมุดไป่ตู้
【方法归纳】 因角平分线本身已经具备 全等的三个条件中的两个(角相等和公共 边相等)，故在处理角平分线问题时，常 作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
思1．如图，AB∥CD，BE平分 ∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD 上，求证：BC＝AB＋CD. 考
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是 ∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点 P在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA，OB交于点C，D，求证：PC＝ PD.
方法2 利用“截长补短法”构造全等 三角形
【方法归纳】 截长补短法的具体做法 ：在某一条线段上截取一条线段与特定 线段相等，或将某条线段延长，使之与 特定线段相等，再利用三角形全等的有 关性质加以说明．这种方法适用于证明 线段的和、差、倍、分等类的题目．
3．如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB， AC，CD三者之间的数量关系，并 说明理由．(想一想，你会几种方法)
方法3 利用“倍长中线法”构造全 等三角形
【方法归纳】 将中点处的线段延长 一倍，然后利用SAS证三角形全等．
6．已知：如图，AD，AE分别是 △ABC和△ABD的中线，且BA＝ BD.求证：AE＝AC.
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
构造全等三角形的六种常用方法课件
构造方法简介
01
02
03
04
尺规作图法
利用尺规作图工具，通过已知 条件构造全等三角形。
翻折法
将已知三角形沿某条直线翻折， 得到与原三角形全等的三角形。
平移法
将已知三角形沿某方向平移一 定距离，得到与原三角形全等
的三角形。
旋转法
将已知三角形绕某点旋转一定 角度，得到与原三角形全等的
三角形。
02 方法一：SSS全 等法
感谢观看
拓展延伸：其他构造方法及应用场景
构造中位线
利用三角形中位线性质构 造全等三角形，常用于证 明线段相等或倍长中线等 问题。
构造角平分线
利用角平分线性质构造全 等三角形，常用于证明角 相等或线段成比例等问题。
构造垂直平分线
利用垂直平分线性质构造 全等三角形，常用于证明 线段相等或点共圆等问题。
THANKS
判定条件
两个三角形中，两个角及这两个角的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
构造步骤这两个角的夹边相等，最后根据ASA判定条件证明两个三角形全等。
示例
在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。根据ASA全等法，可以判定△ABC≌△ADE。
应用场景分析
1 2 3
解决角度和边长问题 当题目中给出两个角和它们的夹边相等时，可以 利用ASA全等法证明两个三角形全等，从而解决 与角度和边长相关的问题。
构造全等三角形 在几何证明题中，有时需要构造全等三角形以证 明某些线段或角度相等。ASA全等法是构造全等 三角形的常用方法之一。
辅助线策略 当遇到复杂的几何问题时，可以通过作辅助线构 造全等三角形，将问题转化为已知的全等三角形 问题，从而简化解题过程。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
构造全等三角形的方法
构造全等三角形的方法
构造全等三角形的方法有以下几种：
1. SSS（side-side-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的对应边长分别满足AB=DE，BC=EF，CA=FD，则可以得到两个全等三角形。
2. SAS（side-angle-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对边长比值相等且夹角相等，即满足AB/DE = BC/EF，∠BAC = ∠EDF，则可以得到两个全等三角形。
3. ASA（angle-side-angle）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对夹角相等且一对边长相等，即满足∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，则可以得到两个全等三角形。
4. AAS（angle-angle-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对夹角相等且一对角度之和为180，即满足∠BAC = ∠EDF，∠ABC + ∠BCA = ∠DEF + ∠EFD = 180，AB/DE ≠BC/EF，则可以得到两个全等三角形。
5. HL（hypotenuse leg）法：该方法适用于直角三角形。
给定两个直角三角形ABC和DEF，若它们的斜边和一对对边分别相等，即满足AC = DF，BC = EF，则可以得到两个全等三角形。
需要注意的是，在构造全等三角形时，要保证条件足够充分，即满足对应的几个条件才能得到全等三角形。
构造全等三角形的常用方法
构造全等三角形的方法
方法一翻折法
1、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.
方法二补形法
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC=∠BDF.
方法三旋转法
3、如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE+DF=EF，求∠EAF.
方法四倍长中线法
4、如图，在△ABC中，D为BC的中点.（1）求证：AB+AC>2AD；（2）若AB=6，AC=2，求AD的取值范围.
方法五截长补短法
5、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E、F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系并证明.
方法六作垂线法
6、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
方法七作平行线法
7、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC 交AC于点Q.求证：AB+BP=BQ+AQ.。
构造全等三角形的七种常用方法
构造全等三角形的七种常用方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊构造全等三角形的七种常用方法。
这可真是个有趣又实用的知识领域啊！咱先说说第一种方法，那就是“平移法”。
就好像你有两个形状差不多的拼图块，通过平移一下，嘿，它们就能完美地重合在一起啦！这就像你走路的时候，从这边走到那边，位置变了，但本质没变呀。
还有“翻折法”，这就像是把一张纸对折起来，两边瞬间就一模一样啦。
想象一下，这多神奇呀，就像变魔术一样。
“旋转法”也很有意思哦。
就好比一个玩具在那转呀转，转到某个角度的时候，哇，和另一个完全一样了。
这多好玩呀！“倍长中线法”呢，就好像给一条线打了激素，让它变长，然后就能找到对应的全等啦。
“截长补短法”就像是裁剪衣服一样，多了的就剪掉，少了的就补上，让它们变得一样整齐。
“作平行线法”，这就像是给三角形铺了一条平行的道路，顺着这条路就能找到全等的伙伴啦。
“利用角平分线法”，角平分线就像是一个裁判，公平地把三角形分成相等的部分。
这七种方法呀，每一种都有它独特的魅力和用处。
就像你有七把不同的钥匙，能打开不同的门，进入全等三角形的奇妙世界。
在解决问题的时候，你就得像个聪明的侦探一样，找到最合适的那把钥匙。
比如说，遇到一个复杂的图形，别慌呀，静下心来分析分析，看看哪种方法能派上用场。
可能一开始会觉得有点难，但只要多练习，多尝试，你就会发现自己越来越厉害啦！想象一下，你掌握了这些方法，就像是拥有了超能力一样，可以轻松地解决那些看似很难的问题。
而且呀，当你在考试或者做作业的时候用上这些方法，那感觉就像打了一场胜仗，多有成就感呀！所以呀，朋友们，可别小瞧了这七种常用方法哦。
它们就像是你的秘密武器，能在关键时刻帮你大忙呢！好好去探索，去发现吧，全等三角形的世界正等着你去闯荡呢！。
初中数学——构造全等三角形的五种常用方法
所以∠1＝∠2. ∠1＝∠2，
在△ACD 和△CBG 中，AC＝CB， ∠ACD＝∠CBG＝90°，
所以△ACD≌△CBG(ASA)． 所以∠ADC＝∠G，CD＝BG. 因为点 D 为 BC 的中点，所以 CD＝BD.所以 BD＝BG. 因为∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.
解：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. 因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°. 因为CE⊥AD， 所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°. 因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
在△AEH 和△AEF 中，AE＝AE， EH＝EF，
所以△AEH≌△AEF(SSS)．
所以∠EAH＝∠EAF.
所以∠EAF＝12∠HAF＝45°.
返回
方 法 4 倍长中线法
4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5， AC＝3，求AD长度的取值范围． 解：如图，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE. 因为D为BC的中点，所以CD＝BD.
第四章 三角形
构造全等三角形的五种常用方法
方 法 1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.
解：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻 折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)． 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠CBE. 因为BD⊥AD， 所以∠ADB＝∠FDB＝90°.
所以∠D＝∠ABH＝90°. AB＝AD，
在△ABH 和△ADF 中，∠ABH＝∠D＝90°， BH＝DF，
证明全等三角形的五种判定方法
证明全等三角形的五种判定方法嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊全等三角形的那五种判定方法。
这可真是数学世界里的宝贝呀！先来说说“边边边”，这就好比是给三角形量身定制的一套超级标准的衣服，三边都完全一样，那这两个三角形肯定就是全等的啦！你想啊，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边完全重合，那不就像是同一个模子刻出来的嘛，能不全等吗？接着是“边角边”，这就好像是知道了一条边和它相邻的角，再加上另外一条边也一样，那这两个三角形也就八九不离十全等啦！就好像你认识一个人，知道他的脸和旁边的一个特征，再加上另一个明显的地方，那不就能确定是他了嘛。
“角边角”也很有意思呀！两个角和它们中间的边都一样，那这俩三角形肯定也是一对双胞胎呀！这就像是知道了一个东西的两个关键特点和连接它们的部分，那还能认错吗？还有“角角边”，跟“角边角”有点像亲戚呢！有两个角一样，还有一条对边也一样，嘿，它们也是全等的啦！这就好像是有一些特别的标识，就算顺序有点不一样，但本质还是一样的呀。
最后是“斜边直角边”，这可是专门针对直角三角形的哟！斜边和一条直角边一样，那它们就是全等的啦！就好像两个直角三角形穿着一样的特殊制服，一眼就能认出来是一伙的。
你说这五种判定方法是不是很神奇？它们就像是打开全等三角形大门的钥匙呀！我们通过这些方法就能在茫茫的三角形海洋中找到那些全等的小伙伴。
想象一下，如果没有这些方法，我们该怎么去判断两个三角形是不是全等呢？那可就像在黑暗中摸索一样，没有方向呀！但有了它们，我们就像是有了明亮的灯塔，能准确地找到目标。
所以呀，可得好好记住这五种判定方法，它们可是我们在数学世界里探索的重要工具呢！可别小瞧了它们哟，它们能帮我们解决好多难题呢！就这么说吧，全等三角形的判定方法，真的超有用，超厉害！。
构造全等三角形的四种技巧
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构造方法二：两角和一边成比例
构造步骤
首先确定两个角和一条包含的边，然后通过作图或拼接的方式构造出两个三角形，使得这两个三角形满足ASA全 等条件，同时保证两角和一边成比例。
示例
假设已知三角形ABC和三角形DEF，其中$\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle E$，$AB/DE = BC/EF$ ，可以通过作图或拼接的方式构造出两个三角形，使得它们满足ASA全等条件，同时保证两角和一边成比例。
构造全等三角形的四 种技巧
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202X-12-21
目录
CONTENTS
• 构造SSS全等三角形 • 构造SAS全等三角形 • 构造ASA全等三角形 • 构造AAS全等三角形
01
构造SSS全等三角 形
定义与性质
定义
如果两个三角形的三边分别相等 ，则这两个三角形全等。
性质
SSS全等三角形具有全等三角形的 所有性质，如对应角相等、对应 边相等、面积相等等。
பைடு நூலகம்4
构造AAS全等三角 形
定义与性质
定义
两个三角形中，如果两个角和其中一个角的 对边分别相等，则这两个三角形全等。
性质
AAS全等三角形的性质包括对应角相等、对 应边相等、面积相等等。
构造方法一：两角和一对边相等
描述
在两个三角形中，如果两个角和一个边分别 相等，则可以通过AAS全等条件证明两个三 角形全等。
构造方法一：三边相等
步骤
首先确定两个三角形的三边长度，然 后通过测量或计算确保三边长度分别 相等。
说明
这种方法需要先确定三边的长度，因 此适用于已知三边长度的情况。
求全等三角形的几种方法
求全等三角形的几种方法
1. 角度法
使用角度法绘制全等三角形是一种常用的方法，即采用角度的方法
来绘制全等三角形。
首先在给定点处划定一个圆心，然后在该圆上构
以三等分角度，以图中的圆心A为原点，度数为60度，即三等分度数
均为60度，以此类推，经过某一点留出一条弧，经过另一点逆时针划
出另一条弧，特别注意画出的角度要相同，最后连接三个点，形成的
三角形就是一个全等三角形。
2. 线段法
线段法也可以用来绘制全等三角形。
首先在一个给定点处画出一条
线段，然后再把相等的三条线段画出来，当给定三线段AB，BC，CA，把AB平移到B点重合，把BC延长到A，BC重合，把CA平移到A，BC重合，就形成了一个全等三角形。
3. 多边形法
多边形法可以制作出全等三角形。
先画出你想制作的图形，如四边形，然后将图形中每条边求出一条直线，将这4条直线的交点连接形
成的新的三角形就是一个全等三角形。
构造全等三角形种常用方法
构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“ SSS，“ SAS，“ ASA',“ AAS ,“ HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。
如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS或再找第三组对应边用“ SSS ；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA或“ AAS）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ;若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。
上述可归纳为：S（用SSSA（用SAS）S（用SAS）A（用AAS或ASA）搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了•下面举例说明几种常见的构造方法, 供同学们参考.1 •截长补短法例1.如图（1）已知：正方形ABCD中，/ BAC的平分线交BC于E,求证：AB+BE=AC解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC由已知△ AEF^A AEC •••/ F=Z ACE=45o ,••• BF=BE •- AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB由已知△ABE^A AGE • EG=BE, / AGE M ABE,：/ ACE=45o , • CG=EG,• AB+BE=AG+CG=AC2 .平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线.例2.A ABC中，/ BAC=60 , / C=40° AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/ ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ证明：如图（1）,过O作OD/ BC交AB于D, •/ ADO/ ABC =180°—60°—40° =80°，又•••/ AQO M C+/ QBC=80 ,•••/ ADO M AQO 又I/ DAO M QAQ OA=AQ• △ADO^A AQO •- OD=OQ AD=AQ 又；OD// BP, •••/ PBO M DOB 又T/ PBO/ DBO DBO M DOB • BD=OD •- AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长补短法”.⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下:如图（2）,过O作OD/ BC交AC于D,(3)则厶ADO^A ABO来解决.如图（3）,过O作DE// BC交AB于D,交AC于 E ,则厶ADO^A AQO △ ABO^A AEO来解决.如图（4）,过P作PD// BQ交AB的延长线于D,则厶APD^A APC来解决.④如图（5）,过P作PD// BQ交AC于D,则厶ABP^A ADP来解决.B/ P图（5）（本题作平行线的方法还很多，感兴趣•图（4）的同学自己研究）.3 .旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
构造全等三角形的方法(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。
全等三角形的构造方法全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。
判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
构造方法有：1．截长补短法。
2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。
3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。
下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等．例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．例2 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：BE=CF．例3(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的NMAAMN正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．1.如图已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC ．2.(06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC BA4321FDOE CB A3.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.如图，四边形ABPC中，，，，求证：．FEDCBA2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．例△ABC中，∠BAC=60°，∠C=440°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC 来解决．④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形．4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
构造全等三角形种常用方法
构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等得五种方法(“SSS ”,“ＳA Ｓ”,“ASA ”,“AAS ”,“HL ”)中,至少有一组相等得边,因此在应用时要养成先找边得习惯。
如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边得夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”;若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”)或夹这个角得另一组对应边用“ＳＡＳ”;若就就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。
上述可归纳为:搞清了全等三角形得证题思路后,还要注意一些较难得一些证明问题,只要构造合适得全等三角形,把条件相对集中起来，再进行等量代换,就可以化难为易了、下面举例说明几种常见得构造方法，供同学们参考、１、截长补短法例1、如图(1)已知:正方形ＡBCD 中,∠BAC 得平分线交B Ｃ于E ，求证:A Ｂ+ＢE=AC 、 解法(一)(补短法或补全法)延长ＡB 至Ｆ使AF=ＡC ，由已知△ＡEF ≌△AEC,∴∠F ＝∠ACE=4５º， ∴BF ＝B Ｅ,∴ＡB+BE ＝A Ｂ+BF=AF=AC 、 解法(二)(截长法或分割法)在A Ｃ上截取ＡG=ＡＢ，由已知 △ AB Ｅ≌△AGE,∴EG=B Ｅ, ∠A ＧＥ＝∠ABE,∵∠ACE ＝４5º, ∴CG ＝EG, ∴ＡB ＋BE ＝ＡG+CG=ＡＣ、 2、平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt △,有时可作出斜边得中线、例2、△ABC 中,∠ＢAC=60°,∠C ＝40°A Ｐ平分∠ＢAC 交B Ｃ于Ｐ，B Ｑ平分∠ABC 交A Ｃ于Q, 求证:A Ｂ＋B Ｐ=ＢQ+A Ｑ、证明:如图(1),过O 作O Ｄ∥ＢC 交AB 于Ｄ,∴∠ADO ＝∠ＡBC=180°-6０°-40°＝8０°,又∵∠AQ Ｏ=∠C ＋∠QBC=８０°,∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DA Ｏ=∠QAO ，ＯA=AO, ∴△ADO ≌△ＡＱO,∴OD=O Ｑ,AD=AQ ，又∵ＯD ∥ＢP,∴∠ＰＢO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠D ＢO,∴∠ＤＢＯ=∠D ＯB,∴BD=O Ｄ,∴AB ＋BP=AD+DB+B Ｐ=A Ｑ+OQ+B Ｏ＝AQ+BQ 、说明:⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”、⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下： ① 如图(2),过O 作OD ∥BC 交ＡC 于D, 则△ADO ≌△ABO 来解决、 ② 如图（3)，过O 作D Ｅ∥BC 交AB 于Ｄ，交AC 于E,则△ADO≌△AQ Ｏ,△A ＢO ≌△AE Ｏ来解决、 ③ 如图(4)，过Ｐ作P Ｄ∥B Ｑ交A Ｂ得延长线于D,则△A ＰD ≌△APC 来解决、 ④ 如图(5)，过P 作ＰD ∥ＢQ 交A Ｃ于Ｄ， 则△AB Ｐ≌△ＡDP 来解决、 (本题作平行线得方法还很多,感兴趣A B C P Q D OO A B C P Q D图(2) A B C PQ D E 图(3) O A B C P Q图(4)DOA BCP Q 图(5)D OD得同学自己研究)、 3、旋转法对题目中出现有一个公共端点得相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
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构造全等三角形的五种常用方法
在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较客易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有:翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法,目的都是构造全等三角形. 方法1 翻折法
如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
跟踪训练1：
如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1=∠2，CA=CB．求证：
（1）∠3+∠4=180°；
（2）OA+OB=2OM．
方法2 构造法
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC=45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，
其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．
方法3 旋转法
如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，
BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
跟踪训练3：
如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：CH平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）
方法4 倍长中线法
如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
方法5 截长补短法
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明.
跟踪训练5：
如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB-AC＞PB-PC．。