构造全等三角形的五种常用方法

构造全等三角形的五种常用方法

在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较客易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有:翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法,目的都是构造全等三角形. 方法1 翻折法

如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

跟踪训练1：

如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1=∠2，CA=CB．求证：

（1）∠3+∠4=180°；

（2）OA+OB=2OM．

方法2 构造法

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC=45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，

其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．

方法3 旋转法

如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，

BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

跟踪训练3：

如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求证：CH平分∠AHE；

（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）

方法4 倍长中线法

如图，在△ABC中，D为BC的中点．

(1)求证：AB＋AC>2AD；

(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

方法5 截长补短法

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明.

跟踪训练5：

如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB-AC＞PB-PC．